Автор 13 задания стереометрические задачи из сборника Ященко И.В с теорией ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами и решением, 36 тренировочных вариантов заданий. Видео решение задания опубликовано в файле.
- Скачать задания с ответами в pdf
- Скачать теорию для задания
- Скачать тренировочные варианты
- Скачать сборник Ященко ЕГЭ 2023 профиль
Задание 13 ЕГЭ 2023 математика профильный уровень Ященко
13_задание_егэ2023_профиль_математикаТеория для 13 задачи ЕГЭ 2023 по математике профиль
теория_13задание_егэ2023_профиль1. В основании пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷. Диагонали пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 – середины боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно прямой 𝑆𝑂. а) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐷 = 9, 𝐵𝐶 = 7, 𝑆𝑂 = 6, а прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна прямой 𝐴𝐷.
2. В основании пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с большим основанием 𝐴𝐷. Диагонали пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 – середины боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно прямой 𝑆𝑂. а) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐷 = 8,5, 𝐵𝐶 = 7,5, 𝑆𝑂 = 6,5, а прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна прямой 𝐴𝐷.
3. В прямой пятиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1 высота 𝐴𝐴1 равна 3 √ 5, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 6, а четырехугольник 𝐴𝐵𝐷𝐸 – прямоугольник со сторонами 𝐴𝐵 = 5 и 𝐴𝐸 = 4√ 5. а) Докажите, что плоскости 𝐶𝐴1𝐸1 и 𝐴𝐸𝐷1 перпендикулярны. б) Найдите объем многогранника 𝐶𝐴𝐸𝐷1𝐵1.
4. В прямой пятиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1 высота 𝐴𝐴1 равна 2 √ 3, треугольник 𝐵𝐶𝐷 – правильный, со стороной 6, а четырехугольник 𝐴𝐵𝐷𝐸 — равнобедренная трапеция со сторонами 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 = 2, 𝐵𝐷 = 6 и 𝐴𝐸 = 4. а) Докажите, что плоскости 𝐶𝐴1𝐸1 и 𝐴𝐸𝐷1 перпендикулярны. б) Найдите объем многогранника 𝐶𝐴𝐸𝐷1𝐵1.
5. В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром √ 13 и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость 𝛼 перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через ее середину. а) Докажите, что плоскость 𝛼 и шар пересекаются более чем в одной точке. б) Найдите площадь сечения шара плоскостью 𝛼.
6. В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания 2 √ 3 вписан шар. Плоскость 𝛼 перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через ее середину. а) Докажите, что плоскость 𝛼 и шар не имеют общих точек. б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости 𝛼.
7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 относится к боковому ребру как 1 : √ 2. Через вершину 𝐷 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная боковому ребру 𝑆𝐵 и пересекающая его в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝑀 – середина 𝑆𝐵. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐶 и 𝐷𝑀, если высота пирамиды равна 6 √ 3.
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 относится к боковому ребру как 1 : √ 2. Через вершину 𝐷 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная боковому ребру 𝑆𝐵 и пересекающая его в точке 𝑀. а) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 — это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
9. Грань 𝐴𝐵𝐶𝐷 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью 𝐴1𝐵1𝐶1 является круг, вписанный в четырехугольник 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1. а) Высота конуса равна ℎ, ребро куба равно 𝑎. Докажите, что 3𝑎 < ℎ < 3,5𝑎. б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵𝐶 и 𝑆𝐴1𝐷, где 𝑆 – вершина конуса.
10. Грань 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью 𝐴1𝐵1𝐶1 является круг, вписанный в четырехугольник 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1; 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐴1 = √ 2𝑎. а) Высота конуса равна ℎ. Докажите, что 4,5𝑎 < ℎ < 5𝑎. б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵𝐶 и 𝑆𝐷1𝐶, где 𝑆 – вершина конуса.
11. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 16, высота 𝑆𝐻 равна 10. Точка 𝐾 – середина бокового ребра 𝑆𝐴. Плоскость, параллельная плоскости 𝐴𝐵𝐶, проходит через точку 𝐾 и пересекает ребра 𝑆𝐵 и 𝑆𝐶 в точках 𝑄 и 𝑃 соответсвенно. а) Докажите, что площадь четыреугольника 𝐵𝐶𝑃 𝑄 составляет 3 4 площади треугольника 𝑆𝐵𝐶. б) Найдите объем пирамиды 𝐾𝐵𝐶𝑃 𝑄.
12. В правильной четырехугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐷 равна 10, высота 𝑆𝐻 равна 12. Точка 𝐾 – середина бокового ребра 𝑆𝐷. Плоскость 𝐴𝐾𝐵 пересекает боковое ребро 𝑆𝐶 в точке 𝑃. а) Докажите, что площадь четыреугольника 𝐶𝐷𝐾𝑃 составляет 3 4 площади треугольника 𝑆𝐶𝐷. б) Найдите объем пирамиды 𝐴𝐶𝐷𝐾𝑃.
13. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 на ребрах 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 отмечены соответсвенно точки 𝑀 и 𝑁 так, что 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 𝐶𝑁 : 𝐵𝑁 = 2 : 1. а) Докажите, что плоскость 𝑀𝑁𝐵1 проходит через середину ребра 𝐴1𝐶1. б) Найдите площадь сечения призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 плоскостью 𝑀𝑁𝐵1, если 𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐴1 = √ 3.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 на ребрах 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 отмечены соответсвенно точки 𝑀 и 𝑁 так, что 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 𝐶𝑁 : 𝐵𝑁 = 2 : 1, точка 𝐾 – середина ребра 𝐴1𝐶1. а) Докажите, что плоскость 𝑀𝑁𝐾 проходит через вершину 𝐵1. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐾𝑀𝑁, если 𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐴1 = 2,4.
15. В правильной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковое ребро равно √ 3, а сторона основания равна 2. Через точку 𝐴1 перпендикулярно плоскости 𝐴𝐵1𝐷1 проведена прямая 𝑙. а) Докажите, что прямая 𝑙 пересекает отрезок 𝐴𝐶 и делит его в отношении 3 : 1. б) Найдите угол между прямыми 𝑙 и 𝐶𝐵1.
16. В правильной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с основанием 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковое ребро равно 2, а сторона основания равна √ 6. Через точку 𝐴1 перпендикулярно плоскости 𝐴𝐵1𝐷1 проведена прямая 𝑙. а) Докажите, что прямая 𝑙 пересекает отрезок 𝐴𝐶 и делит его в отношении 2 : 1. б) Найдите угол между прямыми 𝑙 и 𝐶𝐷1.
17. Основание пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 – прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом при вершине 𝐶. Высота пирамиды проходит через точку 𝐵. а) Докажите, что середина ребра 𝑆𝐴 равноудалена от вершин 𝐵 и 𝐶. б) Найдите угол между плоскостью 𝑆𝐵𝐶 и прямой, проходящей через середины ребер 𝐵𝐶 и 𝑆𝐴, если известно, что 𝐵𝑆 = 𝐴𝐶.
18. Основание пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 – прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом при вершине 𝐶. Высота пирамиды проходит через точку 𝐵. а) Докажите, что середина ребра 𝑆𝐴 равноудалена от вершин 𝐵 и 𝐶. б) Найдите угол между плоскостью 𝑆𝐵𝐶 и прямой, проходящей через середины ребер 𝐵𝐶 и 𝑆𝐴, если известно, что 𝐵𝑆 = 2𝐴𝐶.
19. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 точка 𝐾 – середина ребра 𝐴𝐴1, а 𝐴𝐵 = 𝐴𝐴1. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝐾 и 𝐵1 параллельно прямой 𝐵𝐶1. а) Докажите, что плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴1𝐶1 в отношении 1 : 2. б) Найдите расстояние от точки 𝐴1 до плоскости 𝛼, если 𝐴𝐵 = 6.
20. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 точки 𝐾 и 𝑁 — соответственно середины ребер 𝐴𝐴1 и 𝐴𝐶. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝐾 и 𝐵1 параллельно прямой 𝐶𝐵1. а) Докажите, что сечением призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 плоскость 𝛼 является равнобедренная трапеция. б) Найдите угол между прямой 𝐶𝐶1 и плоскостью 𝛼, если 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐴1 = √ 3.
21. В правильной шестиугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость 𝛼 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶 и содержит точки М и 𝐷. Прямая 𝑆𝐶 пересекает плоскость 𝛼 в точке К. а) Докажите, что КМ = 𝐾𝐷. б) Найдите объём пирамиды 𝐶𝐷𝐾𝑀.
22. В основании четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐴𝐵 = 8 и 𝐵𝐶 = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 𝑆𝐴 = √ 21, 𝑆𝐵 = √ 85, 𝑆𝐷 = √ 57. а) Докажите, что 𝑆𝐴 – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми 𝑆𝐶 и 𝐵𝐷.
23. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно √ 21. На ребрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐵 отмечены точки 𝑀 и 𝐾 соответственно, причем 𝐴𝑀 = 4, 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 1 : 3. а) Докажите, что плоскость 𝐶𝐾𝑀 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶. б) Найдите объем пирамиды 𝐵𝐶𝐾𝑀.
24. В правильной четырехугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна 8, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 7. На ребрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐵 отмечены точки 𝑀 и 𝐾 соответственно, причем 𝐴𝑀 = 2, 𝑆𝐾 = 1. Плоскость 𝛼 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶 и содержит точки 𝑀 и 𝐾. а) Докажите, что плоскость 𝛼 содержит точку 𝐶. б) Найдите площадь сечения пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼.
25. В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 сторона основания 𝐴𝐵 равна 4, а боковое ребро 𝐴𝐴1 равно 5 √ 3. На ребре 𝐷𝐷1 отмечена точка 𝑀 так, что 𝐷𝑀 : 𝑀𝐷1 = 3 : 2. Плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝐴1𝐹1 и проходит через точки 𝑀 и 𝐸. а) Докажите, что сечение призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 плоскостью 𝛼 – равнобедренная трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка 𝐹, а основанием – сечение призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 плоскостью 𝛼.
