Автор Всероссийская олимпиада школьников по математике 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса задания и ответы муниципального этапа 2024-2025 учебный год для школьников Московской области взлёт, олимпиада прошла 9 ноября 2024. Предварительные результаты и официальное видео решение олимпиады уже доступны.
Муниципальный этап 2024 олимпиада по математике
zadanie-mat-mun-2024-olimpiadaОтветы и решения для олимпиады
otveti-mat-mos-olimp_2024Вам предлагается решить математические задачи, записать в каждой из них ответ и привести его обоснование (нужно записать полное развёрнутое решение). Задачи можно решать в любом порядке. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Время выполнения заданий — 180 235 минут.
Задания для 5 класса
5.1. В школьном буфете пицца стоит 45 рублей, пирожок – 12 рублей, а пирожное – 18 рублей. Два друга купили в буфете 5 кулинарных изделий и заплатили за них 132 рубля. Какие покупки они сделали? Приведите пример.
5.2. Девять сладкоежек купили 5 пирогов. Каждый пирог разрезали на 6 или 8 кусочков. Все съели одинаковое количество кусочков и ничего не осталось. По сколько кусочков съел каждый из сладкоежек?
5.3. Можно ли записать в некоторые клетки таблицы 6 × 6 числа от 1 до 11 (каждое из этих 11 чисел ровно один раз) так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в любом столбце были бы меньше 13?
5.4. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 66 на 6 различных клетчатых прямоугольников, из которых ровно 3 являются квадратами?
5.5. Найдите все решения ребуса ПАРТА + ПАРТА = КЛАСС и объясните, почему других решений нет. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.
Задания для 6 класса
6.1. Аня, Боря и Вася ходили за грибами. Вернувшись, они сказали следующие фразы. Аня: «Мы с Борей вдвоём набрали 17 грибов»; Боря: «Мы с Васей вдвоём набрали 34 гриба», Вася: «Мы с Аней вдвоём набрали 15 грибов». Мама сказала им: «Кто-то из вас ошибся.» Почему она так решила?
6.2. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 5 × 5 на 5 различных клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами?
6.3. В банке можно положить вклад на месяц под фиксированный процент. В конце месяца банк начислит проценты, а потом округлит (по обычным правилам) начисленную сумму до целого числа рублей. У Васи и Пети одинаковые суммы денег. Вася разделил свои деньги на две равные части и открыл два вклада, а Петя положил все свои деньги на один вклад. Может ли оказаться, что после выплаты процентов сумма у Васи будет больше суммы у Пети?
6.4. Петя заметил, что для краткой записи дней недели: пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс используются 8 букв, которые встречаются «б» – 1 раз, «в» – 2 раза, «н» – 1 раз, «п» – 2 раза, «р» – 1 раз, «с» – 3 раза, «т» – 3 раза, «ч» – 1 раз. Петя посчитал, что за N дней разность между числом появлений каких-то двух букв равна 5. При каком наименьшем N такое могло произойти?
6.5. На доске изначально написаны три числа: 1, 2 и 4. За один шаг можно выбрать любые два из них, к одному прибавить 1, а к другому прибавить 2 (при этом два старых числа стирают, а на их место записывают два новых). Можно ли в результате нескольких таких операций получить на доске три равных числа?
Задания для 7 класса
7.1. В шестизначном числе пронумеровали слева направо все цифры числами от 1 до 6, после чего все цифры с чётными номерами в том же порядке переставили на первые три места, а все цифры с нечётными номерами в том же порядке переставили на последние три места. Получившееся число совпало с исходным. Какое наибольшее количество различных цифр может быть в таком числе?
7.2. Найдите наименьшее число, начинающееся с цифр 1234567 и делящееся на 225.
7.3. В банке можно положить вклад на месяц под фиксированный процент. В конце месяца банк начислит проценты, а потом округлит (по обычным правилам) начисленную сумму до целого числа рублей. У Васи и Пети одинаковые суммы денег. Вася разделил свои деньги на две равные части и открыл два вклада, а Петя положил все свои деньги на один вклад. Может ли оказаться, что после выплаты процентов сумма у Васи будет меньше суммы у Пети?
7.4. За круглый стол сели семь математиков. Каждому из них дали карточку, на которой написано число «1» или «–1». Затем на доску записали семь чисел – произведения чисел на карточках каждых двух математиков, сидящих рядом. После этого на доску записали восьмое число – произведение всех семи чисел на карточках математиков. Какое наименьшее значение может принимать сумма 8 выписанных на доске чисел?
7.5. На острове живут рыцари и лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На чаепитие в зале собралось 30 человек. В процессе беседы десять из них сказали, что в зале ровно 20 рыцарей. Пятеро сказали, что в зале не больше 7 рыцарей. Двенадцать человек сказали, что в зале ровно 10 рыцарей. А остальные трое сказали, что в зале ровно 9 рыцарей. Каждый произнес ровно одну фразу. Сколько рыцарей присутствует на чаепитии?
Задания для 8 класса
8.1. В десятизначном числе пронумеровали слева направо все цифры числами от 1 до 10, после чего все цифры с чётными номерами в том же порядке переставили на первые пять мест, а все цифры с нечётными номерами в том же порядке переставили на последние 5 мест. Получившееся число совпало с исходным. Какое наибольшее количество различных цифр может быть в таком числе?
