Автор Все 36 вариантов задания 22 ОГЭ-2027 из тренировочных вариантов Ященко: кусочные функции, дроби с выколотыми точками, функции с модулем. Решения, описание графиков и ответы.
Задание 22 ОГЭ по математике 2027: графики функций с параметром, 36 вариантов Ященко с решениями
22_zadanie_mat_9_klass_oge_2027В задании 22 ОГЭ по математике нужно построить график функции, а затем выяснить, при каких значениях параметра прямая y = m или y = kx имеет с этим графиком заданное число общих точек. Функции бывают трёх видов: кусочные, дробные, которые после сокращения превращаются в знакомый график с выколотыми точками, и функции с модулем.
Это задание второй части, оно оценивается в 2 балла. Главное в нём — верно построенный график. Если он построен с ошибкой, решение получает 0 баллов, даже при правильном ответе.
Ниже разобраны все 36 вариантов задания 22 из тренировочных вариантов Ященко к ОГЭ 2027. Для каждой функции показано, как её упростить, из каких частей состоит график, где у него вершины, точки стыка и выколотые точки. Затем по шагам разобрано, сколько общих точек получается при каждом положении прямой. В конце — таблица ответов, типичные ошибки и частые вопросы.
Чтобы найти свою задачу, нажмите Ctrl+F и введите кусок формулы, например «|4x + 1| − x²» или «x² − 10x + 25».
Как оценивают задание 22
| Баллы | Что требуется |
|---|---|
| 2 | График построен верно, верно найдены искомые значения параметра |
| 1 | График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
В методических рекомендациях ФИПИ для экспертов прямо сказано, что основное условие положительной оценки — верное построение графика. В верное построение входят масштаб, содержательная таблица значений или объяснение построения, а выколотая точка должна быть обозначена в соответствии с её координатами. В примерах из тех же рекомендаций решение без выколотой точки получает 0 баллов.
Отсюда практический вывод: 1 балл можно получить и без ответа, если график построен верно. Поэтому сначала аккуратно постройте график, подпишите ключевые точки и только потом ищите значения параметра.
Как решать задание 22: шесть шагов
- Найдите область определения. Нули знаменателя исключаются, и в этих местах на графике появятся выколотые точки.
- Упростите функцию: сократите дробь или раскройте модуль. Получится кусочная функция из знакомых графиков: прямых, парабол, гипербол.
- Найдите опорные точки: вершины парабол, точки стыка кусков, концы лучей и отрезков, выколотые точки с координатами.
- Постройте график в одной системе координат, выколотые точки отметьте пустыми кружками.
- Подвигайте прямую. Прямая y = m горизонтальна и перемещается вверх и вниз. Прямая y = kx всегда проходит через начало координат и поворачивается вокруг него.
- Найдите граничные положения прямой и посчитайте число общих точек между ними.
Граничные положения почти всегда одни и те же:
- прямая проходит через вершину параболы;
- прямая проходит через точку стыка двух кусков графика;
- прямая проходит через выколотую точку;
- прямая параллельна одной из частей графика или совпадает с асимптотой;
- прямая y = kx касается параболы.
Какие функции встречаются в 36 вариантах
| Вид функции | Варианты |
|---|---|
| Кусочная: парабола и прямая | 1, 2, 33, 34 |
| Кусочная: три прямые | 7, 8 |
| Кусочная: «уголок» с модулем и парабола | 17, 18 |
| Кусочная: гипербола и прямая, прямая y = kx | 29, 30 |
| Дробь сокращается до гиперболы | 3, 4 |
| Дробь сокращается до прямой, прямая y = kx | 13, 14 |
| Дробь сокращается до параболы, прямая y = m | 19, 20, 23, 24 |
| Дробь сокращается до параболы, прямая y = kx | 35, 36 |
| Модуль в дроби, после сокращения — две ветви гиперболы | 25, 26 |
| Модуль линейного выражения минус x² | 5, 6 |
| Парабола плюс модуль линейного выражения | 11, 12 |
| Модуль x, умноженный на линейное выражение | 21, 22 |
| Чётные функции с модулем x | 15, 16 |
| Одно выражение вне модуля и под модулем | 9, 10, 27, 28 |
| Модуль и сокращение дроби, монотонная функция | 31, 32 |
Кусочные функции из параболы и прямой: варианты 1, 2, 33, 34
График состоит из куска параболы и луча. Важно точно определить, какой конец каждого куска принадлежит графику: в одной точке стыка знак неравенства нестрогий, в другой — строгий. Если значения кусков в точке стыка разные, у графика будет разрыв, и одна из точек окажется выколотой.
Вариант 1. y = x² − 10x + 25 при x > 4, y = 1,5x − 3 при x ≤ 4: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = {x² − 10x + 25 при x > 4; 1,5x − 3 при x ≤ 4}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. При x > 4 график — часть параболы y = (x − 5)² с вершиной (5; 0), ветви вверх. При x = 4 парабола даёт значение 1, но эта точка графику не принадлежит: точка (4; 1) выколота.
При x ≤ 4 график — луч прямой y = 1,5x − 3. Он проходит через точки (0; −3) и (2; 0) и заканчивается в точке (4; 3), которая графику принадлежит.
Посчитаем общие точки с прямой y = m. Луч пересекает её один раз при m ≤ 3. Парабола даёт одну точку при m = 0 (вершина), две точки при 0 < m < 1 и одну точку при m ≥ 1, потому что её левая ветвь обрывается на выколотой точке (4; 1).