26. В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝐴𝐴1 равно 5 √ 3. На ребре 𝐷𝐷1 отмечена точка 𝑀 так, что 𝐷𝑀 : 𝑀𝐷1 = 2 : 3. Плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝐴1𝐹1 и проходит через точки 𝑀 и 𝐸. а) Докажите, что сечение призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 плоскостью 𝛼 – равнобедренная трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка 𝐹, а основанием – сечение призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 плоскостью 𝛼.
27. В правильной четырёхугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 сторона основания 𝐴𝐵 равна 2 √ 3, а боковое ребро 𝐴𝐴1 равно 3. На рёбрах 𝐴1𝐷1 и 𝐷𝐷1 отмечены соответственно точки 𝐾 и 𝑀 так, что 𝐴1𝐾 = 𝐾𝐷1, a 𝐷𝑀 : 𝑀𝐷1 = 2 : 1. а) Докажите, что прямые 𝑀𝐾 и 𝐵𝐾 перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями 𝐵𝑀𝐾 и 𝐵𝐶𝐶1.
28. В правильной четырёхугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 сторона основания 𝐴𝐵 равна 3, а боковое ребро 𝐴𝐴1 равно √ 3. На рёбрах 𝐶1𝐷1 и 𝐷𝐷1 отмечены соответственно точки 𝐾 и 𝑀 так, что 𝐷1𝐾 = 𝐾𝐶1, a 𝐷𝑀 : 𝑀𝐷1 = 1 : 3. а) Докажите, что прямые 𝑀𝐾 и 𝐵𝐾 перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями 𝐵𝑀𝐾 и 𝐴𝐵𝐵1.
29. В правильной восьмиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐺𝐻𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1𝐺1𝐻1 сторона основания 𝐴𝐵 равна 3 √ 2, а боковое ребро 𝐴𝐴1 равно 6. На ребре 𝐶𝐶1 отмечена точка 𝑀 так, что 𝐶𝑀 : 𝑀𝐶1 = 1 : 2. Плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝐻1𝐸1 и проходит через точки 𝑀 и 𝐴. а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью 𝛼 – равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка 𝐹1, а основанием – сечение данной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐺𝐻𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1𝐺1𝐻1 плоскостью 𝛼.
30. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие. б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
31. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 7. На ребрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝑀 и 𝐾 соответственно, причем 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 𝑆𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 5. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑀 и параллельна прямой 𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите угол между плоскостями 𝛼 и 𝑆𝐵𝐶.
32. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 4, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 5. На ребре 𝑆𝐶 отмечена точка 𝐾, причем 𝑆𝐾 : 𝐾𝐶 = 1 : 3. Плоскость 𝛼 содержит точку 𝐾 и параллельна плоскости 𝑆𝐴𝐷. а) Докажите, что сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼 – трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка 𝑆, а основанием – сечение пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 плоскостью 𝛼.
33. В правильной треугольной усечённой пирамиде 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 площадь нижнего основания 𝐴𝐵𝐶 в четыре раза больше площади меньшего основания 𝐴1𝐵1С1. Через ребро 𝐴𝐶 проведена плоскость 𝛼, которая пересекает ребро 𝐵𝐵1 в точке 𝐾 и делит пирамиду на два многогранника равного объёма. а) Докажите, что точка 𝐾 делит ребро 𝐵𝐵1 в отношении 7 : 1, считая от точки 𝐵. б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью 𝛼, если высота пирамиды равна 2 √ 2, а ребро меньшего основания равно 2 √ 6
34. В правильной треугольной усечённой пирамиде 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 площадь нижнего основания 𝐴𝐵𝐶 в четыре раза больше площади меньшего основания 𝐴1𝐵1С1. Через ребро 𝐴𝐵 проведена плоскость 𝛼, которая пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑁 и делит пирамиду на два многогранника равного объёма. а) Докажите, что точка 𝑁 делит ребро 𝐶𝐶1 в отношении 5 : 13, считая от точки 𝐶. б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью 𝛼, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
35. Основанием пирамиды 𝐹 𝐴𝐵𝐶 является правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶 со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах 𝐹 𝐵 и 𝐹 𝐶 отмечены соответственно точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐵𝐾 = 𝐶𝑁 = 20. Через точки 𝐾 и 𝑁 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная плоскости 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 делит медиану 𝐴𝑀 в отношении 2 : 7. б) Найдите расстояние от точки 𝐵 до плоскости 𝛼.
36. Основанием пирамиды 𝐹 𝐴𝐵𝐶 является правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶 со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах 𝐹 𝐵 и 𝐹 𝐶 отмечены соответственно точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐹𝐾 = 𝐹 𝑁 = 10. Через точки 𝐾 и 𝑁 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная плоскости 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 делит медиану 𝐴𝑀 в отношении 1 : 3. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝛼.
Ответы
