Автор Тренировочный вариант 32, 33, 292 формата решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень 4 пробника задания с ответами и решением 2 части составлены по новой демоверсии ФИПИ. Задания взяты из открытого банка заданий ФИПИ и экзаменов прошлых лет от 11 мая 2025 года школа Пифагора.
Каждый вариант состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Вариант 32 по математике 11 класс профиль ЕГЭ 2025
Variant_32_EGE_profil_s_otvetami_mat-11klassВариант 33 школа Пифагора
Variant_33_EGE_profil_s_otvetami_mat-11klass292 тренировочный вариант
292_variant_ege2025-mat-11klass-profilЗадания и ответы для 32 варианта
1. Одна сторона треугольника √2, радиус описанной окружности равен 1. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 45
2. Длины векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
Ответ: 7,5
3. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Ответ: 37,5
4. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах.
Ответ: 0,7
5. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Ответ: 0,78
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале(−3; 19). Найдите количество точек максимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−2; 15].
Ответ: 1
9. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре 𝐶 = 6 ∙ 10−6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением 𝑅 = 8 ∙ 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 𝑈0 = 34 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения 𝑈 (кВ) за время, определяемое выражением 𝑡 = 𝛼𝑅𝐶 log2 𝑈0 𝑈 (с), где 𝛼 = 0,8 − постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 76,8 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
Ответ: 8,5
10. Петя и Митя выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Митя — на 16. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Мити на 117 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Ответ: 52
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
Ответ: 16
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 + 5) 2 ∙ 𝑒 2−𝑥 .
13. а) Решите уравнение 6log8 2𝑥 − 5 log8 𝑥 + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 2,5].
14. В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 лежит параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷 с углом 60° при вершине 𝐴. На рёбрах 𝐴1𝐵1 , 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно так, что четырёхугольник 𝐴𝑀𝐾𝑁 − равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4. а) Докажите, что точка 𝑀 − середина ребра 𝐴1𝐵1 . б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 16 и известно, что точка 𝐾 делит ребро 𝐵1𝐶1 в отношении 𝐵1𝐾:𝐾𝐶1 = 1: 3.
15. Решите неравенство (4 𝑥 − 5 ∙ 2 𝑥 ) 2 − 20(4 𝑥 − 5 ∙ 2 𝑥 ) − 96 ≤ 0.
16. 15-го декабря в банке был взят кредит на 700 тысяч рублей на (𝑛 + 1) месяц. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 𝑛-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа 𝑛-го месяца долг составит 300 тысяч рублей; – к 15-му числу (𝑛 + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите 𝑛, если общая сумма выплат после погашения кредита составила 755 тысяч рублей.
17. Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷. На боковой стороне 𝐴𝐵 и большем основании 𝐴𝐷 взяты соответственно точки 𝐹 и 𝐸 так, что 𝐹𝐸 параллельно 𝐶𝐷, а 𝐹𝐶 = 𝐸𝐷. а) Докажите, что ∠𝐵𝐶𝐹 = ∠𝐴𝐹𝐸. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐸𝐷 = 3𝐵𝐹, 𝐹𝐸 = 5 и площадь трапеции 𝐹𝐶𝐷𝐸 равна 14√35.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение √𝑥 − 𝑎 ∙ sin 𝑥 = √𝑥 − 𝑎 ∙ cos 𝑥 имеет ровно один корень на отрезке [0; 𝜋].
19. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 58 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах. а) Приведите пример последовательных 5 ходов. б) Можно ли сделать 10 ходов? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Задания и ответы для 33 варианта
1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 183, 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐸𝐷.
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 4𝑏⃗⃗.
3. В цилиндрический сосуд налили 2800 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
4. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.
5. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
6. Найдите корень уравнения (5𝑥 − 8) 2 = (5𝑥 − 2) 2 .
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
9. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением 𝑝1𝑉1 1,4 = 𝑝2𝑉2 1,4 , где 𝑝1 и 𝑝2 − давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, 𝑉1 и 𝑉2 − объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 294,4 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
10. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑓(8).
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 2 − 39𝑥 + 39) ∙ 𝑒 2−𝑥 на отрезке [0; 6].
13. а) Решите уравнение 8 ∙ 16sin2𝑥 − 2 ∙ 4 cos 2𝑥 = 63. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 3, 𝐴𝐴1 = 2. Точки 𝑃 и 𝑄 − середины рёбер 𝐴1𝐵1 и 𝐶𝐶1 соответственно. Плоскость 𝐴𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐵1𝐶1 в точке 𝑈. а) Докажите, что 𝐵1𝑈:𝑈𝐶1 = 2: 1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 плоскостью 𝐴𝑃𝑄.
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
17. На продолжении стороны 𝐴𝐶 за вершину 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝐷 так, что 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵. Прямая, проходящая через точку 𝐴, параллельно 𝐵𝐷, пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝐴𝑀 − биссектриса треугольника 𝐴𝐵𝐶. б) Найти 𝑆𝐴𝑀𝐵𝐷, если 𝐴𝐶 = 10, 𝐵𝐶 = 8 и 𝐴𝐵 = 6.
19. Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма этих чисел быть равной 26? б) Может ли сумма этих чисел быть равной 23? в) Какова их минимальная сумма?
Задания и ответы для 292 варианта
1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
4. Какова вероятность того, что две последние цифры телефонного номера различные?
5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 4 очка, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
14. Два конуса имеют общее основание, причем один из них находится внутри другого. Образующие этих конусов составляют с плоскостью основания углы 60 и 30 . а) Докажите, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2 :1 , считая от вершины большего конуса. б) Найдите объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, если известно, что сумма высот обоих конусов равна 4.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?
17. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно, а диагонали AC и BD — в точках K и L соответственно, причём точка K лежит между M и L. а) Докажите, что ML = KN. б) Найдите MN, если BC = 2, AD = 3 и MK : KL : LN = 3 : 1 : 3.
19. Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей. а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 175? б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 176? в) Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 180 включительно.
Смотрите пробник ЕГЭ 2025 профиль математика 11 класс
Варианты МА2410501-МА2410512 статград математика 11 класс пробник ЕГЭ 2025 с ответами