Автор Всероссийская олимпиада школьников по математике 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса задания и ответы с критериями муниципального этапа 2025-2026 учебный год для школьников Московской области взлёт, олимпиада прошла 8 ноября 2025. Предварительные результаты и видео решение олимпиады уже доступны.
→ Задания и ответы: скачать
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать всё вышеперечисленное. Ниже приведена стандартная методика оценивания решений.
Муниципальный этап 2025 олимпиада по математике
mat_olimp_mun_2025_2026_zadanie_otvetiОлимпиада по математике 5 класс
5.1. На уроке физкультуры дети выстроились в ряд. Между Петей и Сашей стоит 5 ребят, а между Сашей и Мишей стоит 7 ребят. Сколько ребят может стоять между Петей и Мишей? Ответ. 13 или 1. Решение. Если Саша стоит между Петей и Мишей, то между Петей и Мишей 7+5+1=13 ребят. Если же Петя стоит между Сашей и Мишей, то между Петей и Мишей 7–5–1=1 школьник. Комментарий. Получен только один из двух ответов – 3 балла.
5.2. На доске вначале написано число 123. С числом на доске разрешается выполнять одну из двух операций: стереть его последнюю цифру, удвоить число. Четырехзначные числа записывать на доску нельзя. Можно ли получить на доске число, большее 95? Ответ. Можно. Решение. Один из способов: 123 → 246 → 492 → 984 → 98. Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов. Любой верный пример – 7 баллов.
5.3. Алексей хочет купить в магазине несколько одинаковых шоколадок. Цена каждой шоколадки выражается целым числом рублей. Если он даст кассиру купюру в 1000 рублей, он сможет купить 9 шоколадок. Если он добавит купюру в 100 рублей, то всё равно сможет купить только 9 шоколадок. Сколько стоит одна шоколадка? Ответ. 111 рублей. Решение. Из второго условия следует, что цена шоколадки больше 110 рублей (иначе 1100 рублей хватило бы на 10 шоколадок). А из первого условия – что цена меньше 112 рублей, так как 9112 > 1000, то есть, 1000 рублей не хватило бы на покупку 9 шоколадок. Осталось проверить, что при цене 111 рублей условия выполняются. Комментарий. Верный ответ без обоснования – 2 балла. Доказано только, что цена шоколадки больше 110 рублей, или что цена шоколадки меньше 112 рублей – 3 балла.
5.4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен быть один и тот же при получении цифр искомого числа). Ответ. 990990…990. Решение. Из двух чисел с одинаковым числом цифр больше то, у которого в первом слева разряде, в котором числа различаются, цифра больше. Значит, искомое число Х должно начинаться с цифры 9. Вторую цифру тоже можно сделать равной 9. Для этого нужно, чтобы третья цифра числа Х равнялась 0, а множитель равнялся 1. Тогда Х = 990АБВ … . Цифра 0 в третьем слева разряде может быть получена как произведение суммы (9 + А) на 0. Повторяя приведенные рассуждения для цифр Б, В, … , получаем тройки цифр 990. Число Х оканчивается на 990, поскольку 2025 делится на 3. И построение искомого числа получено. Комментарий. Верный ответ без обоснования – 3 балла. Объяснено, на какие числа умножаются суммы соседних цифр – ещё 2 балла.
5.5. Дана таблица 99. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют ровно одну общую вершину. Можно ли расставить в клетки этой таблицы различные натуральные числа от 1 до 81 так, что сумма чисел, стоящих в любых двух соседних клетках, не делилась бы на 3? Ответ. Можно. Решение. Заметим, что сумма двух чисел делится на 3, если либо оба числа делятся на 3, либо одно из них имеет остаток 1 при делении на 3, а другое – остаток 2 при делении на 3. Среди чисел от 1 до 81 ровно 27 делятся на 3 (имеют остаток 0 при делении на 3), ровно 27 имеют остаток 1 при делении на 3 и ровно 27 имеют остаток 2 при делении на 3. Тогда, например, можно в первые три строки поставить числа, имеющие остаток 1 при делении на 3, а потом в 4, 6 и 8 строки числа, делящиеся на 3, а в 5, 7 и 9 – числа, имеющие остаток 2 при делении на 3. Например, так (примеры могут другими).
