Автор Видеоурок на тему: задачи со степенями и радикалами.
Что будет в данном уроке:
- Повторение теории;
- Задачи на вычисление и упрощение выражений;
- Решение уравнений;
- Домашнее задание и самостоятельная работа на данную тему;
Смотреть школьный видеоурок бесплатно на сайте:
Конспект урока:
Повторение теории:
Напомним основное определение.
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем 
называется число 
.
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем 
называется число 
.
Для 
выполняется равенство:
.
Например: 
Напомним свойства степеней с рациональными показателями.
Здесь 
, 
, s и r – рациональные числа.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
Задачи на вычисление и упрощение выражений:
Пример 1 – вычислить:
.
Пример 2 – сократить дробь:
.
Чтобы сократить заданную дробь, нужно разложить знаменатель на множители:
.
В результате преобразований получили дробь:
.
Данный ответ справедлив при условии, что 
, иначе дробь не имеет смысла.
Сделаем некоторые замечания:
При 
замена 
допустима, 
(по определению степени с положительным рациональным показателем).
Пример 3 – сократить дробь:
.
ОДЗ:
.
В данном случае для разложения нужно применить другую формулу сокращенного умножения и разложить числитель:
.
В результате преобразования получили дробь:
.
Ответ справедлив в том случае, если m и n одновременно не равны нулю, данный факт часто записывают следующим образом:
.
Решение уравнений
Пример 4 – упростить выражение:
.
Несложно заметить, что произведение второй и третьей скобок можно свернуть по формуле разности квадратов:
В результате преобразования получили произведение двух скобок, которое также можно свернуть по формуле разности квадратов:
.
Отметим, что в данном случае значения а ограничены: 
(по определению степени с рациональным положительным показателем).
Пример 5 – решить уравнение:
.
Скобка – это конкретное число, не зависящее от х, имеем право на нее сократить и получить 
, но только в том случае, если выражение в скобках не равно нулю. Проверим:
.
В результате преобразований получили скобку:
.
Пример 6 – решить уравнение:
а) 
.
Возводим уравнение в куб:
.
б) 
Ответ: 
.
в) 
Ответ: 
.
Пример 7 – решить уравнение:
.
При решении данного уравнения следует не забыть про область определения и ввести замену переменных:
, 
.
После введения замены получили уравнение:
.
Решаем полученное квадратное уравнение любым удобным способом, например по теореме Виета:
.
Первый корень не входит в ОДЗ, остается корень 
, отсюда находим ответ:
.
Пример 8 – решить уравнение:
а) 
Ответ: .
б) 
.
Ответ: .
в) 
.
Ответ: .
Итак, мы рассмотрели различные типовые задачи со степенями и радикалами, на следующем уроке мы перейдем к изучению степенных функций, который вы можете посмотреть на нашем сайте.
Домашнее задание:
1)Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 438, 439, 444.
2)Сократить дробь:
3)Упростить выражение: