Автор Юбилейный XXX Зимний Турнир Архимеда задания и ответы 2021 года для 4-7 класса, официальная дата проведения турнира: 07.02.2021 (7 февраля 2021 год). Список призеров на сайте планируется 14 февраля. Результаты остальных участников можно будет узнать с 1 марта.
Ссылка для скачивания заданий турнира: скачать в pdf
Задания и ответы 2021 зимнего турнира Архимеда онлайн:
1)На столе «касса цифр» (набор бумажных карточек с цифрами). Маша выложила из карточек четырёхзначное число. Толя заменил в числе все карточки на другие: каждую цифру либо уменьшил на 4, либо увеличил на 1. Число уменьшилось в 4 раза. Какое число могла выложить Маша? Что могло получиться у Толи? (Найдите как можно больше вариантов ответов).
2)Расставьте цифры от 1 до 8 по одной в вершинах куба таким образом, чтобы для каждой из шести граней суммы четырех чисел, стоящих в вершинах этой грани, были различны.
3)Али-баба на пути к пещере с сокровищами проходит через лабиринт (схема лабиринта — на рисунке). Лабиринт состоит из одинаковых комнат (на схеме — кружочки) и коридоров между ними. Из каждой комнаты можно выходить в двух направлениях (на схеме — направо или вверх). Две комнаты (А и B) для прохода закрыты. Сколько различных путей ведут в пещеру с сокровищами?
4)Разделите квадрат на 4 равные части так, чтобы в каждой из них сумма чисел была одинаковой.
5)Емеля устроился на работу царским хлебопёком. Как-то утром отправился он на царёву службу. Выехал он поздновато, поэтому печь пекла пироги прямо на ходу. Одновременно с Емелей навстречу ему отправились два посыльных: Фёдор и Иван. Фёдор идёт пешком, поэтому движется в 3 раза медленнее печи, а Иван — верхом на лошади — в 4 раза быстрее, чем печь. При встрече с посыльными Емеля (на ходу) отдаёт им все изготовленные к этому моменту пироги, а сам продолжает движение. Известно, что Фёдор получил на 133 пирога больше, чем Иван, а встречи с посыльными состоялись как раз в тот момент, когда он доставал из печи очередной пирог. Сколько всего пирогов испекла печь по пути на царёву службу? Печь начала работать с момента отправления и печёт пироги равномерно.
6)За круглым столом сидели 13 гостей. Среди них были рыцари (всегда говорят правду), лжецы (всегда лгут) и марсиане. Про марсиан известно, что правду они говорят только марсианам, а всем остальным лгут. Каждые двое сидящих рядом сказали друг другу: «Ты не рыцарь». Сколько лжецов могло сидеть за столом, если известно, что их было больше, чем марсиан? Найдите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.
7)Кощей Бессмертный (КБ) играет в игру. В начале игры он в каждой клетке таблицы 100×100 записывает по одному натуральному числу от 1 до 1002 , так, что все числа в таблице в начале игры — различны. Затем включается искусственный интеллект (ИИ). На первом шаге ИИ одновременно заменяет каждое число в таблице на наибольшее из соседних чисел (соседние — те, которые расположены в клетках с общей стороной). На втором шаге ИИ снова заменяет каждое число в таблице на наибольшее из соседних чисел, и так далее. а) Может ли КБ расставить числа в начале игры так, чтобы через некоторое время все числа в таблице стали одинаковыми? б) Какое наибольшее количество различных чисел может остаться в таблице через 10 000 ходов? в) Какое наименьшее число может остаться в таблице через 10 000 ходов?