Олимпиада по математике 6 класс
6.1. Фигура «пьедестал» составлена из трёх квадратов с длинами сторон 5, 7 и 11 так, как показано на рисунке. Найдите периметр этой фигуры. Ответ. 68. Решение. Общий периметр трёх квадратов равен 7 ∙ 4 + 11 ∙ 4 + 5 ∙ 4 = 92. Но отрезки, отмеченные на рисунке пунктиром, не участвуют в подсчёте периметра фигуры. Длина каждого из этих отрезков учитывается дважды в сумме периметров квадратов. Поэтому искомый периметр равен 92 − 7 ∙ 2 − 5 ∙ 2 = 68. Комментарий. Верный ответ без обоснования – 3 балла.
6.2. У Пети и Коли две одинаковые рабочие тетради, в которых есть рисунок окружности с отмеченными на ней N точками, делящими окружность на равные дуги. Две из этих точек на рисунке обозначены А и Б (одинаково в обеих тетрадях). Петя и Коля занумеровали точки каждый в своей рабочей тетради номерами от 1 до N. У них обоих нумерация идет по часовой стрелке, но начальные точки счёта различны. Найдите N, если известно, что у точки А пятый номер в счёте Пети и двенадцатый номер в счёте Коли, а у точки Б – наоборот: двенадцатый номер в счёте Пети и пятый номер в счёте Коли. Ответ. N = 14.
6.3. Артём сопоставил каждой букве русского алфавита число, а каждому слову (возможно бессмысленному) сопоставил произведение чисел, соответствующих всем буквам этого слова. Например, если буквам М и А сопоставлены числа 3 и 1 2 , то слову МАМА будет сопоставлено число 9 4 . Могло ли так оказаться, что словам ОДИН, ДВА, ТРИ, …, ДВАДЦАТЬ сопоставлены числа 1, 2, 3, …, 20 соответственно? Ответ. Не могло.
6.4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен быть один и тот же при получении цифр искомого числа). Ответ. 990990…990.
6.5. Дана таблица 99. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют общую сторону. Можно ли расставить в клетки этой таблицы различные натуральные числа от 1 до 81 так, что сумма чисел, стоящих в любых двух соседних клетках, не делилась бы на 3? Ответ. Можно.
Олимпиада по математике 7 класс
7.1. Найдите четыре целых числа таких, что их сумма равна нулю, а произведение равно 2025. Ответ. Например, –1, –45, 45 и 1. Решение. Заметим, что 2025 = 45 2 . Тогда, например, подойдут числа –1, –45, 45 и 1. Замечание. Существуют и другие примеры. Любая четвёрка чисел вида 𝑎; −𝑎; 45 𝑎 ; − 45 𝑎 , где 𝑎 – делитель числа 45, подходит. Комментарий. Любой правильный пример – 7 баллов.
7.2. В кошельке лежали 10 монет достоинством 1 и 2 рубля. Семь ребят разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно, что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка. Какая сумма могла лежать в кошельке? Ответ. 16 рублей. Решение. Так как ребят 7, а монет 10, и каждый брал либо одну, либо две монеты, то трое ребят взяли по две монеты, а четверо по одной. Заметим, что любой взявший две монеты получил 3 рубля, что больше, чем у любого, взявшего одну монету. Значит, у Пети монета достоинством в 1 рубль, у остальных троих, взявших по одной монете – по 2 рубля. Значит, в кошельке было 1 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 3 = 16 рублей.
7.3. Среди 13 человек есть лжецы (они всегда лгут) и рыцари (они всегда говорят правду). Каждому из них дали несколько конфет, после чего каждый сказал: «У меня чётное число конфет». После этого некоторые люди дали часть своих конфет кому-то другому. Может ли оказаться, что теперь каждый может сказать: «У меня нечётное число конфет»? Ответ. Не может. Решение. Пусть такое возможно. Так как каждый изменил свой ответ, то количество конфет у него изменило чётность. Посчитаем общее количество конфет после передачи конфет. Оно изменилось на величину, равную сумме 13 нечётных слагаемых (слагаемое будет со знаком «плюс», если у человека увеличилось количество конфет, и со знаком «минус» – если уменьшилось). Эта величина – нечётное число. Но общее количество конфет не могло измениться. То есть оно изменилось на 0, а 0 – чётное число. Противоречие.
7.4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную 208. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника. Ответ. 60.
7.5. Олег утверждает, что какие бы 100 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N? Ответ. 98.
