11 ноября 2023 Олимпиада по математике 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс ответы и задания муниципального этапа ВСОШ

Всероссийская олимпиада школьников по математике муниципальный этап 2023 ответы и задания для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса 2023-2024 учебный год для школьников Московской области олимпиада прошла 11 ноября 2023.

Инструкция по выполнению заданий: Вам предлагается решить математические задачи, указав в каждой из них ответ и развёрнутое решение, либо обоснование ответа. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Задачи можно решать в любом порядке. Время выполнения заданий — 235 минут.

Муниципальный этап 2023 олимпиада по математике 6 класс

zadanie_6klass_mat_olimp_2023

7 класс

zadanie_7klass_mat_olimp_2023

8 класс

zadanie_8klass_mat_olimp_2023

9 класс

zadanie_9klass_mat_olimp_2023

10 класс

zadanie_10klass_mat_olimp_2023

11 класс

zadanie_11klass_mat_olimp_2023

Видео разбор заданий 6 класса муниципальный этап 2023

Видео разбор заданий 7 класса муниципальный этап 2023

Видео разбор заданий 8 класса муниципальный этап 2023

Видео разбор заданий 9 класса муниципальный этап 2023

Видео разбор заданий 10 класса муниципальный этап 2023

Видео разбор заданий 11 класса муниципальный этап 2023

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать всё вышеперечисленное. Ниже приведена стандартная методика оценивания решений.

Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что текст решения слишком длинный, или за то, что верное решение школьника отличается от приведённого в данной методической разработке или от других решений, известных жюри. В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов. Авторы задач и составители – Н.Х. Агаханов, О.К. Подлипский. Задачи 7.5 и 10.5 предложены А.Д. Терёшиным, задача 7.1 предложена О.И. Южаковым, задача 9.3 предложена А.Б. Купавским, задача 10.3 предложена А.А. Чироновым.

Задания и ответы для 6 класса

6.1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны, и каждая является либо суммой, либо разностью двух других цифр числа. Объясните свой ответ.

6.2. У фокусника есть 10 цилиндров, в одном из которых сидит кролик. За один вопрос можно указать на 1 или 2 цилиндра, и спросить, сидит ли там кролик (нам ответят «да» или «нет»). Можно ли за 5 вопросов гарантированно найти цилиндр с кроликом?

6.3. Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Поезд отправился утром до 12:00, когда часы показывали время 𝑎𝑏: 𝑐𝑑, а прибыл тогда, когда часы показывали время 𝑐𝑑: 𝑎𝑏. Сколько времени поезд находился в пути, если известно, что он ехал больше 6, но меньше 7 часов?

6.4. Клетчатый квадрат 27 см  27 см (длина стороны клетки 1 см), разрезали на 5 клетчатых прямоугольников одинакового периметра. Могло ли оказаться, что суммарная длина разрезов внутри квадрата равна 82 см?

6.5. На праздник в классе открыли 5 коробок с конфетами и расположили эти коробки в ряд. Назовём конфеты соседними, если они лежат в одной коробке или в двух соседних коробках. В конце праздника оказалось, что в каждой коробке осталась хотя бы одна конфета, и у любой оставшейся конфеты есть либо 4, либо 8 соседних конфет. Сколько конфет осталось в конце праздника?

Задания и ответы для 7 класса

7.1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта каждый из мальчиков послал по одной открытке некоторым девочкам из кружка (хотя бы одной). Оказалось, что любые два мальчика послали разное число открыток. Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?

7.2. Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Поезд отправился утром до 12:00, когда часы показывали время 𝑎𝑏: 𝑐𝑑, а прибыл тогда, когда часы показывали время 𝑐𝑑: 𝑎𝑏. Сколько времени поезд находился в пути, если известно, что он ехал больше 8, но меньше 9 часов?

7.3. У фокусника есть 10 цилиндров, ровно в двух из которых сидит по одному кролику. За один вопрос можно указать на 1 или 2 цилиндра, и спросить, сидит ли там хотя бы один кролик (нам ответят «да» или «нет»). Можно ли за 5 вопросов гарантированно найти цилиндр с кроликом?

7.4. Клетчатый квадрат 31 см  31 см (длина стороны клетки 0,5 см), разрезали на 6 клетчатых прямоугольников одинакового периметра. Могло ли оказаться, что суммарная длина разрезов внутри квадрата равна 80,5 см?

7.5. В каждой клетке таблицы 3 3 стоит по одному натуральному числу, причём все девять чисел различны. Известно, что можно вычеркнуть по одному такому числу в каждой строчке так, что в каждой строчке суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу x. Также можно вычеркнуть по одному такому числу в каждом столбце, что в каждом столбце суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу y. Может ли оказаться, что x = y?

Задания и ответы для 8 класса

8.1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта каждый из мальчиков послал открытки девочкам из кружка (каждый – хотя бы одну). Оказалось, что каждая девочка получила ровно одну открытку, а любые два мальчика послали разное число открыток. Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?

8.2. В кошельке лежит 100 рублей монетами по 1, 2 и 5 рублей. Каждый из 21 человека подходил к кошельку и клал или брал ровно одну монету этих достоинств. В итоге в кошельке оказалось ровно 120 рублей монетами по 1, 2 и 5 рублей. Верно ли, что кто-то либо взял, либо положил монету достоинством 2 рубля?

8.3. Точка 𝐼 – точка пересечения биссектрис треугольника 𝐴𝐵𝐶. На продолжении 𝐴𝐼 за точку 𝐼 и на продолжении 𝐴𝐵 за точку 𝐵 выбраны соответственно точки 𝑁 и 𝑀 так, что 𝐵𝐶𝑁𝑀 – параллелограмм. Аналогично на продолжении 𝐶𝐼 за точку 𝐼 и на продолжении 𝐶𝐵 за точку 𝐵 выбраны соответственно точки 𝐾 и 𝐿 так, что 𝐵𝐴𝐾𝐿 – параллелограмм. Докажите, что прямые 𝐵𝐼 и 𝐿𝑀 перпендикулярны.

8.4. Какие значения может принимать произведение 𝑎𝑏, если известно, что выполняются равенства 𝑎 2 − 𝑏 2 = 𝑎 3 + 𝑏 3 и 𝑎 3 − 𝑏 3 = 𝑎 4 + 𝑏 4 ?

8.5. На столе лежат 100 карточек с числами от 1 до 100. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Задания и ответы для 9 класса

9.1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта некоторые мальчики послали открытки девочкам из кружка. Оказалось, что каждая девочка получила ровно одну открытку, а любые два мальчика послали разное число открыток. Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?

9.2. В кошельке лежит 100 рублей монетами по 1 рублю. Каждый из 50 человек подходил к кошельку и либо брал монету достоинством 1 рубль, либо клал в кошелек монету достоинством 2 или 5 рублей. Могло ли в кошельке в итоге оказаться ровно 201 рубль?

9.3. Есть набор из 18 чисел: 1, 2, 3, …, 9 и 1 1 , 1 2 , 1 3 , …, 1 9 . Их разбили на 6 групп по 3 числа, и числа в каждой группе перемножили. Какое наибольшее количество из этих 6 произведений могло оказаться целыми числами?

9.4. На столе лежат 90 карточек с числами от 1 до 90. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

9.5. Точки 𝐿, 𝑀 и 𝑁 – соответственно середины сторон 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 равнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐶 = 𝐵𝐶), где ∠𝐴𝐶𝐵 > 60° . Точка 𝐶1 симметрична точке 𝐶 относительно прямой 𝐴𝑀, а точка 𝐻 – основание перпендикуляра, опущенного из точки 𝐶 на прямую 𝐵𝑁. Докажите, что луч 𝑀𝐿 является биссектрисой угла 𝐻𝑀𝐶1.

Задания и ответы для 10 класса

10.1. Прямые 𝑦 = 𝑎𝑥 и 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 пересекают прямую 𝑦 = 𝑎 соответственно в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите отношение 𝑎: 𝑏, если известно, что длина отрезка 𝐴𝐵 равна 4.

10.2. В правильном 30-угольнике две соседние вершины покрасили в красный цвет, а остальные – в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?

10.3. Артём записал на доске несколько натуральных чисел, а Саша для каждой пары чисел вычислил сумму их квадратов. Какое наибольшее количество различных чисел мог получить Саша, если оказалось, что все найденные им суммы – простые числа?

10.4. На столе лежат 118 карточек с числами от 1 до 118. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

10.5. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐴𝐵𝐶 = 90°), на сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 соответственно так, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸 лежит на биссектрисе угла 𝐵𝐷𝐸.

Задания и ответы для 11 класса

11.1. В правильном 30-угольнике одну вершину покрасили в красный цвет, а остальные – в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?

11.2. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, …, 99, 100 и 102. За одну операцию можно выбрать несколько чисел, среднее арифметическое которых – целое число, стереть эти числа и вместо них записать на доску их среднее арифметическое. За какое наименьшее число операций можно оставить на доске только одно число?

11.3. Дан непрямоугольный параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, точки 𝑂, 𝑂1,𝑂2,𝑂3,𝑂4 – соответственно центры граней 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, 𝐴𝐴1𝐵1𝐵, 𝐵𝐵1𝐶1𝐶, 𝐶𝐶1𝐷1𝐷, 𝐷𝐷1𝐴1𝐴. Известно, что углы 𝑂1𝑂𝑂3 и 𝑂2𝑂𝑂4 – прямые. Докажите, что четырёхугольник 𝑂1𝑂2𝑂3𝑂4 – прямоугольник.

11.4. Какие значения может принимать сумма cos 2𝑥 + cos 2𝑦 + cos 2𝑧, если известно, что выполняются равенства cos 2𝑥 = tg 𝑦 + 1, cos 2𝑦 = tg 𝑧 + 1, cos 2𝑧 = tg 𝑥 + 1?

11.5. На столе лежат 170 карточек с числами от 1 до 170. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10 или на число, делящееся на 11. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Школьный этап 2023 олимпиада по математике задания и ответы

17-20 октября 2023 Олимпиада по математике 4-11 класс ответы и задания школьного этапа ВСОШ