- m > 3 — одна точка;
- 1 ≤ m ≤ 3 — две точки;
- 0 < m < 1 — три точки;
- m = 0 — две точки;
- m < 0 — одна точка.
Ответ: m = 0; 1 ≤ m ≤ 3.
Вариант 2. y = −x² + 8x − 16 при x > 2, y = −0,5x − 1 при x ≤ 2: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = {−x² + 8x − 16 при x > 2; −0,5x − 1 при x ≤ 2}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. При x > 2 график — часть параболы y = −(x − 4)² с вершиной (4; 0), ветви вниз. Точка (2; −4) выколота.
При x ≤ 2 график — луч y = −0,5x − 1, который заканчивается в точке (2; −2), она принадлежит графику. При уменьшении x значения на луче растут, поэтому луч занимает все значения y ≥ −2.
Парабола даёт одну точку при m = 0, две точки при −4 < m < 0 и одну при m ≤ −4. Луч даёт одну точку при m ≥ −2.
- m > 0 — одна точка;
- m = 0 — две точки;
- −2 ≤ m < 0 — три точки;
- −4 < m < −2 — две точки;
- m ≤ −4 — одна точка.
Ответ: m = 0; −4 < m < −2.
Вариант 33. y = −x² + 8x − 17 при x ≥ 2, y = −x − 2 при x < 2: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = {−x² + 8x − 17 при x ≥ 2; −x − 2 при x < 2}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. При x ≥ 2 график — часть параболы y = −(x − 4)² − 1 с вершиной (4; −1), ветви вниз. Она начинается в точке (2; −5), которая принадлежит графику.
При x < 2 график — луч y = −x − 2. При x, стремящемся к 2, значение стремится к −4, точка (2; −4) выколота. Луч занимает значения y > −4.
Парабола: одна точка при m = −1, две при −5 ≤ m < −1, одна при m < −5. Луч: одна точка при m > −4.
- m > −1 — одна точка;
- m = −1 — две точки;
- −4 < m < −1 — три точки;
- −5 ≤ m ≤ −4 — две точки;
- m < −5 — одна точка.
Ответ: −5 ≤ m ≤ −4; m = −1.
Вариант 34. y = −x² + 2x + 3 при x ≥ −1, y = −x + 1 при x < −1: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = {−x² + 2x + 3 при x ≥ −1; −x + 1 при x < −1}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. При x ≥ −1 график — часть параболы y = −(x − 1)² + 4 с вершиной (1; 4), ветви вниз. Начинается она в точке (−1; 0), которая принадлежит графику, и пересекает ось абсцисс ещё в точке (3; 0).
При x < −1 график — луч y = −x + 1, точка (−1; 2) выколота, значения на луче y > 2.
Парабола: одна точка при m = 4, две при 0 ≤ m < 4, одна при m < 0. Луч: одна точка при m > 2.
- m > 4 — одна точка;
- m = 4 — две точки;
- 2 < m < 4 — три точки;
- 0 ≤ m ≤ 2 — две точки;
- m < 0 — одна точка.
Ответ: 0 ≤ m ≤ 2; m = 4.
Кусочные функции из трёх прямых: варианты 7 и 8
График составлен из луча, отрезка и ещё одного луча. Главное — проверить каждую точку стыка: совпадают ли в ней значения соседних кусков и какой из кусков эту точку содержит.
Вариант 7. y = x − 1 при x ≤ 5, y = −1,5x + 11,5 при 5 < x < 6, y = 0,5x − 4 при x ≥ 6
Постройте график функции y = {x − 1 при x ≤ 5; −1,5x + 11,5 при 5 < x < 6; 0,5x − 4 при x ≥ 6}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. Первый кусок — луч y = x − 1, который заканчивается в точке (5; 4). Значения на нём y ≤ 4.
Второй кусок — отрезок y = −1,5x + 11,5 от точки (5; 4) до точки (6; 2,5). В точке x = 5 он стыкуется с первым лучом, разрыва нет. Точка (6; 2,5) выколота: при x = 6 работает третья формула.
Третий кусок — луч y = 0,5x − 4 из точки (6; −1), значения на нём y ≥ −1.
- m > 4 — одна точка (третий луч);
- m = 4 — две точки: (5; 4) и точка на третьем луче;
- 2,5 < m < 4 — три точки;
- −1 ≤ m ≤ 2,5 — две точки: на первом и третьем лучах, отрезок их уже не даёт;
- m < −1 — одна точка.
Ответ: m = 4; −1 ≤ m ≤ 2,5.
Вариант 8. y = x + 1 при x ≤ 1, y = −0,5x + 2,5 при 1 < x < 5, y = 1,5x − 6,5 при x ≥ 5
Постройте график функции y = {x + 1 при x ≤ 1; −0,5x + 2,5 при 1 < x < 5; 1,5x − 6,5 при x ≥ 5}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. Первый кусок — луч y = x + 1 до точки (1; 2), значения y ≤ 2.
Второй — отрезок y = −0,5x + 2,5 от (1; 2) до (5; 0). В точке x = 1 разрыва нет. Точка (5; 0) выколота: при x = 5 третья формула даёт 1.
Третий — луч y = 1,5x − 6,5 из точки (5; 1), значения y ≥ 1.
- m > 2 — одна точка;
- m = 2 — две точки: (1; 2) и точка на третьем луче;
- 1 ≤ m < 2 — три точки;
- 0 < m < 1 — две точки: на первом луче и на отрезке;
- m ≤ 0 — одна точка.
Ответ: m = 2; 0 < m < 1.
