Автор Бесплатный онлайн видеоурок на тему: степень с рациональным показателем.
Что будет в данном уроке:
- свойства степени с рациональным показателем с доказательствами, рациональные числа;
- степень с рациональным показателем;
- решение типовых задач;
- Домашнее задание и самостоятельная работа на данную тему;
Смотреть школьный видеоурок бесплатно на сайте:
Конспект урока:
Рациональные числа, степень с рациональным показателем:
Напомним, что такое множество рациональных чисел.
– рациональные числа.
Каждая дробь может быть представлена в десятичном виде, например 
:
Итак, рациональное число может быть представлено как бесконечная десятичная дробь с периодом.
Напомним определение: для 
выполняется равенство:
Например: 
; 
; 
(нужно перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную).
Свойства степени с рациональным показателем, доказательства
Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь s и r – рациональные числа:
1. 
.
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить без изменений.
2. 
.
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.
3. 
.
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4. 
.
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.
5. 
.
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.
Вышеперечисленные свойства справедливы для любых рациональных показателей.
Докажем первое свойство:
Доказательство:
s и r – рациональные числа, 
, 
, 
.
Приведем корни к одинаковому показателю:
.
Преобразуем полученное выражение согласно свойствам корня:
.
По определению степени с рациональным показателем:
.
Согласно свойствам степени:
.
Итак, получили:
.
Докажем третье свойство:
Доказательство:
s и r – рациональные числа, , , .
Схема доказательства стандартная: от степеней перейти к корням, выполнить преобразования с корнями и вернуться к степеням.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Решение типовых задач (примеры):
Пример 1 – имеет ли смысл выражение:
а) 
Ответ: нет.
б) 
Ответ: да (
).
в) 
Ответ: да, т. к. -4 – целое число (
).
г) 
Ответ: нет.
Пример 2 – вычислить:
Рассмотрим слагаемые отдельно:
.
Получаем:
.
Пример 3 – упростить выражение:
Упростим знаменатель:
.
Получаем:
.
Отметим, что обязательно в данном случае 
.
Пример 4 – упростить выражение:
Возводим в квадрат двучлен:
.
Получили выражение:
.
В данной задаче могут быть поставлены дополнительные вопросы, например, допустимы ли отрицательные значения с. Ответ: нет, т. к. с имеет рациональный показатель степени и по определению является неотрицательным.
Пример 5 – упростить выражение:
Комментарий: ограничение на х наложено в связи с тем, что он имеет отрицательный рациональный показатель степени.
Итак, мы рассмотрели свойства степеней с рациональным показателем. В дальнейшем мы перейдем к решению более сложных задач со степенями и радикалами.
Домашнее задание:
- Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 432-435.
- Вычислить:
- Упростить выражение:
Смотрите также на нашем сайте:
https://100ballnik.com/%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b5%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0-11-%d0%ba%d0%bb%d0%b0%d1%81%d1%81-%d0%b5%d0%b3%d1%8d-2020-%d1%8f%d1%89%d0%b5%d0%bd%d0%ba%d0%be-%d0%b8-%d0%b2-36-%d0%b2%d0%b0%d1%80%d0%b8/