8.2. На биссектрисе острого угла 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки D и E так, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 𝐴𝐸 и 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 (точка D лежит между B и E). Докажите, что 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷.
8.3. На доске написаны четыре числа: 2, 3, 4 и 6. За один шаг можно выбрать любые три из них, первое умножить на 2, второе – на 3, а третье – на 6 (при этом три старыех числа стирают, а на их место записывают три новых). Можно ли через несколько шагов получить на доске четыре равных числа?
8.4. Найдите значение суммы 𝑆 = (1 2 + 1 ∙ 2 + 2 2 ) + (2 2 + 2 ∙ 3 + 3 2 ) + (3 2 + 3 ∙ 4 + 4 2 ) + ⋯ +(982 + 98 ∙ 99 + 992 ) + (992 + 99 ∙ 100 + 1002 )
8.5. Назовем квадроугольником фигуру, которая состоит из клетки и двух примыкающих к ней треугольников, каждый из которых является половиной клетки. Ниже приведены примеры двух квадроугольников. Можно ли разрезать клетчатую фигуру, состоящую из 4 клетчатых квадратов А размера 7*7, составленных в виде фигуры т-тетрамино (см. рисунок) на квадроугольники?
Задания для 9 класса
9.1. Дан квадратный трёхчлен 𝑓(𝑥). Известно, что линейная функция 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) обращается в ноль только при 𝑥 = 2024. При каком значении аргумента обращается в ноль функция 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 1) − 𝑓(𝑥)?
9.2. На доске написаны четыре числа: 2, 3, 4 и 9. За один шаг можно выбрать любые три из них, первое умножить на 2, второе – на 4, а третье – на 6 (при этом три старых числа стирают, а на их место записывают три новых). Можно ли через несколько шагов получить на доске четыре равных числа?
9.3. Найдите значение суммы 𝑆 = (1 2 + 1 ∙ 3 + 3 2 ) + (3 2 + 3 ∙ 5 + 5 2 ) + (5 2 + 5 ∙ 7 + 7 2 ) + ⋯ +(972 + 97 ∙ 99 + 992 ) + (992 + 99 ∙ 101 + 1012 )
9.4. В треугольнике ABC медиана BM образует со стороной BC прямой угол. На стороне AB отмечена точка X так, что. Найдите, чему равно отношение 𝐴𝑋: 𝑋𝐵.
9.5. Взяли четыре клетчатых квадрата размера 7 × 7 (на рисунке обозначен А) и составили из них фигуру вида т-тетрамино (см. рисунок). Все клетки исходных квадратов разделили одной из диагоналей на два треугольника. В результате получилось треугольников. Пару таких треугольников назовем соседями, если у них есть общий катет. Можно ли разбить все треугольники на непересекающиеся пары соседей?
Задания для 10 класса
10.1. Вася написал на доске несколько различных двузначных чисел. Оказалось, что сумма никаких двух из написанных на доске чисел не равна 90. Какое максимальное количество чисел мог написать Вася?
10.3. На доске были написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого исходного числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 𝑆1. Вася вычел из каждого исходного числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 𝑆2 Наконец Андрей вычел из каждого исходного числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 𝑆3. Сколько двоек было написано на доске?
10.4. Есть 30 нечётных натуральных чисел. Оказалось, что их можно разбить на 10 троек так, что в каждой тройке одно из чисел равно произведению двух других. Может ли сумма этих 30 чисел равняться 2024?
10.5. В трапеции ABCD длина боковой стороны AB равна сумме длин оснований. Окружность с центром в точке A, проходящая через D, пересекает отрезки BD и BA в точках E и F соответственно. Докажите, что точки B, C, E, F лежат на одной окружности.
Задания для 11 класса
11.1. При каком наименьшем n в некоторые клетки таблицы 𝑛 × 𝑛 можно вписать числа от 1 до 9 (каждое из этих девяти чисел ровно один раз) так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в любом столбце были бы меньше 11?
11.3. Есть 100 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100 (каждое – по одному разу). Можно ли их разбить на 25 наборов по 4 карточки так, чтобы в каждом из наборов число на одной из карточек было бы либо в 2 раза, либо в 5 раз меньше, чем сумма чисел трех оставшихся карточек набора?
11.4. Дан шестиугольник, описанный около окружности. Назовём его сторону a хорошей, если треугольник, сложенный из неё и двух её соседних сторон, является прямоугольным с гипотенузой a. Может ли этот шестиугольник иметь хотя бы три хорошие стороны?
11.5. Назовем квадроугольником фигуру, которая состоит из двуклеточного прямоугольника и двух примыкающих к нему треугольников, каждый из которых является половиной клетки (по одному треугольнику к каждой из двух клеток прямоугольника). Ниже приведены примеры двух квадроугольников. Можно ли разрезать клетчатую фигуру, состоящую из 4 клетчатых квадратов А размера 99, составленных в виде фигуры т-тетрамино (см. рисунок) на квадроугольники?
Смотрите на сайте олимпиады по математике
Региональный этап 2024 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы олимпиады ВСОШ