«Уголок» и парабола: варианты 17 и 18
График y = 3 − |x| — это «уголок» с вершиной (0; 3), стороны которого идут вниз под углом 45°. Его удобно строить как две прямые: y = 3 + x при x < 0 и y = 3 − x при x ≥ 0.
Вариант 17. y = 3 − |x| при x < 2, y = x² − 8x + 11 при x ≥ 2: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = {3 − |x| при x < 2; x² − 8x + 11 при x ≥ 2}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. При x < 2 график — «уголок» с вершиной (0; 3). Его правая сторона y = 3 − x обрывается в выколотой точке (2; 1).
При x ≥ 2 график — часть параболы y = (x − 4)² − 5 с вершиной (4; −5). Она начинается в точке (2; −1), которая принадлежит графику.
Уголок даёт одну точку при m = 3, две точки при 1 < m < 3 и одну при m ≤ 1. Парабола даёт одну точку при m = −5, две при −5 < m ≤ −1 и одну при m > −1.
- m > 3 — одна точка;
- m = 3 — две точки;
- 1 < m < 3 — три точки;
- −1 < m ≤ 1 — две точки;
- −5 < m ≤ −1 — три точки;
- m = −5 — две точки;
- m < −5 — одна точка.
Ответ: −5 < m ≤ −1; 1 < m < 3.
Вариант 18. y = 2 − |x| при x ≤ 4, y = −x² + 10x − 25 при x > 4: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = {2 − |x| при x ≤ 4; −x² + 10x − 25 при x > 4}.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. При x ≤ 4 график — «уголок» с вершиной (0; 2), его правая сторона заканчивается в точке (4; −2), она принадлежит графику.
При x > 4 график — часть параболы y = −(x − 5)² с вершиной (5; 0), ветви вниз. Точка (4; −1) выколота.
Уголок: одна точка при m = 2, две при −2 ≤ m < 2, одна при m < −2. Парабола: одна точка при m = 0, две при −1 < m < 0, одна при m ≤ −1, ни одной при m > 0.
- m > 2 — общих точек нет;
- m = 2 — одна точка;
- 0 < m < 2 — две точки;
- m = 0 — три точки;
- −1 < m < 0 — четыре точки;
- −2 ≤ m ≤ −1 — три точки;
- m < −2 — две точки.
Ответ: −2 ≤ m ≤ −1; m = 0.
Гипербола и прямая, прямая y = kx: варианты 29 и 30
Здесь прямая y = kx проходит через начало координат и поворачивается. Граничные значения k получаются, когда прямая проходит через концы кусков графика: k равно отношению ординаты точки к её абсциссе.
Вариант 29. y = −6/x при x < −2 и при x > 1, y = −3x − 3 при −2 ≤ x ≤ 1: ровно три общие точки с прямой y = kx
Постройте график функции y = {−6/x при x < −2 и при x > 1; −3x − 3 при −2 ≤ x ≤ 1}.
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. График состоит из двух кусков гиперболы y = −6/x и отрезка прямой y = −3x − 3 от точки (−2; 3) до точки (1; −6). Гипербола в этих же точках даёт те же значения, поэтому график непрерывный: левый кусок гиперболы уходит от (−2; 3) влево, приближаясь к оси абсцисс сверху, правый — от (1; −6) вправо, приближаясь к оси снизу.
Прямая y = kx пересекает гиперболу, только если k < 0: из kx = −6/x получаем x² = −6/k. Левая точка лежит на нужном куске при x < −2, то есть при −6/k > 4, k > −1,5. Правая — при x > 1, то есть при k > −6.
Граничное положение — прямая через точку стыка (−2; 3): k = 3 : (−2) = −1,5.
- При −1,5 < k < 0 прямая пересекает оба куска гиперболы и отрезок (в точке x = −3/(k + 3) между −2 и −1) — три точки.
- При k = −1,5 прямая проходит через точку (−2; 3) и пересекает правый кусок гиперболы — две точки.
- При k < −1,5 и при k ≥ 0 общая точка одна.
Ответ: −1,5 < k < 0.
Вариант 30. y = 3/x при x ≤ −0,5 и при x ≥ 2, y = 3x − 3 при −0,5 < x < 2: ровно одна общая точка с прямой y = kx
Постройте график функции y = {3/x при x ≤ −0,5 и при x ≥ 2; 3x − 3 при −0,5 < x < 2}.
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. Левый кусок гиперболы начинается в точке (−0,5; −6) и уходит влево. Правый начинается в точке (2; 1,5) и уходит вправо. Обе точки принадлежат графику. Между ними — отрезок прямой y = 3x − 3 с выколотыми концами (−0,5; −4,5) и (2; 3). График имеет два разрыва.
Найдём граничные значения k — прямые через концы кусков:
- через (2; 1,5): k = 0,75;
- через выколотую точку (2; 3): k = 1,5;
- через выколотую точку (−0,5; −4,5): k = 9;
- через (−0,5; −6): k = 12.
Гиперболу прямая пересекает только при k > 0: левый кусок при k ≤ 12, правый при k ≤ 0,75. Отрезок прямая пересекает при k < 1,5 (точка между 0 и 2) и при k > 9 (точка между −0,5 и 0). При k = 3 прямая параллельна отрезку.
- k ≤ 0 — одна точка (на отрезке);
- 0 < k ≤ 0,75 — три точки;
- 0,75 < k < 1,5 — две точки;
- 1,5 ≤ k ≤ 9 — одна точка (на левом куске гиперболы);
- 9 < k ≤ 12 — две точки;
- k > 12 — одна точка (на отрезке).
Ответ: k ≤ 0; 1,5 ≤ k ≤ 9; k > 12.
Дробь сокращается до гиперболы: варианты 3 и 4
После сокращения дроби получается гипербола, сдвинутая вверх или вниз. Горизонтальная прямая не пересекает график в двух случаях: когда она совпадает с асимптотой и когда проходит через выколотую точку.
Вариант 3. y = −3 − (x − 6)/(x² − 6x): прямая y = m не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y = −3 − (x − 6)/(x² − 6x).
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.
Решение. Область определения: x ≠ 0 и x ≠ 6. Сократим дробь:
(x − 6)/(x(x − 6)) = 1/x, поэтому y = −3 − 1/x.
Графиком является гипербола y = −1/x, сдвинутая на 3 единицы вниз. Её горизонтальная асимптота — прямая y = −3. Точка с абсциссой 6 выколота: y = −3 − 1/6 = −19/6, то есть −3 1/6.
Прямая y = −3 совпадает с асимптотой и график не пересекает. Прямая y = −19/6 могла бы пересечь график только в точке с x = 6, но эта точка выколота. Любая другая горизонтальная прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: m = −3 1/6; m = −3.
Вариант 4. y = 4 − (x + 3)/(x² + 3x): прямая y = m не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y = 4 − (x + 3)/(x² + 3x).
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.
Решение. Область определения: x ≠ 0 и x ≠ −3. После сокращения y = 4 − 1/x.
Это гипербола y = −1/x, поднятая на 4. Асимптота y = 4. Выколотая точка при x = −3: y = 4 + 1/3 = 13/3, то есть 4 1/3.
Ответ: m = 4; m = 4 1/3.
Дробь сокращается до прямой, прямая y = kx: варианты 13 и 14
После сокращения получается прямая с двумя выколотыми точками. Прямая y = kx не пересекает её в трёх случаях: когда параллельна ей и когда проходит через одну из выколотых точек.
Вариант 13. y = (x + 1)(x² − 4)/(x² − x − 2): прямая y = kx не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y = (x + 1)(x² − 4)/(x² − x − 2).
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Решение. Разложим знаменатель: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Область определения: x ≠ 2, x ≠ −1.
y = (x + 1)(x − 2)(x + 2)/((x − 2)(x + 1)) = x + 2.
График — прямая y = x + 2 с выколотыми точками (2; 4) и (−1; 1).
Прямая y = kx не имеет с ним общих точек:
- при k = 1 — она параллельна графику;
- при k = 2 — проходит через выколотую точку (2; 4);
- при k = −1 — проходит через выколотую точку (−1; 1).
Ответ: k = −1; k = 1; k = 2.
Вариант 14. y = (x + 2)(x² − 9)/(x² − x − 6): прямая y = kx не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y = (x + 2)(x² − 9)/(x² − x − 6).
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Решение. x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), область определения: x ≠ 3, x ≠ −2. После сокращения y = x + 3, выколотые точки (3; 6) и (−2; 1).
- k = 1 — прямые параллельны;
- k = 6 : 3 = 2 — прямая через (3; 6);
- k = 1 : (−2) = −0,5 — прямая через (−2; 1).
Ответ: k = −0,5; k = 1; k = 2.
Дробь сокращается до параболы, прямая y = m: варианты 19, 20, 23, 24
После сокращения получается парабола с одной или двумя выколотыми точками. Горизонтальная прямая имеет с параболой одну общую точку, если проходит через вершину. А ещё — если из двух её точек пересечения одна выколота.
Вариант 19. y = (x − 3)(x² + 6x + 8)/(x + 2): ровно одна общая точка с прямой y = m
Постройте график функции y = (x − 3)(x² + 6x + 8)/(x + 2) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4). При x ≠ −2:
y = (x − 3)(x + 4) = x² + x − 12.
Парабола, ветви вверх, вершина в точке x = −0,5, y = −12,25. Выколотая точка при x = −2: y = 4 − 2 − 12 = −10.
- m = −12,25 — прямая проходит через вершину, одна точка;
- m = −10 — уравнение x² + x − 12 = −10 даёт x = 1 и x = −2, но вторая точка выколота, остаётся одна.
Ответ: m = −12,25; m = −10.
Вариант 20. y = (x + 2)(x² − 4x + 3)/(x − 1): ровно одна общая точка с прямой y = m
Постройте график функции y = (x + 2)(x² − 4x + 3)/(x − 1) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). При x ≠ 1:
y = (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6.
Вершина параболы: x = 0,5, y = −6,25. Выколотая точка при x = 1: y = −6.
- m = −6,25 — вершина;
- m = −6 — уравнение x² − x − 6 = −6 даёт x = 0 и x = 1, вторая точка выколота.
Ответ: m = −6,25; m = −6.
Вариант 23. y = (x² − 2x − 3)(x² − 3x + 2)/(x² − 4x + 3): ровно одна общая точка с прямой y = m
Постройте график функции y = (x² − 2x − 3)(x² − 3x + 2)/(x² − 4x + 3) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. Разложим все трёхчлены:
x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1), x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
При x ≠ 1 и x ≠ 3:
y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2.
Вершина: x = 0,5, y = −2,25. Выколотые точки: (1; −2) и (3; 4).
- m = −2,25 — вершина;
- m = −2 — точки x = 0 и x = 1, вторая выколота;
- m = 4 — точки x = −2 и x = 3, вторая выколота.
