Автор ВОШ 2020 муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике задания, ответы и решения для 5,6,7,8,9,10,11 класса, официальная дата проведения в Республике Башкортостан: 01.12.2020 (1 декабря 2020)
Ссылка для скачивания заданий и ответов ВОШ 2020 для 5-11 класса: скачать
ВОШ 2020 муниципальный этап по математике 5-11 класс задания и ответы олимпиады в Республике Башкортостан:
1)На восьми карточках записаны цифры 1, 2, 5, 7, 9, 0 и знаки “+” и “=”. Можно ли составить какой-нибудь верный пример на сложение, используя все указанные карточки?
Ответ: можно
2)В девяти клетках квадрата 3 × 3 стоят числа от 1 до 9. Арсений вычислил сумму чисел на одной диагонали, у него получилось 6. Алиса вычислила сумму чисел на другой диагонали, у нее получилось 20. Какое число стоит в центре квадрата?
Ответ: 3
3)9 рыцарей и лжецов встали в ряд. Каждый сказал, что рядом с ним стоит ровно один лжец. Сколько всего лжецов среди них, если рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут?
Ответ: 3 лжеца
4)Сможет ли Катя написать на доске десятизначное число, у которого все цифры различны и все разности между двумя соседними цифрами различны (при нахождении разности из большего вычитается меньшее)?
Ответ: сможет
5)В клетки доски 66 записаны числа 0 и 1 (см. рисунок справа). Можно ли разрезать доску на прямоугольники 12 так, чтобы в каждом прямоугольнике сумма записанных в её клетках чисел была равна 1?
Ответ: нельзя
6)Имеется бумажный прямоугольник 3100, разбитый на 300 клеток 11. Какое наибольшее число пар из одного уголка и одного квадратика 22 из него можно выстричь по линиям сетки? (Уголок получается из квадрата 22 удалением одной из угловых клеток).
Ответ: 33
7)Указать наибольшее возможное число, в десятичной записи которого все цифры различны, а сумма его цифр равна 37.
Ответ: 976543210
8)Существует ли натуральное число, в записи которого встречаются только цифры 7 и 5 в равном количестве, и которое делится на 7 и 5? Ответ обосновать.
Ответ: существует
9)На доске 44 расставьте 8 рыцарей и 8 лжецов так, чтобы каждый из них мог сказать: «Рядом со мной стоит ровно один рыцарь». Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Люди стоят рядом, если в занимаемых ими клетках есть общая сторона.
10)Имеется контур квадрата со стороной 20см, его разрезали на две группы равных отрезков из трёх и четырёх отрезков. Какую длину имеют эти отрезки? Найти все возможные ответы.
Ответ: 20см и 5см.
11)Имеется пять старинных монет, среди которых две поддельные. Эксперт может про любые две монеты за шоколадку указать, сколько среди них поддельных. У коллекционера Васи четыре шоколадки. Сможет ли Вася найти поддельные монеты, если эксперт требует указать ему сразу (до начала проверок) все пары монет, которые он должен проверить, и плату внести заранее?
Ответ: сможет
12)Прямоугольник 3100 состоит из 300 квадратов 11. Какое наибольшее число диагоналей можно провести в квадратах так, чтобы никакие две диагонали не имели общих концов? (В одном квадрате можно провести две диагонали, у них не будет общих концов. Общие внутренние точки разрешены.)
Ответ: 200
13)Найдите наименьшее число, в котором участвуют только цифры 2 и 3 в равном количестве, и кратное 2 и 3.
Ответ: 223332.
14)Прямоугольник со сторонами 6см и 3см разрезали на три прямоугольника равного периметра. Чему может равняться периметр этих прямоугольников? Найти все возможные ответы.
Ответ: 14см, 10 см, 10,5см.
15)Существуют ли четыре натуральных числа, сумма которых — сотая степень двойки, а произведение — сотая степень семнадцати?
Ответ: не существует
16)Два шахматиста сыграли между собой 100 партий. За победу начислялось 11 очков, за ничью x очков, за поражение очков не начислялось. Найти все возможные значения x, если шахматисты в сумме набрали 800 очков, и x – натуральное число.
Ответ: 3 и 4
17)Имеется 50 деревьев 25 видов по два дерева каждого вида. Можно ли их посадить в ряд так, чтобы между любыми двумя деревьями одного вида росло одно или три дерева?
Ответ: нельзя
18)Несколько полей доски 1414 отмечены. Известно, что никакие два из отмеченных полей не находятся в одном и том же столбце и одном и том же ряду, а также что конь может, начав с любого отмеченного поля, попасть на любое другое отмеченное поле по отмеченным полям. Каково наибольшее возможное количество отмеченных полей?
Ответ: 14
19)Докажите, что число 26+25 193+24 193+23 196+22 196+199 является составным?
20)Сколько существует натуральных чисел, больших единицы, произведение которых на свой наименьший простой делитель не больше 100?
Ответ: 33
21)Целые числа a и b таковы, что a 3 /(a+b)- целое. Доказать, что b 4 /(a+b) тоже целое.
22)Клетки квадрата n*n покрасили в n цветов, по n клеток в каждый цвет. При каких n можно так раскрасить квадрат, что в каждом ряду и каждом столбце будут клетки ровно двух цветов?
Ответ: 2, 3, 4
23)В треугольнике ABC A=30, B=105. На биссектрисе угла A 9 взяли точку D так, что ADC=150. Доказать, что AD=BC.
24)Каждую неделю по SMS-кам слушателей выбирают десять популярнейших песен. Известно, что 1) никогда не выбирают один и тот же набор песен в одном и том же порядке две недели подряд; 2) песня, однажды опустившаяся в рейтинге, в дальнейшем уже не поднимается. Какое наибольшее число недель могут продержаться в рейтинге одни и те же 10 песен?
Ответ: 46 недель
25)Действительные числа a, b, c таковы, что a+1/b=9, b+1/c=10, c+1/a=11. Найти значение выражения abc+1/(abc).
Ответ: 960
26)В турнире по футболу участвуют 17 команд, причём, каждая играет с каждой ровно один раз. За победу команде начисляют 3 очка. За ничью -1 очко. Проигравшая команда очков не получает. Какое наибольшее число команд могут набрать ровно по 10 очков?
Ответ: 11
27)Приведите пример трех различных целых чисел, одно из которых равно разности двух оставшихся, а другое – частному двух оставшихся.
Ответ: числа 2, -2, -4
28)Даны три ненулевых действительных числа а, b, с такие, что уравнения: ax2+bx+c=0, bx2+сx+a=0, cx2+ax+b=0 имеют каждое два корня. Сколько отрицательных может быть среди корней этих уравнений?
Ответ: 2
29)Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На прямой BC отметили точку D. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из точки D на боковые стороны, равноудалены от середины основания.
30)Несколько полей доски 1414 отмечены. Известно, что никакие два отмеченных поля не находятся в одном и том же столбце и одном и том же ряду, а также, что конь может, начав с некоторого отмеченного поля, обойти все отмеченные поля несколькими прыжками, побывав в каждом ровно один раз. Каково наибольшее возможное количество отмеченных полей?
Ответ: 13
31)В турнире по пляжному футболу участвуют 17 команд, причём каждая играет с каждой ровно один раз. За победу в основное время команде начисляют 3 очка. За победу в дополнительное время — 2 очка и за победу по пенальти — 1 очко. Проигравшая команда очков не получает. Какое наибольшее количество команд могут набрать ровно по 5 очков?
32)Найти все функции, определённые на множестве действительных чисел и принимающие действительные значения такие, что для любых x, y выполняется равенство f(x+|y|)=f(|x|)+f(y).
33)Пусть a и b – положительные числа такие, что a≥4b. Доказать, что a 2+b 2≥4ab.
34)Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Докажите, что сумма углов KPL и NPM равна 180 градусам.
35)Вася задумал натуральное число n ≤ 2020. Петя пытается угадать его следующим образом: он называет некоторое натуральное число x и спрашивает, больше ли его задуманное число (верно ли, что x<n?), а Вася отвечает ему «да» или «нет». Петя выигрывает, если он узнает число, и проигрывает, если после получения ответа «нет» во второй раз он не может назвать задуманное число. Какого наименьшего числа вопросов достаточно Пете, чтобы он победил?
Ответ: 64
36)Из четырёх правильных пятиугольников со стороной 1 и квадрата склеили коробку (см. рис.) Найти расстояние между точками A и B.
Ответ: 2
37)Найти наибольшее C такое, что для всех y≥4x>0 выполняется неравенство x 2+y 2≥Cxy.
Ответ: 17/4.
38)В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = BC) точка D на стороне AC такова, что радиус вписанной окружности треугольника ABD равен радиусу вневписанной окружности треугольника CBD, касающейся стороны CD. Доказать, что длина этих радиусов составляет четверть длины высоты, опущенной из точки С в треугольнике АВС.
39)Для натурального числа n G (n) обозначает количество натуральных чисел m, для которых m+n делит mn. Найти G(10k ).
Ответ: G(10k)=2k2+2k.
Задания и ответы для других предметов муниципального этапа 2020:
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы