Автор Задания, ответы и решения для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса всероссийской олимпиады школьников по математике муниципальный этап ВСОШ 2022-2023 учебный год для школьников Московской области.
Ответы и решения заданий олимпиады по математике 6-11 класс
otveti_vosh_mat_2022Задания для 6 класса
6.1. Про натуральное число, написанное на доске, Петя сказал, что оно больше 10, Коля сказал, что оно не меньше 11, Вася сказал, что оно больше 12, Дима сказал, что оно меньше 12, а Олег сказал, что оно не больше 12. Какое наибольшее число высказываний могли оказаться правильными?
6.2. У Пети есть семь карточек с цифрами 2, 3, 4, 5, 7, 8, 0. Он хочет, использовав все карточки, составить наибольшее натуральное число, кратное 25. Какое число должно у него получиться?
6.3. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 2525 на клетчатые прямоугольники такие, что у каждого из них длина и ширина отличаются на 1?
6.4. Четыре пирата разделили добычу в 100 монет. Известно, что среди них ровно два лжеца (которые всегда лгут) и ровно два рыцаря (которые всегда говорят правду). Они сказали: Первый пират: «Мы разделили монеты поровну». Второй пират: «У всех разное количество монет, но каждому досталось хотя бы 20 монет». Третий пират: «У каждого количество монет делится на 5». Четвертый пират: «У всех разное количество монет, но каждому досталось не более 35 монет». Какое максимальное количество монет могло достаться одному пирату?
6.5. По кругу выписано 100 чисел. Известно, что среди любых 3 подряд идущих есть положительное число. Какое наименьшее количество положительных чисел может быть среди этих 100 выписанных чисел?
Задания для 7 класса
7.1. Десять экскурсоводов водили по залам Эрмитажа десять экскурсионных групп. Составы групп были не обязательно равными, но в среднем в каждой группе было 9 человек. Когда одна из групп закончила экскурсию, среднее количество экскурсантов в группе уменьшилось до 8 человек. Сколько человек было в завершившей экскурсию группе?
7.2. В школьном спортзале один стол для армрестлинга. Учитель физкультуры организовал школьный турнир. Он вызывает на схватку любых двух участников турнира, еще не встречавшихся друг с другом. Ничьих не бывает. Если участник схватки терпит второе поражение, то он выбывает из турнира. После того, как было проведено 29 схваток, из турнира выбыли все участники, кроме двух. Сколько школьников участвовало в турнире?
7.3. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 3535 на клетчатые прямоугольники такие, что у каждого из них длина и ширина отличаются на 3?
7.4. Четыре пирата разделили добычу в 100 монет. Известно, что среди них ровно два лжеца (которые всегда лгут) и ровно два рыцаря (которые всегда говорят правду). Они сказали: Первый пират: «Мы разделили монеты поровну». Второй пират: «У всех разное количество монет, но каждому досталось хотя бы 15 монет». Третий пират: «У каждого количество монет делится на 5». Четвертый пират: «У всех разное количество монет, но каждому досталось не более 35 монет». Какое максимальное количество монет могло достаться одному пирату?
7.5. По кругу выписаны 100 целых ненулевых чисел таких, что каждое число больше произведения двух следующих за ним по часовой стрелке чисел. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди этих 100 выписанных чисел?
Задания для 8 класса
8.1. Учащиеся школы отправились на экскурсию на шести автобусах. В автобусах было не обязательно равное количество школьников, но в среднем в каждом автобусе было 28 школьников. Когда первый автобус доехал до пункта назначения, в автобусах, продолжавших движение, среднее количество школьников стало равным 26. Сколько школьников ехало в первом автобусе?
8.2. В рабочие дни (с понедельника по пятницу) Петя пять раз занимался в тренажерном зале. Известно, что суммарно он провел в зале 135 минут, при этом время, проведенное в зале в любые два разных дня, отличалось, по крайней мере, на 7 минут. Какую наибольшую продолжительность могло составлять самое короткое занятие?