Ответ: m = −2,25; m = −2; m = 4.
Вариант 24. y = (x² + 3x + 2)(x² − 4x + 3)/(x² − 2x − 3): ровно одна общая точка с прямой y = m
Постройте график функции y = (x² + 3x + 2)(x² − 4x + 3)/(x² − 2x − 3) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
При x ≠ 3 и x ≠ −1:
y = (x + 2)(x − 1) = x² + x − 2.
Вершина: x = −0,5, y = −2,25. Выколотые точки: (3; 10) и (−1; −2).
- m = −2,25 — вершина;
- m = −2 — точки x = 0 и x = −1, вторая выколота;
- m = 10 — точки x = −4 и x = 3, вторая выколота.
Ответ: m = −2,25; m = −2; m = 10.
Парабола с выколотой точкой и прямая y = kx: варианты 35 и 36
Прямая y = kx имеет с параболой одну общую точку в двух случаях: когда касается её (дискриминант равен нулю) и когда пересекает в двух точках, одна из которых выколота.
Вариант 35. y = (x² + 1)(x − 2)/(2 − x): ровно одна общая точка с прямой y = kx
Постройте график функции y = (x² + 1)(x − 2)/(2 − x).
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. При x ≠ 2 дробь (x − 2)/(2 − x) равна −1, поэтому y = −(x² + 1) = −x² − 1. Парабола с вершиной (0; −1), ветви вниз, выколотая точка (2; −5).
Общие точки с прямой y = kx: −x² − 1 = kx, то есть x² + kx + 1 = 0.
Касание: дискриминант k² − 4 = 0, k = ±2. Точки касания x = ∓1, они не выколоты.
Прохождение через выколотую точку: подставим x = 2: 4 + 2k + 1 = 0, k = −2,5. Произведение корней равно 1, значит, второй корень 0,5 — эта точка остаётся, и общая точка одна.
Ответ: k = −2,5; k = −2; k = 2.
Вариант 36. y = (x² + 1)(x + 2)/(−2 − x): ровно одна общая точка с прямой y = kx
Постройте график функции y = (x² + 1)(x + 2)/(−2 − x).
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. При x ≠ −2: y = −(x² + 1). Выколотая точка (−2; −5).
Уравнение x² + kx + 1 = 0. Касание при k = ±2. Прохождение через выколотую точку: 4 − 2k + 1 = 0, k = 2,5, второй корень −0,5.
Ответ: k = −2; k = 2; k = 2,5.
Модуль в дроби: варианты 25 и 26
Знаменатель раскладывается на множители с общим множителем |x|, так как x² = |x|². После сокращения получается y = −1/|x|: две ветви гиперболы ниже оси абсцисс, симметричные относительно оси ординат.
Вариант 25. y = (1,5|x| − 1)/(|x| − 1,5x²): прямая y = kx не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y = (1,5|x| − 1)/(|x| − 1,5x²).
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Решение. Так как x² = |x|², знаменатель равен |x|(1 − 1,5|x|). Числитель равен −(1 − 1,5|x|). Область определения: x ≠ 0 и |x| ≠ 2/3. После сокращения:
y = −1/|x|.
При x > 0 это y = −1/x, при x < 0 — y = 1/x. Обе ветви лежат ниже оси абсцисс. Выколотые точки при x = ±2/3: (2/3; −1,5) и (−2/3; −1,5).
- k = 0: прямая y = 0 — асимптота, общих точек нет.
- k < 0: прямая пересекает правую ветвь в одной точке. Общих точек не будет, если эта точка выколота: k = −1,5 : (2/3) = −2,25.
- k > 0: прямая пересекает левую ветвь. Через выколотую точку (−2/3; −1,5) проходит прямая с k = 2,25.
Ответ: k = −2,25; k = 0; k = 2,25.
Вариант 26. y = (3,5|x| − 1)/(|x| − 3,5x²): прямая y = kx не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y = (3,5|x| − 1)/(|x| − 3,5x²).
Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
Решение. Аналогично варианту 25: знаменатель |x|(1 − 3,5|x|), числитель −(1 − 3,5|x|). При x ≠ 0 и |x| ≠ 2/7:
y = −1/|x|.
Выколотые точки: (2/7; −3,5) и (−2/7; −3,5). Прямые через них: k = −3,5 : (2/7) = −12,25 и k = 12,25. Ещё один ответ — k = 0, асимптота.
Ответ: k = −12,25; k = 0; k = 12,25.
Функции вида |ax + 1| − x²: варианты 5 и 6
Модуль раскрывается по знаку выражения 4x + 1 (или 6x + 1). Получаются две параболы с ветвями вниз, которые стыкуются в точке, где выражение под модулем равно нулю. График похож на две «горки» разной высоты с «впадиной» между ними.
Вариант 5. y = |4x + 1| − x²: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = |4x + 1| − x².
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. При x ≥ −0,25: y = −x² + 4x + 1 = −(x − 2)² + 5, вершина (2; 5).
При x < −0,25: y = −x² − 4x − 1 = −(x + 2)² + 3, вершина (−2; 3).
Точка стыка: x = −0,25, y = −1/16.
- m > 5 — общих точек нет;
- m = 5 — одна точка;
- 3 < m < 5 — две точки;
- m = 3 — три точки: вершина левой «горки» и две точки на правой;
- −1/16 < m < 3 — четыре точки;
- m = −1/16 — три точки: точка стыка и по одной на внешних ветвях;
- m < −1/16 — две точки.
Ответ: m = −1/16; m = 3.
