Автор Объединённая межвузовская математическая олимпиада школьников 2023-2024 учебного года задания и ответы для подготовки к олимпиаде.
→ Задания финального тура
Задания первого тура олимпиады ОММО 2024
ommo2024-zadanieЗадача 1. Для какого наибольшего натурального числа 𝑛 существует натуральное число 𝑚, что выполняется равенство 𝑛! · 7! = 𝑚! ? Как обычно, для натурального числа 𝑘 через 𝑘! обозначается произведение натуральных чисел от 1 до 𝑘.
Ответ: 5039
Задача 2. Функция 𝑓 определена на целых числах и принимает целые значения. Известно, что для любых 𝑥 и 𝑦 выполняется равенство 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 + 1) + 𝑓(𝑦 − 1). Чему равно 𝑓(1), если 𝑓(2024) = 4202 и 𝑓(4202) = 2024? Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001.
Ответ: 6225
Задача 3. Действительные числа 𝑥, 𝑦, 𝑧, большие 1, таковы, что 𝑥 log𝑦 𝑧 = 2, 𝑦 log𝑧 𝑥 = 4, 𝑧 log𝑥 𝑦 = 8. Найдите 𝑥. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001.
Ответ: 2,665
Задача 4. На вечеринку пришли участники ОММО и ММО. Удивительно, но каждый из пришедших принимал участие только в одной из этих олимпиад. Каждые двое из пришедших или друзья, или враги. У каждого участника ММО на вечеринке среди друзей ровно 16 участников ММО и ровно 8 участников ОММО. У каждого участника ОММО на вечеринке среди врагов ровно 7 участников ММО и ровно 10 участников ОММО. Сколько человек пришли на вечеринку? Если ответов несколько, перечислите их все в порядке возрастания через точку с запятой; например, 24;25;26.
Ответ: 33
Задача 5. Точки 𝐴 = (︀ 4, 1 4 )︀ и 𝐵 = (︀ −5, − 1 5 )︀ лежат на гиперболе 𝑥𝑦 = 1. Окружность с диаметром 𝐴𝐵 пересекает эту гиперболу ещё в двух точках 𝑋 и 𝑌 . Найдите длину отрезка 𝑋𝑌 . Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001.
Ответ: 8, 955
Задача 6. Известны длины сторон треугольника 𝐴𝐵𝐶: 𝐴𝐵 = 14, 𝐵𝐶 = 15, 𝐶𝐴 = 13. Внутри отрезка 𝐴𝐵 выбрана точка 𝐷. Точка 𝐸 выбирается наугад внутри отрезка 𝐴𝐷. Перпендикуляр к отрезку 𝐴𝐷, восставленный в точке 𝐸, пересекает объединение отрезков 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точке 𝐹. Пусть точка 𝐷 выбрана так, что среднее значение длины отрезка 𝐸𝐹 наибольшее возможное. Найдите длину отрезка 𝐴𝐷. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,001. Cреднее значение длины отрезка 𝐸𝐹 — это предел при 𝑛 → ∞ среднего арифметического длин отрезков 𝐸𝐹, когда 𝐸 пробегает 𝑛 точек, делящих отрезок 𝐴𝐷 на 𝑛 + 1 равных частей.
Ответ: 8, 367
Информация о олимпиаде:
С 2009 года для 11-классников по инициативе группы московских вузов проводится межвузовская олимпиада по математике; с 2011 года Олимпиада также проходит в Санкт-Петербурге и других городах. С 2009 года ОММО входит в Перечень олимпиад МОН РФ и ее дипломы могут официально учитываться при приеме в вузы (приказ МОН РФ №566 от 22.06.2022).
В Перечне олимпиад на 2023/24 уч. г. (приказ МОН РФ №823 от 28.08.2023) ОММО-2024 имеет второй уровень. Конкретные решения о льготах принимаются вузами (приказ МОН РФ №1076 от 21.08.2020) и должны быть объявлены не позднее 1 ноября. Участие в Олимпиаде добровольно и бесплатно. Опубликован регламент проведения Олимпиады.
Первый тур проходит в заочной форме с 26 декабря по 25 января. Для участия в нем войдите в систему reg.olimpiada.ru (возможно потребуется заполнить небольшую анкету), после чего перейдите на страницу заочного тура и регистрации ОММО и следуйте инструкциям. Финальный тур планируется 4 февраля в очной форме (список мест проведения планируется опубликовать в середине января). Начало во всех точках в 10 утра по московскому времени.
Всероссийская олимпиада школьников 2023-2024 задания и ответы
Всероссийская олимпиада школьников 2023-2024 задания и ответы