Автор Задания и ответы с решением приглашение на математический праздник 6-7 класс проект математическая вертикаль, интернет олимпиада прошла 1 декабря 2024 года по 6 заданий нужно было решить за 2 часа. Официальный математический праздник состоится 16 февраля 2025 года.
mat-prazdnik-2024-6-7klassЗадания и ответы для 6 класса
1. В кафе каждая пятая чашка кофе — бесплатно. Петя выпил 178 чашек. За сколько чашек он заплатил? Ответ. 143.
Решение. Номер каждой бесплатной чашки делится на 5, значит, последняя бесплатная чашка была 175й, а всего бесплатно Петя выпил 175 : 5 = 35 чашек. Заплатил он за 178 − 35 = 143 чашки.
2. Дед Мороз раздал четырём своим помощникам подарки для детей: Зайчик получил на один подарок больше, чем Гном, Снеговик на один больше, чем Зайчик, а Снегурочка на один больше, чем Снеговик. Всего Дед Мороз раздал 326 подарков. Сколько подарков досталось каждому из помощников? Ответ. У Гнома 80 подарков, у Зайчика 81, у Снеговика 82, у Снегурочки 83.
Решение. У Зайчика на 1 подарок больше, чем у Гнома, тогда у Снеговика на 2 подарка больше, чем у Гнома, а у Снегурочки – на 3 подарка больше. Отложим в сторону эти 1 + 2 + 3 = 6 «лишних» подарков и разделим оставшиеся 326 − 6 = 320 подарков поровну на 4 помощников: теперь у каждого будет, как у Гнома, 320 : 4 = 80 подарков. Добавив обратно отложенные «лишние» подарки, получим ответ.
3. Гриша написал в кружках цифры (не обязательно различные), а внутри каждого треугольника записал либо сумму, либо произведение цифр в его вершинах. Хулиган Вася заменил все цифры в кружочках на буквы. Какую цифру заменяет каждая буква? Ответ. 𝐴 = 9, 𝐵 = 2, 𝐶 = 3, 𝐷 = 3. Решение. Посмотрим на нижний треугольник. Число 81 слишком большое — его нельзя получить как сумму трёх цифр — значит, оно получено как произведение. Разложим на множители: 81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3. Как произведение трёх цифр мы можем представить 81 только двумя способами: 9 · 9 · 1 или 9 · 3 · 3. Поэтому цифры 𝐴, 𝐶, 𝐷 — это 9, 9, 1 или 9, 3, 3 в некотором порядке. В треугольнике справа написано 8. Так как 9 > 8, то ни 𝐶, ни 𝐷 не могут равняться 9, поэтому 𝐶 = 𝐷 = 3, а 𝐴 = 9. Значит 𝐵 = 8 − 3 − 3 = 2. Для левого треугольника всё сходится: 14 = 9 + 3 + 2.
4. На границе фигуры отмечены красным два узла. Выберите ещё один узел так, что если его соединить отрезками с двумя красными, то фигура разделится на две равные по форме и размеру части. Ответ. Подходит только один узел (см. рисунок).
5. В ребусе ДЕК + А = БРЬ разные буквы заменяют разные цифры. а) Найдите какое-нибудь решение этого ребуса. В ответ введите число ДЕКАБРЬ, составленное из цифр этого решения. б) Найдите решение, для которого число ДЕКАБРЬ будет наибольшим. Ответ. Наибольший ДЕКАБРЬ — это 7965801; ребус зашифровывает пример 796+5 = 801. Есть множество других решений ребуса. Решение. Найдём сразу наибольший ДЕКАБРЬ. Поскольку от добавления однозначного А к трёхзначному ДЕК все цифры изменились, то при сложении должен был быть переход из разряда единиц в разряд десятков, а затем из разряда десятков в разряд сотен. Такое может быть, только если Е = 9. Тогда Р = 0 и Д + 1 = Б ̸= 9. Значит, Д не может равняться ни 9, ни 8. Если Д = 7, то Б = 8, и К не может быть больше 6, и значит А не может быть больше 5. Проверим: 796 + 5 = 801 — подходит, Ь = 1.
6. Таня испекла бисквитный корж с квадратным основанием, причём высота коржа в три раза меньше стороны основания (на рисунке слева). Затем Таня сделала из коржа 4 одинаковых пирожных, разрезав как показано на рисунке в середине. Потом покрыла каждое пирожное со всех сторон (в том числе снизу) шоколадом. После этого у Тани осталось 80 г шоколада. Если бы она сделала пирожные другой формы, разрезав как показано на рисунке справа, и тоже покрыла их со всех сторон шоколадом, то у неё осталось бы только 56 г шоколада. Сколько граммов шоколада было у Тани изначально? Ответ. 164
Решение. В любом случае Таня покроет шоколадом все 6 граней изначального коржа, а также грани, появившиеся в результате разрезания. В первом случае после каждого из двух разрезов появляются грани общей площадью как две боковых грани, а значит, после двух разрезов появится площадь, равная четырём боковым граням. Во втором случае один разрез также даёт новые грани, которые в сумме как две боковых, а вот второй разрез даёт грани, равные по площади двум верхних граням. Значит, разница между площадями всех граней в первом и втором случае есть разница между двумя боковыми и двумя верхними гранями исходного коржа.
Значит, на верхнюю грань уходит на (80 − 56) : 2 = 12 грамм шоколада больше, чем на боковую. По условию, сторона основания в три раза больше высоты коржа, следовательно, верхняя грань в три раза больше боковой, а значит, эти же 12 грамм покроют две боковых грани. Таким образом, на одну боковую грань уходит 6 г шоколада, на верхнюю грань — 18 г. Таня покрыла шоколадом площадь, равную площади 2 верхних граней, 4 боковых и ещё 4 боковых от разрезов, то есть потратила всего 2 · 18 + 8 · 6 = 84 грамма шоколада, и 80 грамм у неё осталось. Значит, изначально было 164 г шоколада.
7. Трое пиратов обсуждали количество имеющихся у них алмазов. А: «У Б – 2 алмаза». Б: «У В – 2 алмаза». В: «У А – 2 алмаза». А: «У нас всех в сумме 2 алмаза». Б: «У нас всех в сумме 3 алмаза». В: «У нас всех в сумме 4 алмаза». Оказалось, что каждый соврал столько раз, сколько у него алмазов. Сколько алмазов у каждого из пиратов? Ответ. У А 1 алмаз, у Б 2 алмаза, у В 1 алмаз.
Задания и ответы для 7 класса
1. Дед Мороз раздал четырём своим помощникам подарки для детей: Зайчик получил на один подарок больше, чем Гном, Снеговик на один больше, чем Зайчик, а Снегурочка на один больше, чем Снеговик. Всего Дед Мороз раздал 326 подарков. Сколько подарков досталось каждому из помощников? Ответ. У Гнома 80 подарков, у Зайчика 81, у Снеговика 82, у Снегурочки 83. Решение. См. задачу 2 за 6 класс.
2. Гриша написал в кружках различные цифры, а внутри каждого треугольника записал либо сумму, либо произведение цифр в его вершинах. Хулиган Вася заменил все цифры в кружочках на буквы. Напишите, какую цифру заменяет каждая буква. Ответ. 𝐴 = 0, 𝐵 = 1, 𝐶 = 5, 𝐷 = 3. Решение. Число 4 нельзя получить как произведение трёх различных натуральных чисел, а в виде суммы можно получить только как 4 = 3+1+0. Ноль не может участвовать в произведении, а 15 нельзя получить ни как сумму 0, 3 и некоторой цифры, ни тем более как сумму 0, 1 и некоторой цифры. Значит, 𝐴 = 0, а 15 = 1 · 3 · 5 и 𝐶 = 5, откуда 𝐷 = 3, а 𝐵 = 1.
3. На клетчатой бумаге был нарисован лабиринт: прямоугольник 5×4 (внешняя стена) с выходом шириной в одну клетку, а также внутренние стенки, идущие по линиям сетки. На рисунке мы скрыли от вас все внутренние стенки. Придумайте, как они могли располагаться, зная, что числа, стоящие в клетках, показывают наименьшее количество шагов, за которое можно было выйти из лабиринта, стартовав из этой клетки (шаг делается в соседнюю по стороне клетку, если они не разделены стенкой). В ответ запишите, сколько шагов до выхода будет в вашем лабиринте из жёлтой (𝐴), красной (𝐵) и зелёной (𝐶) клеток. Ответ. Жёлтая клетка (𝐴): 7, красная клетка (𝐵): 8, зелёная клетка (𝐶): 15.
4. Прямоугольный лист бумаги сложили так, чтобы две противоположные вершины совпали. Периметр левого треугольника (см. рисунок) получился равен 12. Найдите периметр исходного прямоугольника. Если нужно, округлите ответ до одного знака после запятой. Ответ. 24
5. На планете Тау Кита живут инопланетяне, у каждого из которых один, два или три глаза. Если у инопланетянина чётное число глаз, он всегда говорит правду, а если нечётное — всегда врёт. Как-то раз зелёный инопланетянин сказал жёлтому: — У нас с тобой одинаковое число глаз! — Вообще-то у меня два глаза, — возразил жёлтый. — А вот у тебя всего лишь один. — У жёлтого и правда два глаза, — вмешался оранжевый. — Зато у меня целых три глаза! Так сколько же глаз было у каждого инопланетянина? Ответ. У зелёного 3 глаза, у жёлтого 1 глаз, у оранжевого 1 глаз.
6. Петя хочет собрать из кубиков замкнутую «змейку», приклеивая кубики друг к другу по грани. Склеив змейку, как на рисунке, Петя обнаружил, что кубиков ему не хватает. Какое наименьшее количество кубиков нужно добавить, чтобы Петя смог достроить замкнутую змейку? Ответ. Понадобится 9 кубиков; пример показан на рисунке.
7. В начале каждого месяца кружок «Юный следопыт» принимает новых участников. Сначала им присваивают статус «новичок», в этом статусе они участвуют в кружке три месяца. В начале четвёртого месяца им присваивают статус «любитель», а в конце пятого они становятся опытными следопытами. В сентябре в кружке было 15 новичков и 19 любителей, а в ноябре — 21 новичок и 12 любителей. Сколько любителей будет в кружке к Математическому празднику, который проходит 16 февраля? Ответ. 18 Решение. Для тех, кто будет любителем 16 февраля, февраль — либо четвёртый, либо пятый месяц, то есть они должны были прийти на кружок либо в октябре, либо в ноябре. Сентябрьские любители к ноябрю уже станут опытными, а вот сентябрьские новички в ноябре либо будут новичками третий месяц, либо будут любителями. Всего в ноябре было 21 + 12 = 33 неопытных следопыта, из них 15 были в сентябре новичками — значит, 33−15 = 18 пришли на кружок в октябре или ноябре и в середине февраля будут любителями.
Смотрите на сайте для подготовки к олимпиаде
Математический праздник 2024 задания и ответы для 6-7 классов