Вариант 6. y = |6x + 1| − x²: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = |6x + 1| − x².
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. При x ≥ −1/6: y = −x² + 6x + 1 = −(x − 3)² + 10, вершина (3; 10).
При x < −1/6: y = −x² − 6x − 1 = −(x + 3)² + 8, вершина (−3; 8).
Точка стыка: x = −1/6, y = −1/36.
Три общие точки — при прохождении через вершину нижней «горки» (m = 8) и через точку стыка (m = −1/36).
Ответ: m = −1/36; m = 8.
Модуль в линейной части: варианты 11 и 12
Модуль раскрывается по знаку выражения под ним, и квадратичная часть сохраняется. Получаются две параболы, которые стыкуются в одной точке.
Вариант 11. y = x² + 2,5x − 2,5|x + 2| + 1: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = x² + 2,5x − 2,5|x + 2| + 1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. При x ≥ −2: y = x² + 2,5x − 2,5x − 5 + 1 = x² − 4. Вершина (0; −4).
При x < −2: y = x² + 2,5x + 2,5x + 5 + 1 = x² + 5x + 6. Вершина (−2,5; −0,25).
Точка стыка (−2; 0) принадлежит обеим частям.
- m > 0 — две точки;
- m = 0 — три точки: x = −3, x = −2, x = 2;
- −0,25 < m < 0 — четыре точки;
- m = −0,25 — три точки: вершина левой параболы и две точки на правой;
- −4 < m < −0,25 — две точки;
- m = −4 — одна точка; m < −4 — ни одной.
Ответ: m = −0,25; m = 0.
Вариант 12. y = x² + x − 5|x − 1| − 2: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = x² + x − 5|x − 1| − 2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. При x ≥ 1: y = x² + x − 5x + 5 − 2 = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1. Вершина (2; −1).
При x < 1: y = x² + x + 5x − 5 − 2 = x² + 6x − 7 = (x + 3)² − 16. Вершина (−3; −16).
Точка стыка (1; 0).
- m > 0 — две точки;
- m = 0 — три точки: x = −7, x = 1, x = 3;
- −1 < m < 0 — четыре точки;
- m = −1 — три точки: вершина правой параболы и две точки на левой;
- −16 < m < −1 — две точки;
- m = −16 — одна точка.
Ответ: m = −1; m = 0.
Функции вида |x| · (x + a) − bx: варианты 21 и 22
При x ≥ 0 модуль раскрывается со знаком плюс, при x < 0 — с минусом. Получаются две параболы с ветвями в разные стороны, которые стыкуются в начале координат.
Вариант 21. y = |x| · (x − 1) − 2x: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = |x| · (x − 1) − 2x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. При x ≥ 0: y = x² − x − 2x = x² − 3x. Вершина (1,5; −2,25), ветви вверх.
При x < 0: y = −x² + x − 2x = −x² − x. Вершина (−0,5; 0,25), ветви вниз.
- m > 0,25 — одна точка;
- m = 0,25 — две точки: вершина левой параболы и точка на правой;
- −2,25 < m < 0,25 — три точки;
- m = −2,25 — две точки: вершина правой параболы и точка на левой;
- m < −2,25 — одна точка.
Ответ: m = −2,25; m = 0,25.
Вариант 22. y = |x| · (x + 2) − 3x: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = |x| · (x + 2) − 3x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. При x ≥ 0: y = x² + 2x − 3x = x² − x. Вершина (0,5; −0,25), ветви вверх.
При x < 0: y = −x² − 2x − 3x = −x² − 5x. Вершина (−2,5; 6,25), ветви вниз.
- m > 6,25 — одна точка;
- m = 6,25 — две точки;
- −0,25 < m < 6,25 — три точки;
- m = −0,25 — две точки;
- m < −0,25 — одна точка.
Ответ: m = −0,25; m = 6,25.
Чётные функции с |x|: варианты 15 и 16
Функция, в которую x входит только через x² и |x|, чётная: её график симметричен относительно оси ординат. Строят правую половину (при x ≥ 0) и отражают её.
Вариант 15. y = x² + 4|x| − 5: наибольшее число общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс
Постройте график функции y = x² + 4|x| − 5.
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение. При x ≥ 0: y = x² + 4x − 5 = (x + 2)² − 9. Вершина этой параболы при x = −2 лежит вне промежутка, поэтому при x ≥ 0 функция возрастает от значения −5.
График симметричен относительно оси ординат и имеет вид «чаши» с нижней точкой (0; −5). Горизонтальная прямая y = m при m > −5 пересекает его в двух точках, при m = −5 — в одной.
Ответ: 2.
Вариант 16. y = x² − 3|x| − 10: наибольшее число общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс
Постройте график функции y = x² − 3|x| − 10.
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение. При x ≥ 0: y = x² − 3x − 10 = (x − 1,5)² − 12,25. Вершина (1,5; −12,25).
Отражая эту часть относительно оси ординат, получаем график в форме буквы «W»: два минимума в точках (±1,5; −12,25) и локальный максимум (0; −10).
Прямая y = m при −12,25 < m < −10 пересекает каждую «лунку» дважды — всего четыре точки. Больше быть не может.
Ответ: 4.
Модуль разности: варианты 9, 10, 27, 28
В этих функциях одно и то же выражение стоит и вне модуля, и под ним. Если выражение под модулем неотрицательно, часть слагаемых сокращается. Если отрицательно — удваивается. Поэтому сначала нужно найти, где выражение под модулем меняет знак.
