Автор Задания и ответы с решением олимпиады Курчатов по математике для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса отборочный и заключительный этап 2024-2025 учебный год. За каждый решённый пункт в задачах участник получает 1 балл. Проходные баллы на заключительный этап будут опубликованы позже.
→ Отборочный этап задания и ответы
→ Заключительный этап задания и ответы
Отборочный этап 2025 олимпиада Курчатов по математике
math_6-7_2025_otbor-kurchatovЗадача 6.1 На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из 2025 жителей сказал: “на острове не менее N лжецов”, где N — некоторое натуральное число. Какое максимальное количество рыцарей может быть на острове, если все высказывания различны?
Задача 6.2 Натуральное число заканчивается на 8. Если эту цифру зачеркнуть, а в начале числа приписать 10, то данное число станет в три раза больше. Найдите наименьшее такое число.
Задача 6.3 Квадрат разрезали на меньший квадрат и четыре прямоугольника так, как это показано на рисунке. На нём отмечены периметры трёх из этих прямоугольников. Найдите сторону исходного квадрата.
Задача 6.4 На часах с циферблатом три стрелки с плавным ходом: часовая, минутная и секундная. Момент времени, когда положение двух или трёх стрелок совпадает назовём счастливым. Сколько счастливых моментов случается на часах в день с 8:30 до 14:30?
Задача 6.5 Митя может отмерить любое целое количество грамм от 2000 до 2025 с помощью своего набора гирь, каждая из которых тоже весит целое число грамм. Какое минимальное количество гирь может быть у Мити?
Задача 6.6 Дана доска размером 5 ⇥ 8 (5 строк и 8 столбцов). В верхней строке стоят белые фишки, а в нижней — чёрные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на пустую клетку, соседнюю по стороне с ней. За какое наименьшее количество ходов удастся поменять белые и чёрные фишки местами?
Задача 8.1 Числа d и e являются корнями уравнения x2bx+c = 0, причём все числа b, c, d, e натуральны. Известно, что bcde = 5202. Какое наибольшее значение может принимать число c?
Задача 8.2 На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли такие точки M и K, что BM = BK. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O, причём площади четырёхугольника MBKO и треугольника AOC равны. Найдите BM, если стороны AB и BC равны 12 и 13.
Задача 8.3 На часах с циферблатом три стрелки с плавным ходом: часовая, минутная и секундная. Момент времени, когда положение двух или трёх стрелок совпадает назовём счастливым. Какое максимальное количество счастливых моментов может случиться на часах в 8-часовой промежуток (учитывая начальный и последний момент промежутка)?
Задача 8.4 На доске записано пятизначное число. Петя стёр его первую и последнюю цифры, и число уменьшилось ровно в 46 раз. Какое число было записано изначально?
Задача 8.5 Аня и Боря играют в игру на клетчатом поле 8⇥8. За один ход Аня ставит точку в одну из свободных клеток. Боря за свой ход может сократить размеры поля с любого края, вычеркнув столбец или строку, если там находится не более 2 точек (которые ещё не были вычеркнуты). Игроки ходят по очереди, начинает Аня. Игра заканчивается, когда Боря не может сделать ход. Какое наибольшее количество клеток может остаться на поле (при любой стратегии Бори)?
Задача 8.6 Назовём драконом такую фигуру из n > 2035 клеток, что от любой клетки можно дойти до любой другой, двигаясь по клеткам фигуры. Скажем, что дракон является маленьким, если его нельзя разделить на двух или более драконов. Найдите наибольшее возможное количество клеток у маленького дракона.
Задания и ответы для заключительного этапа 2025
Kurchatov_Math_2025_olimpiadaЗадача 6.1. На столе выложены восемь карточек-цифр: 2 0 2 4 2 0 2 5 Используя в записи только однозначные и двузначные числа расположите все карточки в нужном порядке и расставьте знаки действий (+, −, ×, ÷) и скобки между ними, чтобы в результате действий получилось 2025.
Задача 6.2. Разрежьте данную фигуру на клетчатой сетке на три равные части.
Задача 6.3. В алфавите племени АМУ-АМУ всего три буквы, А, М, У. Смысл слова в языке племени не меняется, если в любое место слова вставить сочетание МАМА или МУУ, либо вычеркнуть сочетание АМ или МУМ. Можно ли утверждать, что слова МАУМАУ и УММА несут одинаковый смысл?
