Автор Тренировочные варианты 27, 28, 29, 30 от школы Пифагора в форме ЕГЭ 2026 по математике 11 класс профильный уровень задания и ответы с решением из открытого банка заданий ОБЗ ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Каждый вариант состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий от 31 марта 2026 года.
Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
27 тренировочный вариант ЕГЭ 2026 школа Пифагора
variant27_profil_mat_ege_2026_pifagor1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
4. Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .
9. В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет 𝑅1 = 60 Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого 𝑅2 (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями 𝑅1 и 𝑅2 их общее сопротивление вычисляется по формуле 𝑅общ = 𝑅1𝑅2 𝑅1+𝑅2 . Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 10 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление 𝑅2 электрообогревателя. Ответ дайте в омах.
10. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(3).
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 17𝑥 + 17) ∙ 𝑒 7−𝑥 .
13. а) Решите уравнение 4sin3𝑥 + 2√3 cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥 = 2√3. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна боковому ребру 𝑆𝐴. Медианы треугольника 𝑆𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝐴𝑀 = 𝐴𝐷. б) Точка 𝑁 − середина 𝐴𝑀. Найдите 𝑆𝑁, если 𝐴𝐷 = 6.
15. Решите неравенство log125(𝑥 3 − 6𝑥 2 + 12𝑥 − 8) ≥ log5 (𝑥 2 − 4)− 2.
16. В июле Фёдор планирует взять в кредит 1,1 млн рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года Фёдор должен выплатить некоторую часть долга. На какое минимальное количество лет Фёдор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 тысяч рублей?
17. Две окружности касаются внешним образом в точке 𝐾. Прямая 𝐴𝐵 касается первой окружности в точке 𝐴, а второй – в точке 𝐵. Прямая 𝐵𝐾 пересекает первую окружность в точке 𝐷, прямая 𝐴𝐾 пересекает вторую окружность в точке 𝐶. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 𝐵𝐶𝐷, если известно, что радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение (𝑎𝑥 2 −2𝑥) 2 +(𝑎 2 − 𝑎 + 2)(𝑎𝑥 2 − 2𝑥) − 𝑎 2 (𝑎 − 2) = 0 имеет ровно два решения.
19. Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки? б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки? в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Решение 27 варианта
28 вариант ЕГЭ 2026 математика профиль школа Пифагора
variant28_profil_mat_ege_2026_pifagor1. Хорда 𝐴𝐵 стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол 𝐴𝐵𝐶 между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку 𝐵. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.
5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
6. Найдите корень уравнения log4 (8 − 5𝑥) = 2 log4 3.
7. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−5; 4). Найдите корень уравнения 𝑓 ′ (𝑥) = 0.
9. Автомобиль, движущийся со скоростью 𝜈0 = 24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 𝑎 = 3 м/𝑐 2 . За 𝑡 секунд после начала торможения он прошёл путь 𝑆 = 𝜈0 𝑡 − 𝑎𝑡 2 2 (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.
10. Петя и Митя выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Митя — на 16. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Мити на 117 минут. Сколько вопросов содержит тест?
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
14. Дан правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝐷 лежит вне плоскости 𝐴𝐵𝐶, cos ∠𝐵𝐴𝐷 = cos∠𝐷𝐴𝐶 = 0,3. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶, если известно, что 𝐴𝐶 = 6.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы: – в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом; – с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.
19. У ювелира есть 38 полудрагоценных камней, масса каждого из которых – целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче 𝑛1 камней, во второй – 𝑛2 камней, в третьей – 𝑛3 камней, причём 𝑛1 < 𝑛2 < 𝑛3 . Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна 𝑆1 , во второй – 𝑆2 , а в третьей – 𝑆3 . а) Может ли выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3? б) Может ли выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3 , если масса любого камня не превосходит 108 граммов? в) Известно, что масса любого камня не превосходит 𝑘 граммов. Найдите наименьшее целое значение 𝑘, для которого может выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3 .
Решение 28 варианта
29 вариант школа Пифагора
variant29-mat-pifagor-ege-20261. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 24. 𝐷𝐸 — средняя линия, параллельная стороне 𝐴𝐵. Найдите площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸.
3. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.
4. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)− производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−2; 15].
9. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре 𝐶 = 6 ∙ 10−6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением 𝑅 = 8 ∙ 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 𝑈0 = 34 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения 𝑈 (кВ) за время, определяемое выражением 𝑡 = 𝛼𝑅𝐶 log2 𝑈0 𝑈 (с), где 𝛼 = 0,8 − постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 76,8 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
10. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
14. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 4, а 𝐵1𝑄 = 3. Плоскость 𝐴𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀. а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐴𝑃𝑄.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере 𝑆 тыс. рублей, где 𝑆 − натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение 𝑆, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
17. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐴, причём меньшая окружность проходит через центр 𝑂 большей. Диаметр 𝐵𝐶 большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝑀, отличной от 𝐴. Лучи 𝐴𝑂 и 𝐴𝑀 пересекают большую окружность в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Точка 𝐶 лежит на дуге 𝐴𝑄 большей окружности, не содержащей точку 𝑃. а) Докажите, что прямые 𝑃𝑄 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Известно, что sin ∠𝐴𝑂𝐶 = √5 3 . Прямые 𝑃𝐶 и 𝐴𝑄 пересекаются в точке 𝐾. Найдите отношение 𝑄𝐾:𝐾𝐴.
19. Квадратное уравнение 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет два различных натуральных корня. а) Пусть 𝑞 = 55. Найдите все возможные значения 𝑝. б) Пусть 𝑝 + 𝑞 = 30. Найдите все возможные значения 𝑞. в) Пусть 𝑞 2 − 𝑝 2 = 2108. Найдите все возможные корни уравнения.
Решение 29 варианта
30 вариант
variant30-mat-pifagor-ege-20261. Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите угол между биссектрисой 𝐶𝐷 и высотой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 4, 𝐴𝐴1 = 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐴1 , 𝐵1 .
4. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах.
5. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)− производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
9. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением 𝑝1𝑉1 1,4 = 𝑝2𝑉2 1,4 , где 𝑝1 и 𝑝2 − давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, 𝑉1 и 𝑉2 − объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 294,4 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
10. Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км – со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐 − целые. Найдите значение 𝑓(−12).
14. Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 4. Точка 𝑀 делит ребро 𝐴1𝐷1 в отношении 𝐴1𝑀: 𝑀𝐷1 = 1: 4, точка 𝐾 − середина 𝐷𝐷1 . а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐶𝐾 делит отрезок 𝐵𝐵1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 𝑀𝐶𝐾, если ∠𝐴𝐷𝐶 = 60°, а ∠𝑀𝐾𝐶 = 90°.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 400 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
17. Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷. На боковой стороне 𝐴𝐵 и большем основании 𝐴𝐷 взяты соответственно точки 𝐹 и 𝐸 так, что 𝐹𝐸 параллельно 𝐶𝐷, а 𝐹𝐶 = 𝐸𝐷. а) Докажите, что ∠𝐵𝐶𝐹 = ∠𝐴𝐹𝐸. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐸𝐷 = 3𝐵𝐹, 𝐹𝐸 = 5 и площадь трапеции 𝐹𝐶𝐷𝐸 равна 14√35.
19. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 58 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах. а) Приведите пример последовательных 5 ходов. б) Можно ли сделать 10 ходов? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Решение 30 варианта
Другие варианты ЕГЭ 2026 по математике
Варианты с досрочного ЕГЭ 2026 по математике профиль 11 класс задания и ответы