Автор В этом пособии будут рассмотрены основные темы, методы решения и примеры задач, которые встречаются во вступительных олимпиадах в 8, 9 и 10 классы физ-мат школ Санкт-Петербурга.
Пособие составлено на основании многолетнего опыта автора по подготовке учащихся к поступлению. Вступительные работы в старшие классы обычно содержат чётко структурированный набор задач на заранее известные темы, что делает подготовку к поступлению значительно проще чем, например, подготовка к поступлению в 5 классы тех же школ.
Пособие для поступающих в 8-10 классы физико–математических школ Л.С. Михлин
Автор не ставит себе целью обучение обыкновенной школьной математике, здесь будут рассмотрены именно специальные виды задач, все стандартные действия считаются известными. Также этим пособием сложно заменить занятия на подготовительных курсах или с репетитором, оно предназначено для предоставления практики тем, кто каким-либо образом изучает затрагиваемые темы, хотя сильные ученики и могут делать это самостоятельно при помощи учебников по алгебре и геометрии за 7—9 класс.
Цель данного пособия — описать наиболее полезные приёмы для решения задач вступительных испытаний и продемонстрировать набор релевантных этой цели задач. В конце каждого раздела приведён набор задач на соответствующую тему. Есть задачи, относящиеся к нескольким темам, они будут приведены в одной из них.
Суммарно во всех главах будут содержаться все задачи из вступительных олимпиад в ФМЛ №239 начиная с 1997 года и ещё некоторое количество задач из вступительных олимпиад в другие сильные физматшколы. Главы можно изучать в любом порядке. Список рекомендуемых учебников для прохождения программы по математике за 7,8 и 9 классы будет приведён в конце пособия.
Некоторые задачи из сборника:
1. На весеннем турслёте ФМЛ №239 было 60% учащихся лицея, а на уборке листьев в Летнем саду было 80% лицеистов. При этом каждый ученик лицея был на слёте или в Летнем саду. Сколько процентов учащихся лицея были и на слёте, и на уборке листьев?
2. На новогоднем вечере в ФМЛ №239 80% учащихся лицея, пришедших на вечер, были на представлении, а на дискотеке — 90% . Сколько процентов лицеистов, пришедших на новогодний вечер, были и на представлении, и на дискотеке?
3. Найдите положительное число, если 45% от него составляют столько же, сколько составляют 20% от числа, ему обратного.
4. Найти положительное число, если 27% от него равны 90% от его квадрата.
5. Число 8 составляет 50% от числа 2N + 6. Найдите N + 1.
6. Найдите число a, если 50% от числа a + 1 равно 40% от числа a + 3.
7. Свежий виноград содержит 75% влаги, а сушёный виноград (изюм) — 6%. Сколько потребуется свежего винограда для приготовления 4 кг изюма?
8. Свежий виноград содержит 80% влаги, а сушёный виноград (изюм) — 5%. Сколько потребуется свежего винограда для приготовления 1 кг изюма?
9. Груши, содержащие 65% воды, при сушке потеряли 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушёные груши?
10. Яблоки, содержащие, 70% воды, при сушке потеряли 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушёные яблоки?
11. Одна сторона прямоугольника равна 90 см, а другая составляет 70% длины первой. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
12. Одна сторона прямоугольника равна 80 см, а другая составляет 65% длины первой. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
13. Банковский вклад в мае увеличился на 20%, а в июне уменьшился на 20%, после чего на счёте оказалось 6720 рублей. Найдите сумму вклада на конец апреля.
14. Банковский вклад в мае увеличился на 10%, а в июне уменьшился на 10%, после чего на счёте оказалось 10890 рублей. Найдите сумму вклада на конец апреля.
15. Лёша на 20% умнее Вадика, а Костя на 10% умнее Лёши. На сколько процентов Костя умнее Вадика?
17. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась 20% бюллетеней от числа всех проголосовавших. Спустя некоторое время нашли 70% пропавших бюллетеней, а затем ещё 5% от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
18. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась 30% бюллетеней от числа всех проголосовавших. Спустя некоторое время нашли 80% пропавших бюллетеней, а затем ещё 5% от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
19. В классе число отсутствующих составляет 25% от числа присутствующих. После того, как пришёл один опоздавший, число присутствующих стало в пять раз больше числа отсутствующих. Сколько всего человек в классе?
20. В классе число отсутствующих составляет 20% от числа присутствующих. После того, как один ученик ушёл, число присутствующих стало в четыре раза больше числа отсутствующих. Сколько всего человек в классе?
21. Длину прямоугольного участка земли увеличили на 30%, а ширину — на 20%, в результате чего его площадь увеличилась на 28 м2 . Определите площадь исходного участка.
22. Длину прямоугольного участка земли увеличили на 40%, а ширину — на 10%, в результате чего его площадь увеличилась на 27 м2 . Определите площадь исходного участка.
