Автор Задания, ответы и решения заключительный тур 2021-2022 по математике XLIV турнира им. М.В. Ломоносова, который прошёл 6 марта 2022 года для 7, 8, 9, 10, 11 класса.
Задания ответы и решения турнира Ломоносов по математике
otveti_math_tur_lom_2022Задание 1. Действительные числа x и y таковы, что x(x + 1)y = 6, а x 3 (x 3 + 1)y 3 = 126. Какие значения может принимать выражение x 2 (x 2 + 1)y 2 ? Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Задание 2. У Ярослава есть N замков, пронумерованных числами от 1 до N, расположенных по кругу в порядке увеличения номеров от 1 до N по часовой стрелке. В начальный момент времени все замки открыты. Ярослав начинает с замка с номером 1 и движется всегда по часовой стрелке. Если Ярослав находится у замка с номером k, то: – если открытых замков сейчас суммарно больше k, то Ярослав закрывает следующие по часовой стрелке k открытых замков, и переходит к следующему после этого открытому замку (возможно, снова к замку с номером k); – если открытых замков сейчас суммарно не больше k, то Ярослав закрывает все замки, кроме замка с номером k, и заканчивает (таким образом, остаётся открытым только замок с номером k). При каком наименьшем N > 2022 Ярослав оставит в конце открытым замок с номером 1?
Задание 3. Пусть O — центр описанной окружности, G — точка пересечения медиан остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная OG, проходящая через точку G, пересекает отрезок BC в точке K. Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке A пересекает прямую KG в точке L. Найдите величину угла ∠ACB, если ∠LOK = 155◦ , а ∠ABC = 53◦ .
Задание 4. При каком наименьшем n все натуральные делители числа n можно поделить на три группы, суммы в которых равны? Если группа состоит из одного числа, то сумма чисел в этой группе равна этому одному числу.
Задание 5. Пусть k — целое неотрицательное число, не превосходящее 1001. На доске написаны k единиц и 1001 − k нулей, т.е. всего на доске 1001 число. Саша и Марина играют в игру, делая ходы по очереди, начинает Саша. В свой ход Саша может заменить два каких-то числа на их произведение. Марина в свой ход может заменить два одинаковых числа на ноль, а два разных числа — на 1. Так они ходят до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число. Если это единица — выигрывает Саша, если ноль — Марина. При каких k выигрывает Саша?
Посмотрите также на нашем сайте:
03.10.2021 44 Турнир имени Ломоносова по математике задания и ответы 6-11 класс