Олимпиада Физтех по математике заключительный этап 2026 задания и ответы для 9, 10, 11 класса

Заключительный этап 2026 всероссийской олимпиады школьников Физтех по математике задания, ответы и решения для 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников 15 февраля 2026 года. Для каждого класса предложены 3-5 вариантов заданий.

Задания и ответы для 9 класса

1. Даны квадратный трёхчлен f(x) и линейная функция l(x) такая, что l(1) = 2. Известно, что функция g(x) = f(l(x)) – l(f(x)) принимает все действительные значения и g(0) = 5. Найдите f(1), если f(0) = 7.

2. Сколько 6-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 8 и 9, чтобы две из этих цифр использовались в записи числа ровно по два раза, а остальные цифры — не более одного раза?

3. В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть точка I — центр этой окружности. Прямые aC и aD, проведённые соответственно через точку C параллельно BI и через точку D параллельно AI, пересекаются в точке P. Найдите ∠DPI, если ∠BCD = 100°.

4. Найдите количество упорядоченных пар натуральных чисел (a, b) таких, что: { НОД(a, b) = 30, НОК(a, b) = 16! }

5. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, которые пересекаются в точке H. Вокруг треугольника DHE описана окружность ω. Касательные к ω в точках D и E пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка AK, если радиус ω равен 10 и ∠ABC = 60°.

6. При каких значениях параметра a система уравнений { |x| – |x – y| = 2x – y, x² + y² + 8y = a } имеет ровно два решения?

7. Решите систему { (x⁷ + y⁷)/z³ + (y⁷ + z⁷)/x³ + (z⁷ + x⁷)/y³ = 2x²y² + 2y²z² + 2z²x², (√(yz) – 2)(√(zx) – 4) ≤ 0. }

Задания и ответы для 10 класса

1. Пусть a, b, c — три попарно различных ненулевых числа. Для каждой пары из чисел 0, a, b и с выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены f₁, f₂, …, f₆. Пусть f = f₁ + f₂ + … + f₆. Найдите сумму S = a² + b² + c², если f(0) = 11, а f(1) = –1. (Сами числа a, b и c не даны.)

2. Найдите все тройки целых чисел (a; b; c), для которых a + bc, b + ac, b² – a² + 21c² — три последовательных натуральных числа, расположенных в порядке возрастания.

3. Петя случайно раскладывает 56 одинаковых шаров по 3 пронумерованным ящикам. Найдите вероятность того, что в каждом ящике окажется чётное (возможно, нулевое) количество шаров.

4. Окружность ω, построенная на высоте AH треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторону AB этого треугольника в её середине M. Высота AH лежит внутри треугольника. На стороне AC отмечена точка X такая, что CM делит отрезок HX пополам. Найдите отношение AX : XC, если BC : AB = 2√2.

5. Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна 1000 м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвёртым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?

6. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ. Пусть M и T — соответственно середины сторон AC и AB. Известно, что ∠PBQ = ∠PMQ. Найдите QT, если AB = 3, BC = 5.

7. Найдите все отрицательные значения параметра a, для каждого из которых найдётся такое значение b, что система { y = x + b, (│x│ – │x – a│ – a)y = 2(x – a) } имеет более двух решений.

Задания и ответы для 11 класса

1. Пусть a, b, c — три попарно различных числа. Для каждой пары из чисел a, b и c выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены f₁, f₂, f₃. Найдите сумму S = a² + b² + c², если наименьшее значение трёхчлена f = f₁ + f₂ + f₃ равно –1, а f(0) = 11. (Сами числа a, b и c не даны.)

2. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 7, 8 и 9, чтобы две из этих цифр использовались в записи числа ровно по два раза, а каждая из остальных цифр — не более одного раза?

3. Решите систему уравнений: { logₓ(5y – x) · logᵧ(5x – y) = 4, logₓ(5x – y) + logᵧ(5y – x) = 4.

4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AN. Обозначим через Q точку пересечения продолжения высоты BP треугольника ABC за точку P с описанной около этого треугольника окружностью ω. Найдите площадь треугольника BCQ, если BC = 24, углы ∠BNA и ∠BAC равны, а радиус окружности ω равен 13.

5. Решите неравенство: (1 – cos x cos(π/8))² – sin²x sin²(π/8) + (2 sin 2x – √2)² ≤ 0.

6. В четырёхугольной пирамиде SABCD известны длины всех рёбер: AB = BC = CD = DA = 5, SB = 2√5, SA = SC = 3√5, SD = 2√10. Сфера ω с диаметром SB пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки S и линии L, не содержащей точку S. Найдите длину линии L.

7. Найдите все положительные значения параметра a, при которых система { x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0, (|x| – |x – a| – a)y = 2(x – a) имеет ровно два решения.

Смотрите на сайте задания прошлых лет

Олимпиада Физтех 2024-2025 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы

Олимпиада физтех по математике 9 класс заключительный этап 2026

Олимпиада физтех по математике 10 класс заключительный этап 2026

Олимпиада физтех по математике 11 класс заключительный этап 2026

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