Тренировочные варианты ЕГЭ 2024 задания и ответы

14 апреля Пробник формата ЕГЭ 2024 профиль по математике 11 класс 3 варианта с ответами

Автор

Пробник ЕГЭ 2024 математика 11 класс профильный уровень 3 тренировочных варианта заданий с ответами и решением для подготовки к экзамену, который пройдёт 31 мая 2024 года. Каждый вариант состоит из реальных заданий открытого банка ФИПИ от 14 апреля от Пифагора 100 баллов.

Вариант состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

1 тренировочный вариант ЕГЭ 2024 по математике профиль

variant_29_EGE_profil_s_otvetami_2024

2 вариант

variant_30_EGE_profil_s_otvetami_2024

3 вариант

variant_31_EGE_profil_s_otvetami_2024

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Задания и ответы с 29 варианта

1. Одна сторона треугольника √2, радиус описанной окружности равен 1. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите скалярное произведение векторов 2𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗.

3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 4, 𝐴𝐴1 = 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐴1 , 𝐵1 .

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

6. Найдите корень уравнения (5𝑥 − 8) 2 = (5𝑥 − 2) 2 .

8. На рисунке изображён график некоторой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите 𝐹(−1) − 𝐹(−8), где 𝐹(𝑥) − одна из первообразных функции 𝑓(𝑥).

9. В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет 𝑅1 = 60 Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого 𝑅2 (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями 𝑅1 и 𝑅2 их общее сопротивление вычисляется по формуле 𝑅общ = 𝑅1𝑅2 𝑅1+𝑅2 . Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 10 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление 𝑅2 электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

10. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(3).

12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 − 9) 2 (𝑥 + 4) − 4 на отрезке [7; 16].

13. а) Решите уравнение 2𝑥 cos 𝑥 − 8 cos 𝑥 + 𝑥 − 4 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

14. Точка 𝑀 − середина ребра 𝑆𝐴 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на ребре 𝑆𝐵, 𝑆𝑁: 𝑁𝐵 = 1: 2. а) Докажите, что плоскость 𝐶𝑀𝑁 параллельна прямой 𝑆𝐷. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝐶𝑀𝑁, если все рёбра пирамиды равны 12.

16. 31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк 𝑥 рублей. Какой должна быть сумма 𝑥, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

17. Прямая, проходящая через вершину 𝐵 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перпендикулярно диагонали 𝐴𝐶, пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝑀, равноудалённой от вершин 𝐵 и 𝐷. а) Докажите, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐷𝐵𝐶 = 30°. б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой 𝐶𝑀, если 𝐵𝐶 = 9.

18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 10 + (𝑎 − 2|𝑥|) 5 + 𝑥 2 − 2|𝑥| + 𝑎 = 0 имеет более трёх различных решений.

19. Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора. а) Может ли одним из этих чисел быть число 3000? б) Может ли одним из этих чисел быть число 16? в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?

Задания и ответы с 30 варианта

1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 183, 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐸𝐷.

2. Даны векторы 𝑎⃗ (4; −1) и 𝑏⃗⃗ (𝑏0 ; 8). Найдите 𝑏0 , если |𝑏⃗⃗| = 2,5|𝑎⃗|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

3. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объём этого шара, делённый на 𝜋.

4. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

6. Найдите корень уравнения (𝑥 + 4) 3 = −125.

8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = −2𝑥 − 10 или совпадает с ней.

10. Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 36 литров воды?

11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑓(8).

12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 + 5) 2 ∙ 𝑒 2−𝑥 .

13. а) Решите уравнение 2 sin (2𝑥 + 𝜋 6 ) − cos 𝑥 = √3 sin 2𝑥 − 1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

14. В пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = √29, 𝐵𝐶 = 𝑆𝐴 = 2√5, 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 = √13. а) Докажите, что прямая 𝑆𝐴 перпендикулярна прямой 𝐵𝐶. б) Найдите угол между прямой 𝑆𝐴 и плоскостью 𝑆𝐵𝐶.

15. Решите неравенство log8 (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1) ≥ log2 (𝑥 2 − 1) − 5.

16. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 𝑡 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3𝑡 единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно 𝑡 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4𝑡 единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

17. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝐸 − середина основания 𝐴𝐷, точка 𝑀 − середина боковой стороны 𝐴𝐵. Отрезки 𝐶𝐸 и 𝐷𝑀 пересекаются в точке 𝑂. а) Докажите, что площади четырёхугольника 𝐴𝑀𝑂𝐸 и треугольника 𝐶𝑂𝐷 равны. б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника 𝐴𝑀𝑂𝐸, если 𝐵𝐶 = 3, 𝐴𝐷 = 4.

19. Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки. а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик? б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным? в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

Задания и ответы с 31 варианта

1. В ромбе 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐶𝐷𝐴 равен 78°. Найдите угол 𝐴𝐶𝐵. Ответ дайте в градусах.

2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ и 𝑐⃗. Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.

3. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16. Найдите его объём.

4. Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна 0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач.

5. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

6. Найдите корень уравнения log4 (8 − 5𝑥) = 2 log4 3.

8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−5; 4). Найдите корень уравнения 𝑓 ′ (𝑥) = 0.

9. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением 𝑝1𝑉1 1,4 = 𝑝2𝑉2 1,4 , где 𝑝1 и 𝑝2 − давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, 𝑉1 и 𝑉2 − объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 294,4 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

10. Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏. Найдите значение 𝑓(7).

12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 1,5𝑥 2 − 30𝑥 + 48 ∙ ln 𝑥 + 4.

13. а) Решите уравнение 3 ∙ 9 𝑥+1 − 5 ∙ 6 𝑥+1 + 8 ∙ 2 2𝑥 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

14. Дана четырёхугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, в основании которой лежит ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 со стороной 10. Известно, что 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶 = 10√2, 𝑆𝐵 = 20 и 𝐴𝐶 = 10. а) Докажите, что ребро 𝑆𝐷 перпендикулярно плоскости основания пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐶 и 𝑆𝐵.

16. В июле 2026 года планируется взять кредит в размере 630 тыс. рублей. Условия возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 630 тыс. рублей; – суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны; – к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите 𝑟, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.

17. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐾, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда 𝑀𝑁 большей окружности касается меньшей в точке 𝐶. Хорды 𝐾𝑀 и 𝐾𝑁 пересекают меньшую окружность в точках 𝐴 и 𝐵 соответственно, а отрезки 𝐾𝐶 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝐿. а) Докажите, что 𝐶𝑁: 𝐶𝑀 = 𝐿𝐵: 𝐿𝐴. б) Найдите 𝑀𝑁, если 𝐿𝐵: 𝐿𝐴 = 2: 3, а радиус малой окружности равен √23.

18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 𝑎 2 + 2𝑎 + 2 на множестве |𝑥| ≥ 1 не меньше 6.

19. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какието зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые. а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа? б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное? в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными.

За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках, входящих в федеральный перечень учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

3. Расхождение в результатах оценивания двумя экспертами ответа на одно из заданий 13–19 заключается в том, что один эксперт указал на отсутствие ответа на задание, а другой выставил за выполнение этого задания ненулевой балл. В этом случае третий эксперт проверяет только ответы на задания, которые были оценены со столь существенным расхождением. Ситуации, в которых один эксперт указал на отсутствие ответа в экзаменационной работе, а второй эксперт выставил нулевой балл за выполнение этого задания, не являются ситуациями существенного расхождения в оценивании.

Единая городская контрольная работа ЕГКР 2024 по математике

5 апреля 2024 ЕГКР по математике 11 класс профиль ЕГЭ 2024 варианты с ответами

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