Задача 6.4. Аня и Боря играют в такую игру. У каждого изначально куча из 100 камней. Первая ходит Аня и убирает 1 камень из любой кучи. Каждый следующий игрок должен убрать из одной кучи (на его усмотрение) в два раза больше камней, чем убрал игрок в предыдущем ходу. Игра заканчивается, когда нельзя сделать ход, выигрывает тот, у кого останется больше камней. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 6.5. На острове два лагеря жителей: рыцарей, всегда говорящих правду, и лжецов, всегда говорящих неправду. Однажды на острове построили кинотеатр с прямоугольным залом на 32 места (4 ряда по 8 мест). На премьере побывали 32 жителя, заняв все места в зале, причем каждый из них заявил, что среди соседей были представители обоих лагерей (два зрителя являются соседями, если один из них сидит слева, справа, сзади или спереди от другого). Какое наименьшее число лжецов могло быть среди зрителей на этой премьере?
Задача 7.2. На рисунке представлен план замка. Точки это башни замка, отрезки это стены замка. Сколькими способами можно назначить стражников на патрулирование этого замка так, чтоб маршрут каждого стражника был замкнут, проходил по одной стене не более одного раза и чтоб по каждой стене проходил ровно один маршрут?
Задача 7.5. Вася закрашивает некоторые клетки таблицы 6 на 6 в виде «змейки»: каждая следующая закрашиваемая клетка соседствует по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но при этом не соседствует ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Змейку какой наибольшей длины может таким образом нарисовать Вася?
Задача 8.1. Маша и Медведь играют в игру. Дана клетчатая полоска из 2024 клеток. Сначала Медведь ставит в любую клетку баночку меда. Затем на каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число, не превосходящее n, а Медведь должен передвинуть баночку меда ровно на n клеток, не выходя за пределы полоски. Маша выигрывает, если в какой-то момент Медведь не сможет этого сделать. Найдите наименьшее n, при котором Маша может выиграть.
Задача 8.2. Дана четырехугольная пирамида. На каждой ее грани написано число 0. За один ход разрешается выбрать любую вершину и изменить (т.е. увеличить или уменьшить) числа на всех гранях, содержащих эту вершину, на 1. Можно ли такими операциями добиться, чтобы на всех гранях пирамиды (в том числе и на основании) было бы написано число 2?
Задача 8.4. Треугольник ABC вписали в окружность с центром O. Его высоты AM и CK пересекаются в точке H. Оказалось, что прямая MK делит отрезок OH пополам. Чему может быть равен угол ABC?
Задача 9.1. узнечик сидит в вершине правильного треугольника со стороной 1. Каждый ход кузнечик выбирает одну из вершин треугольника и прыгает в направлении к ней, уменьшая расстояние до этой вершины вдвое. Может ли кузнечик за несколько прыжков оказаться ближе, чем на 0,1 от точки пересечения медиан треугольника?
Задача 9.2. Читатель написал на доске приведённое квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 с целыми коэффициентами. Ученик Петя находит корни этого уравнения. Если оба корня окажутся целыми, то учитель составляет новое уравнение такого же типа, у которого вместо p и q стоят эти корни в том порядке, в каком захочет учитель. Если корни не целые или их нет вовсе, то Петя идет домой. Учитель очень хочет, чтобы Петя не попал домой никогда. При каких значениях p и q ему это удастся?
Задача 9.3. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC треугольника ABC пересекают прямые BC и AB в точках M и K. Оказалось, что прямые AM и CK параллельны. Чему может быть равен угол ABC?
Задача 9.4. Назовём набор положительных вещественных чисел (a1, . . . , ak) волшебным, если уравнение [a1n] + [a2n] + . . . + [akn] = n имеет бесконечно много натуральных решений. Докажите, что набор является волшебным тогда и только тогда, когда a1 + . . . + ak = 1 и все ai — положительные рациональные числа.
Задача 9.5. окажите, что для любого натурального n > 2 можно расставить числа от 1 до n 2 в клетках таблицы n × n таким образом, чтобы средние арифметические чисел в каждой строке и каждом столбце были бы натуральными числами.
Критерии определения победителей и призеров олимпиады
Смотрите на сайте олимпиаду Курчатов по математике
Олимпиада Курчатов по математике задания и ответы 6-11 класс