8.3. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 2525 на клетчатые прямоугольники такие, что периметр каждого из них равен 18?
8.4. Дан треугольник ABC. Вне треугольника ABC выбраны точки D, E, F так, что AD = DB, BE = EC, CF = FA. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы углов ADB, BEC и CFA, пересекаются в одной точке.
8.5. По кругу выписано 101 число. Известно, что среди любых пяти подряд идущих чисел найдутся хотя бы два положительных числа. Какое наименьшее количество положительных чисел может быть среди этих 101 выписанного числа?
Задания для 9 класса
9.1. В поселке проживают семь человек. Некоторые из них лжецы (всегда лгут), а остальные – рыцари (всегда говорят правду). Каждый из них сказал про каждого из остальных кто он: рыцарь или лжец. Из 42 полученных ответов 24 были «Он – лжец». Какое наименьшее количество рыцарей может проживать в поселке?
9.2. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 3535 на клетчатые прямоугольники такие, что периметр каждого из них равен 18, 22 или 26? 9.3. Положительное число a – коэффициент при 2 x квадратного трехчлена f x( ) , не имеющего корней. Докажите, что при любом x выполняется неравенство f x f x f x a ( ) ( 1) ( 1) 4.
9.4. Четырехугольник ABCD (AB >BC) вписан в окружность Ω. Известно, что AD = CD. Докажите, что биссектриса угла ADB отсекает от угла BAC равнобедренный треугольник.
9.5. По кругу выписаны 300 целых ненулевых чисел таких, что каждое число больше произведения трех следующих за ним по часовой стрелке чисел. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди этих 300 выписанных чисел?
Задания для 10 класса
10.1. Учитель математики договорился с пришедшими на факультатив одиннадцатью школьниками, что он выйдет из кабинета, а школьники договорятся между собой, кто из них будет лжецом (всегда лгать), а кто – рыцарем (всегда говорить правду). Когда учитель вернулся в класс, он попросил школьников, чтобы каждый из них сказал про каждого из остальных кто он: рыцарь или лжец. Из 110 ответов 56 были «Он – лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди школьников?
10.2. Можно ли разрезать куб 202020 на прямоугольные параллелепипеды такие, что у каждого из них длина, ширина и высота в некотором порядке являются последовательными натуральными числами?
10.3. Числа a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что если в треугольнике угол, лежащий против стороны b, больше 60о , то уравнение 2 ax bx c 2 0 имеет два различных корня.
10.4. На окружности с центром O и диаметрами AB и CD выбраны точки E и F так, что OD – биссектриса угла EOB и AE = CF (точки E и F – по разные стороны от CD). Докажите, что хорда EF отсекает от угла EDC равнобедренный треугольник.
10.5. По кругу выписано 103 числа. Известно, что среди любых пяти подряд идущих чисел найдутся хотя бы два положительных числа. Какое наименьшее количество положительных чисел может быть среди этих 103 выписанных чисел?
Задания для 11 класса
11.1. Можно ли разрезать куб 404040 на прямоугольные параллелепипеды такие, что у каждого из них длина, ширина и высота в некотором порядке являются последовательными нечетными числами?
11.4. По кругу выписано 101 целое ненулевое число так, что каждое число больше произведения двух следующих за ним по часовой стрелке чисел. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди этих 101 выписанного числа?
11.5. Боковые грани пятиугольной пирамиды SABCDE – остроугольные треугольники. Назовем боковое ребро пирамиды хорошим, если оно равно высоте противоположной боковой грани, проведенной из вершины пирамиды (например, ребро SA – хорошее, если оно равно высоте треугольника SCD, проведенной из вершины S). Какое наибольшее количество хороших ребер может иметь пирамида?
Смотрите также на сайте:
Всероссийская олимпиада школьников 2023-2024 задания и ответы