23. Население города N ежегодно увеличивается на 6% За последние два года в нём стало на 86520 человек больше. Сколько сейчас жителей в N?
24. Население города N ежегодно увеличивается на 7% За последние два года в нём стало на 86940 человек больше. Сколько сейчас жителей в N?
25. Если брат отдаст сестре 300 рублей, то денег у них станет поровну. Если сестра отдаст брату 40% своих денег, то у неё станет в три раза меньше денег, чем у брата. Определите, сколько денег у брата и сколько у сестры.
26. Если сестра отдаст брату 400 рублей, то денег у них станет поровну. Если брат отдаст сестре 20% своих денег, то у неё станет в два раза больше денег, чем у брата. Определите, сколько денег у брата и сколько у сестры.
27. Есть два куска разных сплавов серебра, весят они одинаково, но доля серебра в них различна. Если сплавить первый кусок с половиной второго, то в полученном сплаве будет 40% серебра, а если наоборот — второй с половиной первого, то будет 50% серебра. Найти, сколько процентов серебра в каждом куске.
28. У Васи есть своя коллекция фантиков, у Пети — своя. Как-то раз они решили поменяться фантиками. Сначала Вася отдал Пете 10% своих фантиков. Затем Петя перемешал свою новую коллекцию, выбрал 10% фантиков и отдал их Васе, который с изумлением обнаружил, что теперь у него стало столько же фантиков, сколько было сначала. Наконец, Вася передал Пете 36% фантиков. Определите, во сколько раз увеличилось число фантиков в коллекции Пети после всех обменов.
29. У Васи есть своя коллекция фантиков, у Пети — своя. Как-то раз они решили поменяться фантиками. Сначала Петя отдал Васе 20% своих фантиков. Затем Вася перемешал свою новую коллекцию, выбрал 20% фантиков и отдал их Пете, который с изумлением обнаружил, что теперь у него стало столько же фантиков, сколько было сначала. Наконец, Петя передал Васе 48% фантиков. Определите, во сколько раз увеличилось число фантиков в коллекции Васи после всех обменов.
30. Сколько воды нужно добавить к 750г 15% раствора сахара, чтобы процентное содержание сахара стало 5%?
31. Даны точки A(0; −7), B(3; 2), C(1; 1), D(−30; 63). а) Напишите уравнение прямых AB и CD. б) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пресечения прямых AB и CD, пересекающей прямую BC в точке, лежащей на оси абсцисс.
2. В город отправляли арбузы и дыни. В первый день отправили 1 3 всех арбузов и 60% всех дынь, что составило 44т. Во второй день отправили 46т, которые составились из 75% оставшихся арбузов и всех оставшихся дынь. Сколько арбузов и сколько дынь было выделено для отправки в город?
3. Велосипедист собирался проехать 210 км с постоянной скоростью. Из-за дождя первую половину пути он ехал со скоростью на 40% меньше намеченной. Чтобы наверстать упущенное, вторую половину пути он ехал со скоростью на 40% больше намеченной. В результате он опоздал к намеченному сроку на 2 часа. С какой скоростью он предполагал ехать?
4. Участник авторалли рассчитывал проехать расстояние 360 км с постоянной скоростью. Из-за тумана первую половину дистанции он ехал со скоростью на 20% меньше намеченной. На второй половине пути, чтобы наверстать упущенное время, он увеличил скорость на 20% по сравнению с намеченной. В результате он затратил на весь путь на 15 минут больше, чем предполагал. С какой скоростью он предполагал ехать?
5. За 3 часа Люба на мотоцикле проезжает то же расстояние, что Вадик на велосипеде за 5ч. Скорость мотоцикла на 12 км/ч больше скорости велосипедиста. Определить скорость каждого.
6. Костя на «Жигулях» за 2 часа проезжает на 50 км больше, чем Ира на BMW за 1 час. Скорость BMW в 1,5 раза больше скорости «Жигулей». Определить скорость каждого.
7. Расстояние между городами A и B машина прошла за 1ч 15 мин. Обратный путь машина прошла за 1ч 30 мин. Найдите скорость машины, если известно, что на обратном пути скорость машины была на 10 км/ч меньше.
8. Теплоход прошёл расстояние между пунктами A и B по течению за 4ч 30 мин, а из B в A против течения он прошёл за 6ч 18мин. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения 2,4 км/ч?
9. Из посёлка в город выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час после выезда автобуса из посёлка выехал мотоцикл и догнал автобус через 4 часа после выезда автобуса. С какой скоростью ехал мотоциклист?
10. Расстояние между посёлками A и B равно 300 км. Из посёлка A в посёлок B выехал автобус, движущийся с постоянной скоростью 60 км/ч. Через час после выезда автобуса из посёлка B в посёлок A с постоянной скоростью выехал мотоциклист, который встретился с автобусом через 1,5 часа. С какой скоростью ехал мотоциклист?
Тренировочные варианты ЕГЭ и ОГЭ по математике:
Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по математике 11 класс задания с ответами