Автор Новые тренировочные варианты №3 и №26 решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора 100 баллов с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник). Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года из открытого банка задач.
Пробник ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
3 вариант ЕГЭ 2025 математика 11 класс профиль
Variant_3_EGE_profil_s_otvetami_2025Разбор 3 варианта
Задание 1
В равностороннем треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высота 𝐶𝐻 равна 45√3. Найдите 𝐴𝐵.
Ответ: 90
Задание 2
Даны векторы 𝑎⃗ (−13; 4) и 𝑏⃗⃗ (−6; 1). Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
Ответ: 82
Задание 3
В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 15, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐴1 = 21. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины 𝐵, 𝐵1 и 𝐷.
Ответ: 357
Задание 4
В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.
Ответ: 0,74
Задание 5
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 8».
Ответ: 0,12
Задание 6
Найдите корень уравнения √28 − 2𝑥 = 2.
Ответ: 12
Задание 7
Найдите значение выражения (649 ) 3 : (165 ) 8 .
Ответ: 4
Задание 8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 8). В какой точке отрезка [−2; 3] функция 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение?
Ответ: 3
Задание 9
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 𝑎 (в км/ч 2 ). Скорость 𝜐 (в км/ч) вычисляется по формуле 𝜐 = √2𝑙𝑎, где 𝑙 − пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 км, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ дайте в км/ч 2 .
Ответ: 5500
Задание 10
Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа – со скоростью 45 км/ч, а затем два часа – со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 55
Задание 11
На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите значение 𝑓(−2).
Ответ: 12
Задание 12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln(𝑥 + 9) − 10𝑥 + 7.
Ответ: -8,9
Задание 13
а) Решите уравнение 8sin2𝑥 + 2√3 cos 𝑥 + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Задание 14
На рёбрах 𝐷𝐷1 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 8 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 7, а 𝐵1𝑄 = 3. Плоскость 𝐴1𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀. а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐶1 до плоскости 𝐴1𝑃𝑄.
Задание 15
Решите неравенство log4 (6 − 6𝑥) < log4 (𝑥 2 − 5𝑥 + 4) + log4 (𝑥 + 3).
Задание 16
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 𝑆 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 𝑆 тыс. рублей; – выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей; – к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Задание 17
В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 8, 𝐴𝐷 = 15, 𝐴𝐶 = 13. а) Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность. б) Найдите 𝐵𝐷.
Задание 18
Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение √𝑥 4 + (𝑎 − 5) 4 = |𝑥 + 𝑎 − 5| + |𝑥 − 𝑎 + 5| имеет единственное решение.
Задание 19
Есть 4 камня, каждый из которых массой 7 тонн, и 9 камней, каждый из которых массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы суммарные массы камней в этих группах были равны? в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?
26 тренировочный вариант для 11 класса школа Пифагора
Variant_26_EGE_profil_s_otvetami_2025Разбор 26 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 − средняя линия. Площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸 равна 24. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Ответ: 96
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 3𝑏⃗⃗.
Ответ: 8
3. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 50√2. Найдите радиус сферы.
Ответ: 50
4. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°С, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°С или выше.
Ответ: 0,06
5. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ: 0,16
7. Найдите значение выражения log2 7 ∙ log7 4.
Ответ: 2
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 8). Найдите точку минимума функции 𝑓(𝑥).
Ответ: 4
9. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: 𝑇(𝑡) = 𝑇0 + 𝑏𝑡 + 𝑎𝑡 2 , где 𝑡 − время (в мин.), 𝑇0 = 680 К, 𝑎 = −16 К мин2 , 𝑏 = 224К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Ответ: 5
10. Расстояние между пристанями A и B равно 192 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 20
11. На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
Ответ: 4
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 − 27) ∙ 𝑒 28−𝑥 на отрезке [23; 40].
Ответ: 1
13. а) Решите уравнение 10sin 𝑥 = 2 sin 𝑥 ∙ 5 − cos 𝑥 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. Дана четырёхугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, в основании которой лежит ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 со стороной 10. Известно, что 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶 = 10√2, 𝑆𝐵 = 20 и 𝐴𝐶 = 10. а) Докажите, что ребро 𝑆𝐷 перпендикулярно плоскости основания пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐶 и 𝑆𝐵.
16. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк через четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей.
17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 120°. Прямые, содержащие высоты 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекаются в точке 𝐻. Точка 𝑂 − центр окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что 𝐴𝐻 = 𝐴𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐻𝑂, если 𝐵𝐶 = √15, ∠𝐴𝐵𝐶 = 45°.
19. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд. а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта? б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд? в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 – при получении двух звёзд и 2000 – при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?