Вариант 9. y = x² + 8/x − |x² − 8/x| − 2: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = x² + 8/x − |x² − 8/x| − 2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. Область определения: x ≠ 0.
Если x² − 8/x ≥ 0, модуль раскрывается без смены знака, и y = 16/x − 2. Если x² − 8/x < 0, то y = 2x² − 2.
Неравенство x² ≥ 8/x при x < 0 выполняется всегда (слева положительное число, справа отрицательное), а при x > 0 равносильно x³ ≥ 8, то есть x ≥ 2. Итак:
- y = 16/x − 2 при x < 0 и при x ≥ 2;
- y = 2x² − 2 при 0 < x < 2.
При x < 0 график — ветвь гиперболы, значения меньше −2. При 0 < x < 2 — кусок параболы от выколотой точки (0; −2) до точки (2; 6). При x ≥ 2 — ветвь гиперболы от (2; 6) вниз к асимптоте y = −2.
- m > 6 — общих точек нет;
- m = 6 — одна точка (2; 6);
- −2 < m < 6 — две точки: на параболе и на правой ветви гиперболы;
- m = −2 — общих точек нет;
- m < −2 — одна точка на левой ветви.
Ответ: −2 < m < 6.
Вариант 10. y = x² − 1/x − |x² + 1/x| + 2: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = x² − 1/x − |x² + 1/x| + 2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. Область определения: x ≠ 0.
Если x² + 1/x ≥ 0, то y = −2/x + 2. Если x² + 1/x < 0, то y = 2x² + 2.
При x > 0 выражение x² + 1/x положительно. При x < 0 неравенство x² + 1/x ≥ 0 равносильно x³ + 1 ≤ 0, то есть x ≤ −1. Итак:
- y = 2 − 2/x при x ≤ −1 и при x > 0;
- y = 2x² + 2 при −1 < x < 0.
При x ≤ −1 график — кусок гиперболы от точки (−1; 4) влево к асимптоте y = 2, значения от 2 до 4. При −1 < x < 0 — кусок параболы от (−1; 4) до выколотой точки (0; 2). При x > 0 — ветвь гиперболы ниже прямой y = 2.
- m > 4 — общих точек нет;
- m = 4 — одна точка (−1; 4);
- 2 < m < 4 — две точки: на гиперболе и на параболе;
- m = 2 — общих точек нет;
- m < 2 — одна точка.
Ответ: 2 < m < 4.
Вариант 27. y = x² − 2x − |x² − 4| − 3: ровно две общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = x² − 2x − |x² − 4| − 3 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение. Если |x| ≥ 2, то x² − 4 ≥ 0, и y = x² − 2x − x² + 4 − 3 = −2x + 1.
Если |x| < 2, то y = x² − 2x + x² − 4 − 3 = 2x² − 2x − 7 = 2(x − 0,5)² − 7,5.
График непрерывен: луч y = −2x + 1 при x ≤ −2 идёт из точки (−2; 5) вверх влево; парабола на промежутке (−2; 2) опускается от (−2; 5) до вершины (0,5; −7,5) и поднимается до (2; −3); луч y = −2x + 1 при x ≥ 2 идёт из (2; −3) вниз вправо.
- m > −3 — одна точка;
- m = −3 — две точки: x = −1 и x = 2;
- −7,5 < m < −3 — три точки;
- m = −7,5 — две точки: вершина и точка на правом луче;
- m < −7,5 — одна точка.
Ответ: m = −7,5; m = −3.
Вариант 28. y = x² + 2x − |x² − 9| − 8: ровно три общие точки с прямой y = m
Постройте график функции y = x² + 2x − |x² − 9| − 8 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Если |x| ≥ 3: y = x² + 2x − x² + 9 − 8 = 2x + 1.
Если |x| < 3: y = 2x² + 2x − 17 = 2(x + 0,5)² − 17,5.
Левый луч y = 2x + 1 при x ≤ −3 поднимается к точке (−3; −5). Парабола опускается от (−3; −5) до вершины (−0,5; −17,5) и поднимается до (3; 7). Правый луч идёт из (3; 7) вверх.
- m > −5 — одна точка;
- m = −5 — две точки: x = −3 и x = 2;
- −17,5 < m < −5 — три точки: на левом луче и две на параболе;
- m = −17,5 — две точки;
- m < −17,5 — одна точка.
Ответ: −17,5 < m < −5.
Модуль и сокращение дроби: варианты 31 и 32
Множитель в числителе сокращается со знаменателем, остаётся функция вида a·x·|x|. Она возрастает на всей прямой и принимает каждое значение ровно один раз. Значит, горизонтальная прямая не пересекает график только тогда, когда проходит через выколотую точку.
Вариант 31. y = (0,25x² + x) · |x|/(x + 4): прямая y = m не имеет ни одной общей точки
Постройте график функции y = (0,25x² + x) · |x|/(x + 4).
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение. 0,25x² + x = 0,25x(x + 4). При x ≠ −4:
y = 0,25x · |x|.
При x ≥ 0 это y = 0,25x², при x < 0 — y = −0,25x². График — две половинки парабол, соединённые в начале координат. Функция возрастает и принимает все значения. Выколотая точка при x = −4: y = −0,25 · 4 · 4 = −4.
Ответ: m = −4.
Вариант 32. y = (0,5x² + 0,5x) · |x|/(x + 1): прямая y = m не имеет ни одной общей точки
Постройте график функции y = (0,5x² + 0,5x) · |x|/(x + 1).
