Автор Зимний и весенний турнир Архимеда 2025 года задания и ответы с решением прошлых лет всероссийской олимпиады школьников по математике для подготовки к турниру, который пройдёт 18 января 2026 года. В личных соревнованиях может участвовать любой школьник, в командных – любая школа, вовремя подавшая заявку.
Скачать ответы и решения зимнего тура
Скачать условия командного тура
Скачать решения командного тура
Зимний тур — личная олимпиада для учащихся шестых и седьмых классов. Проводится ежегодно, начиная с 1992 года, в одно из последних воскресений января. Олимпиада не носит отборочного характера – ее цель создание хорошего настроения у всех участников турнира, их учителей и родителей. Среди участников прошлых турниров есть школьники, ставшие впоследствии призерами городских, всероссийских и международных олимпиад по математике.
Зимний турнир Архимеда 2025
zim-arhimed-2025-reshenieЗадача 1.1. Скорость движения солдат на марше – 5 км/ч. Каждые 4 км пути остановка на отдых – привал. По уставу: первые три привала короткие – 10 мин, четвертый привал продолжительный – 1 час, затем опять – три привала коротких, один продолжительный и так далее. Полк отправился в путь в 4 часа утра и добрался до места в полдень. Сколько километров прошёл полк?
Задача 1.2. В финале Чемпионата Цветочного города по арифметике встретились Знайка и Незнайка. Каждого из них попросили преобразовать (слева от знака равенства) выражение 1* 2*3* 4*5*6*7 *8*9 = 2025 в верное равенство. а) (4 балла) Знайка убрал в выражении три цифры и несколько звездочек, каждую из оставшихся звездочек заменил знаком сложения или умножения, расставил скобки, получив тем самым верное равенство. Как он мог это сделать? Достаточно привести пример. б) (4 балла) Незнайка цифры не убирал: одну звездочку заменил знаком вычитания, каждую из оставшихся звездочек – знаком сложения или умножения, расставил скобки и тоже получил верное равенство. Как он мог это сделать? Достаточно привести пример.
Задача 1.3. Задание для Золушки. В сарае лежит кусок линолеума площадью 36 м2 (см. рис.). Мачеха отпустит Золушку на бал, если та разрежет исходный кусок не более чем на три части и из полученных частей настелит пол в квадратной комнате 6м × 6м . Помогите Золушке раскроить кусок: нарисуйте, как разрезать и как потом настелить пол. Резать можно только по линиям сетки!
Задача 2.1. (6 баллов) Кубик. Вася хотел написать на гранях кубика числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 (на каждой грани по одному числу) в некотором порядке. Однако написал только пять из них, а вместо пропущенного числа написал целое число большее 6. Оказалось, что на всех парах противоположных граней сумма одинакова, а на каких-то трех гранях сумма оказалась такой же, как на остальных трех гранях. а) Приведите пример, как такое могло получиться. б) Можно ли однозначно определить, какое число и вместо какого написал Вася?
Задача 2.2. (6 баллов) Биологи установили, что в удачном году популяция личинок саранчи в долине реки Лимпопо увеличивается вдвое. В неудачном году популяция личинок саранчи уменьшается на 60% или на 25% (в зависимости от погодных условий). Оказалось, что за несколько лет подряд (удачных и неудачных) популяция личинок саранчи упала на 73%. За сколько лет это произошло?
Задача 2.3. (6 баллов) Из четырех прямоугольников одинаковой площади составили квадрат (рис. 1) (три белых прямоугольника – одинаковы). Если совместить два разных прямоугольника, как показано на рис. 2, то площадь их общей части будет равна 108 см2 . Чему равна площадь общей части прямоугольников на рис. 3?
Задача 2.4. (7 баллов) К пещере Кощея Бессмертного подошел Иван-царевич. В пещере из-под земли бьют семь источников (пронумерованы №№1-7). Известно, что в источниках течет хорошая питьевая вода, но в каком-то одном источнике вода может оказаться мертвой (опасной для здоровья). Ивану требуется узнать, в каком именно. Заходить в пещеру можно только один раз. В его распоряжении три бутыли, в каждую из которых он может набрать воды из одного или нескольких источников, затем, выбравшись из пещеры, вылить воду на траву. Если в бутыли окажется хоть немного мертвой воды, то трава, политая такой водой, пожелтеет. а) Как Ивану наполнять бутыли, чтобы, выбравшись из пещеры, он смог точно определить номер источника с мертвой водой, если такой есть? б) Может ли Иван справиться с задачей, если у него будет только две бутыли? Ответ обоснуйте.
