Автор Тренировочные варианты 7, 8, 9, 10 ФИПИ ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профильный уровень от профиматики задания с ответами и решением для подготовки к экзамену. Каждый вариант состоит из 19 заданий банка ФИПИ, Ященко и экзаменов прошлых лет дата проведения пробника 11 мая 2026.
7 вариант ЕГЭ 2026 математика 11 класс профиматика
Загрузка...
Перезагрузить документ 
Открыть в новой вкладке Ответы к вариантам
1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 82∘ и 58∘ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
3. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
4. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
5. В коробке 8 синих, 9 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
7. Найдите значение выражения log4 log525.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
9. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: 𝑇(𝑡) = 𝑇0 + 𝑏𝑡 + 𝑎𝑡2 , где 𝑡 — время в минутах, 𝑇0 = 1200 К, 𝑎 = −15 К/мин2 , 𝑏 = 240 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1620 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 660 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 60 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите ординату точки 𝐵.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 2𝑥 − ln (𝑥 + 2) + 13.
14. В основании треугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 лежит прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Основание высоты 𝑆𝑂 этой пирамиды является серединой ребра 𝐴𝐵. a) Докажите, что 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶. б) Найдите угол между плоскостями 𝑆𝐴𝐶 и 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐶 = 16, 𝐴𝐵 = 20, 𝑆𝐴 = 26.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере 𝑆 млн рублей, где 𝑆 – целое число. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение 𝑆, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
17. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции 𝐵𝐻 пересекает окружность в точке 𝐾. a) Докажите, что отрезки 𝐴𝐶 и 𝐴𝐾 перпендикулярны. б) Найдите 𝐴𝐷, если радиус описанной окружности равен 6, угол 𝐵𝐴𝐶 составляет 30∘ , отношение площадей 𝐵𝐶𝑁𝐻 к 𝑁𝐾𝐻 равно 35, где 𝑁 – точка пересечения отрезков 𝐴𝐷 и 𝐶𝐾.
18. Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье – сумме цифр второго. а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420? б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419? в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число – трёхзначное, а последнее равно 5?
8 тренировочный вариант ЕГЭ 2026 на основе прошлых лет
Загрузка...
1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 65∘ и 41∘ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
3. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.
4. В группе туристов 25 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н. полетит первым рейсом вертолёта.
5. В коробке 7 синих, 9 красных и 9 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
9. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: 𝑇(𝑡) = 𝑇0 + 𝑏𝑡 + 𝑎𝑡2 , где 𝑡 — время в минутах, 𝑇0 = 1450 К, 𝑎 = −30 К/мин2 , 𝑏 = 180 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 425 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 4 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите ординату точки 𝐵.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 4𝑥 − ln (𝑥 + 3) + 6.
14. В основании треугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 лежит прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Основание высоты 𝑆𝑂 этой пирамиды является серединой ребра 𝐴𝐵. a) Докажите, что 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶. б) Найдите угол между плоскостями 𝑆𝐴𝐶 и 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 30, 𝑆𝐶 = 17, 𝐶𝐵 = 24.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере 𝑆 млн рублей, где 𝑆 – целое число. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение 𝑆, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
17. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции 𝐵𝐻 пересекает окружность в точке 𝐾. a) Докажите, что отрезки 𝐴𝐶 и 𝐴𝐾 перпендикулярны. б) Найдите 𝐴𝐷, если радиус описанной окружности равен 12, угол 𝐵𝐴𝐶 составляет 30∘ , отношение площадей 𝐵𝐶𝑁𝐻 к 𝑁𝐾𝐻 равно 8, где 𝑁 – точка пересечения отрезков 𝐴𝐷 и 𝐶𝐾.
19. Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье – сумме цифр второго. а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 2022? б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 2021? в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число – трёхзначное, а последнее равно 2?
9 вариант
Загрузка...
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 равна 3 √ 2, угол 𝐶 равен 135∘ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.
4. В среднем из 3000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,93. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−8; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) отрицательна.
9. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана Больцмана, согласно которому 𝑃 = 𝜎𝑆𝑇4 , где 𝑃 – мощность излучения звезды (в Bт), 𝜎 = 5,7 · 10−8 B м2 ·K4 – постоянная, 𝑆 – площадь поверхности звезды (в м2 ), а 𝑇 – температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1 2401 · 1022 м 2 , а мощность её излучения равна 5,7 · 1026 Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
10. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(3).
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln(𝑥 − 7) − 2𝑥 − 3.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 отметили точки 𝑀 и 𝐾 на ребрах 𝐴𝐴1 и 𝐴1𝐵1 соответственно. Известно, что 𝐴1𝑀 = 2𝐴𝑀, 𝐴1𝐾 = 𝐾𝐵1. Через точки 𝑀 и 𝐾 провели плоскость 𝛼 перпендикулярно плоскости 𝐴𝐵𝐵1𝐴1. а) Докажите, что плоскость 𝛼 проходит через вершину 𝐶1. б) Найдите площадь сечения призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 плоскостью 𝛼, если все ребра призмы равны 20.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей. Условия возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 330 000 рублей, а во второй год – 121 000 рублей.
17. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐶𝐶1 и медиану 𝐴𝐴1. Оказалось, что точки 𝐴, 𝐴1, 𝐶, 𝐶1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐴1 : 𝐶𝐶1 = 5 : 4 и 𝐴1𝐶1 = 4.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 4 + (𝑎 − 4)2 = |𝑥 − 𝑎 + 4| + |𝑥 + 𝑎 − 4| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
19. а) Существуют ли натуральные числа 𝑚 и 𝑛, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 равен 17? б) Существуют ли натуральные числа 𝑚 и 𝑛, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 равен 54? в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант 𝐷 квадратного трёхчлена 𝑥 2 + (3𝑚 + 𝑛)𝑥 + (3𝑛 + 𝑚), если известно, что числа 𝑚, 𝑛 и 𝐷 – натуральные?
10 вариант
Загрузка...
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 равна 1, угол 𝐶 равен 150∘ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 76. Найдите объём конуса.
4. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 18 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) отрицательна.
9. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон СтефанаБольцмана, согласно которому 𝑃 = 𝜎𝑆𝑇4 , где 𝑃 – мощность излучения звезды (в Bт), 𝜎 = 5,7 · 10−8 B м2 ·K4 – постоянная, 𝑆 – площадь поверхности звезды (в м2 ), а 𝑇 – температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 1 2048 · 1021 м 2 , а мощность её излучения равна 1,14 · 1026 Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
10. Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(5).
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln(𝑥 − 9) − 10𝑥 + 6.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 отметили точки 𝑀 и 𝐾 на ребрах 𝐴𝐴1 и 𝐴1𝐵1 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 5𝑀𝐴1, 𝐴1𝐾 = 𝐾𝐵1. Через точки 𝑀 и 𝐾 провели плоскость 𝛼 перпендикулярно плоскости 𝐴𝐵𝐵1𝐴1. а) Докажите, что плоскость 𝛼 проходит через вершину 𝐶1. б) Найдите площадь сечения призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 плоскостью 𝛼, если все ребра призмы равны 12.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 260 000 рублей, а во второй год – 169 000 рублей.
17. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐶𝐶1 и медиану 𝐴𝐴1. Оказалось, что точки 𝐴, 𝐴1, 𝐶, 𝐶1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐴1 : 𝐶𝐶1 = 3 : 2 и 𝐴1𝐶1 = 2.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 4 + (𝑎 − 3)2 = |𝑥 − 𝑎 + 3| + |𝑥 + 𝑎 − 3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
19. а) Существуют ли натуральные числа 𝑚 и 𝑛, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 равен 33? б) Существуют ли натуральные числа 𝑚 и 𝑛, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 равен 26? в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант 𝐷 квадратного трёхчлена 𝑥 2 + (5𝑚 + 𝑛)𝑥 + (8𝑛 + 𝑚), если известно, что числа 𝑚, 𝑛 и 𝐷 – натуральные?
Смотрите другие варианты ЕГЭ 2026 по математике
8 мая Вариант 31, 32, 33, 34, 35, 36 профиматики ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профиль ФИПИ