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение. 0,5x² + 0,5x = 0,5x(x + 1). При x ≠ −1:
y = 0,5x · |x|.
Функция возрастает на всей прямой. Выколотая точка: x = −1, y = −0,5.
Ответ: m = −0,5.
Ответы на все 36 вариантов задания 22
| Вариант | Ответ |
|---|---|
| 1 | m = 0; 1 ≤ m ≤ 3 |
| 2 | m = 0; −4 < m < −2 |
| 3 | m = −3 1/6; m = −3 |
| 4 | m = 4; m = 4 1/3 |
| 5 | m = −1/16; m = 3 |
| 6 | m = −1/36; m = 8 |
| 7 | m = 4; −1 ≤ m ≤ 2,5 |
| 8 | m = 2; 0 < m < 1 |
| 9 | −2 < m < 6 |
| 10 | 2 < m < 4 |
| 11 | m = −0,25; m = 0 |
| 12 | m = −1; m = 0 |
| 13 | k = −1; k = 1; k = 2 |
| 14 | k = −0,5; k = 1; k = 2 |
| 15 | 2 |
| 16 | 4 |
| 17 | −5 < m ≤ −1; 1 < m < 3 |
| 18 | −2 ≤ m ≤ −1; m = 0 |
| 19 | m = −12,25; m = −10 |
| 20 | m = −6,25; m = −6 |
| 21 | m = −2,25; m = 0,25 |
| 22 | m = −0,25; m = 6,25 |
| 23 | m = −2,25; m = −2; m = 4 |
| 24 | m = −2,25; m = −2; m = 10 |
| 25 | k = −2,25; k = 0; k = 2,25 |
| 26 | k = −12,25; k = 0; k = 12,25 |
| 27 | m = −7,5; m = −3 |
| 28 | −17,5 < m < −5 |
| 29 | −1,5 < k < 0 |
| 30 | k ≤ 0; 1,5 ≤ k ≤ 9; k > 12 |
| 31 | m = −4 |
| 32 | m = −0,5 |
| 33 | −5 ≤ m ≤ −4; m = −1 |
| 34 | 0 ≤ m ≤ 2; m = 4 |
| 35 | k = −2,5; k = −2; k = 2 |
| 36 | k = −2; k = 2; k = 2,5 |
Где чаще всего теряют баллы в задании 22
Забывают выколотую точку
Это самая дорогая ошибка: без выколотой точки график считается построенным неверно, и решение получает 0 баллов. Выколотые точки появляются при сокращении дроби (варианты 3, 4, 13, 14, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 35, 36) на стыке кусков с разрывом (варианты 1, 2, 7, 8, 17, 18, 30, 33, 34) и на концах кусков, где x не входит в область определения (варианты 9 и 10). Отмечайте их пустым кружком и подписывайте координаты.
Не указывают, какой конец куска принадлежит графику
В кусочных функциях знак «≤» означает, что точка входит в график, а «<» — что нет. От этого зависит, попадает ли граничное значение параметра в ответ. В варианте 1 ответ 1 ≤ m ≤ 3, а не 1 < m ≤ 3, именно из-за того, какой конец выколот.
Теряют одно из граничных положений
В задачах на «ровно одну точку» или «нет общих точек» обычно несколько ответов: вершина и выколотая точка, касание и выколотая точка, асимптота и выколотая точка. Если нашли одно значение, проверьте, нет ли других.
Неверно раскрывают модуль
При раскрытии |x + 2| при x < −2 меняется знак всего выражения под модулем, а значит, и знак перед ним. Проверяйте результат в точке стыка: обе формулы должны давать одно и то же значение.
Путают прямую y = m и прямую y = kx
Прямая y = m горизонтальная и двигается вверх-вниз. Прямая y = kx проходит через начало координат и поворачивается. Для неё граничное k находится как отношение ординаты точки к абсциссе.
Строят график без таблицы и пояснений
По критериям верным считается график с масштабом и содержательной таблицей значений или объяснением построения. Рисунок без единой подписанной точки эксперт может не засчитать.
Вопросы о задании 22 ОГЭ по математике
Сколько баллов даёт задание 22?
До двух баллов. 2 балла — за верно построенный график и верно найденные значения параметра. 1 балл — если график построен верно, но значения параметра найдены неверно или не найдены.
Можно ли получить балл без правильного ответа?
Да. Если график построен верно, с масштабом, ключевыми точками и выколотыми точками, решение получает 1 балл даже без ответа на вопрос о параметре.
Что такое выколотая точка?
Это точка, которая лежит на линии графика, но сама графику не принадлежит. Она появляется, когда значение x не входит в область определения, например обращает знаменатель в ноль. На рисунке её обозначают пустым кружком.
Как найти k для прямой y = kx через заданную точку?
Прямая y = kx проходит через начало координат. Чтобы она прошла через точку (a; b), нужно, чтобы b = ka, то есть k = b/a. Например, для точки (2; 4) получаем k = 2.
Изменится ли задание 22 в ОГЭ 2027 года?
По проектам демоверсии и кодификатора ФИПИ на 2027 год структура экзамена и система оценивания остаются прежними. Задание 22, как и раньше, будет на построение графика функции и исследование параметра.
Сколько времени закладывать на задание 22?
Обычно 12–15 минут. Большая часть уходит на аккуратное построение графика. Не экономьте на нём: без верного графика не засчитывается и правильный ответ.
Посмотрите тренировочный вариант ОГЭ 2027
14 ноября Тренировочная работа ОГЭ 2027 по математике 9 класс 2 варианта с ответами ФИПИ