Задача 2.5. (7 баллов) Конь Юлий (из мультсериала «Богатыри») играет с дубом в игру «Счастливое дупло». Играют так: в дупло дуба кладут желуди трех цветов (20 желтых, 20 красных и 20 черных). Конь Юлий с завязанными глазами достает из дупла и кладет в мешок несколько желудей, при этом за каждый взятый желудь платит 3 золотые монеты. Дуб смотрит в мешок и если обнаруживает там хотя бы 4 желудя черного цвета, то забирает оттуда все желуди одного из двух других цветов (красного или желтого). Если среди оставшихся у Юлия желудей найдется 6 одного цвета, Дуб платит Юлию 100 золотых монет. Посоветуйте Юлию, сколько желудей достать из дупла, чтобы гарантированно получить прибыль. Укажите все варианты.
Весенний турнир Архимеда 2025
2025vesna_5kom_zadanieЗадача 1. (4 балла) Лиза утверждает, что ее средний балл по математике в первой четверти был 3,5, а во второй четверти – 4,5, а всего за это время она получила 11 оценок по математике. Могло ли это быть правдой? (Возможные оценки – 1, 2, 3, 4, 5)
Задача 2. (5 баллов) На столе лежит фигура, вырезанная из картона. Требуется разрезать ее на две равные части так, чтобы их можно было совместить наложением. Резать можно по линям сетки. Фигуры можно вращать и переворачивать.
Задача 3. (5 баллов) Велосипедист поднимается на вершину холма по дороге со скоростью 3 км/ч, а затем спускается по той же дороге в исходную точку в три раза быстрее. Известно, что на весь путь (спуск и подъем) он затратил 6 ч. Какова длина пути?
Задача 4. (6 баллов) Сказал Кощей Бессмертный Ивану-царевичу: «Угадаешь число N , которое я задумал, получишь приз – N золотых монет, не угадаешь – проведешь N недель – в темнице. Про число N подскажу лишь: N – двузначное число; если N не делится нацело на 6, то оно больше 40, но меньше 49; если N не делится нацело на 7, то N больше 60, но меньше 69; если N не делится нацело на 8, то N больше 80, но меньше 89.» Иван-царевич подумал и смог избежать темницы. Чему равно число N ?
Задача 5. (7 баллов) На гранях кубика написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в некотором порядке. Если в соседних гранях кубика написаны числа, отличающиеся на 1, то их общее ребро красим в синий цвет. Какое наименьшее количество синих ребер может быть в таком кубике?
Задача 6. (7 баллов) За круглым столом совещались Рыцари и Лжецы (Рыцари всегда говорят правду, Лжецы всегда лгут). Перед совещанием каждый ответил на два вопроса: 1) «Кто Вы, рыцарь или лжец?»; 2) «Кто сидит слева от Вас – рыцарь или лжец?» На первый вопрос все единодушно ответили – «рыцарь». На второй – двое ответили – «рыцарь», а все остальные – «лжец». После совещания им задали еще один вопрос: 3) «Кто сидит справа от Вас – рыцарь или лжец?» Как они ответили на него? Ответ объясните.
№1. Числа в таблице. Изучите числа в таблице и дайте ответ на 10 вопросов. Квадрат – это число, которое можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей. Например: 1, 4, 9, 16 и так далее. Куб – это число, которое можно представить в виде произведения трех одинаковых множителей. Например: 1, 8, 27 и так далее. Найдите сумму: А) Наименьшего квадрата и наименьшего куба; Б) Двух наименьших простых чисел; В) Наименьшего простого числа и наибольшего нечётного чисел; Г) Наименьшего квадрата и наименьшего чётного числа; Д) Наибольшего чётного числа и наибольшего простого чисел; Е) Двух наибольших простых чисел;
№2. Равенства. Получите из числа слева – число после равенства, последовательно производя пять арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Три действия можно использовать только один раз и только одно дважды.
№3. Кубики. Сколько кубиков нужно добавить, чтобы получится куб?
№4. На 4 равные части. Закрасьте в фигуре 3 клетки и разделите оставшуюся часть на 4 одинаковые фигуры Найдите 2 решения
№5. Квадраты. Восемь квадратных кусков бумаги, все в точности одного и того же размера, были размещены, как показано на рисунке, частично перекрывая один другой. Перечислите восемь квадратов бумаги в правильном порядке, от верхнего куска к нижнему.
№7. Какуро. Впишите по одному числу от 1 до 9 в каждую белую клетку так, чтобы они не повторялись в непрерывных блоках (горизонтальных или вертикальных) белых клеток. Число сверху или слева сообщает сумму чисел в соответствующем вертикальном или горизонтальном блоке.
№8. Небоскрёбы. Впишите в ячейки по одной цифре от 1 до 5 так, чтобы каждая из них встречалась ровно один раз в строке и столбце. Цифра обозначает высоту здания. Числа вне сетки показывают, сколько зданий можно увидеть в соответствующем направлении. Более низкие здания не видны за более высокими. Если цифра снаружи не стоит, то неизвестно, что видно с этой точки.
Смотрите на сайте задания турнира:
Задания и ответы 2021 зимнего турнира Архимеда юбилейный XXX для 4-7 класса