Олимпиада по математике 8 класс
8.1. Из цифр 0, 1, 2, …, 9 составили два пятизначных числа А и В (все цифры использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на каждую цифру числа А? Ответ. Может. Решение. Например, подойдут числа A=49518, B=76320.
8.2. Среди 18 человек 9 лжецов (они всегда лгут) и 9 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 9 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 9 из них ответили «да», а 9 ответили «нет»? Ответ. Не может. Решение. Пусть сначала ни у кого не было открытки, тогда мы получим 9 ответов «да» и 9 ответов «нет». Будем давать по очереди 9 людям открытки. При выдаче открытки любой человек (лжец или рыцарь) изменит свой ответ на противоположный. То есть произойдет 9 смен ответов. Но так как и после выдачи открыток оказалось 9 ответов «да» и 9 ответов «нет», то количество смен ответов должно быть чётным. Противоречие.
8.3. На стороне 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃. Оказалось, что угол 𝐴𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐴𝐵𝐶, угол 𝐵𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐵𝐴𝐶. Найдите 𝑃𝐶, если 𝑀𝑁 = 2, где точка 𝑀 – середина стороны 𝐴𝐶, а точка 𝑁 – середина стороны 𝐵𝐶. Ответ. 2. Решение. Внешний угол 𝐵𝑃𝐶 треугольника 𝐴𝑃𝐶 равен сумме углов 𝑃𝐴𝐶 и 𝑃𝐶𝐴. По условию, угол 𝐵𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝑃𝐴𝐶, значит, углы 𝑃𝐴𝐶 и 𝑃𝐶𝐴 равны, и тогда 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶. Аналогично 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶. Следовательно, треугольники 𝐴𝑃𝐶 и 𝐵𝑃𝐶 являются равнобедренными и в них медианы 𝑃𝑀 и 𝑃𝑁 являются и биссектрисами, и высотами, значит, углы 𝑃𝑀𝐶, 𝑃𝑁𝐶 – прямые. Угол 𝑀𝑃𝑁 – прямой как сумма половин двух смежных углов 𝐴𝑃𝐶 и 𝐵𝑃𝐶. Тогда в четырёхугольнике 𝑀𝑃𝑁𝐶 углы 𝑀𝑃𝑁, 𝑃𝑀𝐶, 𝑃𝑁𝐶 – прямые, откуда 𝑀𝑃𝑁𝐶 — прямоугольник. Тогда 𝑀𝑁 = 𝑃𝐶 = 2 как диагонали прямоугольника.
8.4. Олег утверждает, что какие бы 100 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N? Ответ. 98. Решение. Если все числа одной четности, то все суммы будут чётными числами (большими 2), а, значит, составными. Иначе, расставив сначала все чётные, а затем все нечётные числа, Олег гарантирует, что 98 из 99 сумм точно будут чётными числами. Покажем, что 99 составных чисел можно получить не всегда. Пусть Олегу дали набор чисел 1, 𝑝1 − 1, 𝑝2 − 1, … , 𝑝99 − 1, где 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝99 – различные нечётные простые числа. Тогда как бы ни выкладывал числа Олег, число 1 вместе со своим соседом в сумме будет давать простое число.
8.5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 1, 2, 3, … , 10? Ответ. Нельзя. Решение. Рассмотрим 5 произведений 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎3𝑎4𝑎5𝑎6, 𝑎5𝑎6𝑎7𝑎8, 𝑎7𝑎8𝑎9𝑎10, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2. Если их перемножить, мы получим произведение, в котором каждое из чисел 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 участвует дважды, то есть равно (𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎10 ) 2 . Аналогично, оставшиеся 5 произведений при перемножении дадут (𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎10 ) 2 . Это означает, что 10 произведений можно разбить на две группы по 5 с одинаковым произведением. Но числа от 1 до 10 нельзя разбить на две группы по 5 чисел с одинаковым произведением, так как, например, среди них есть простое число 7, а никакое другое из них на 7 не делится.
Олимпиада по математике 9 класс
9.1. Среди 20 человек 10 лжецов (они всегда лгут) и 10 рыцарей (они всегда говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более 3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?». Было получено 5 ответов «0», 5 ответов «1», 5 ответов «2» и 5 ответов «3». Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 20 людям? Ответ. 55 монет. Решение. Так как рыцари говорят правду, вместе могут получить не более 2 ∙ 5 + 3 ∙ 5 = 25 монет. А каждый из лжецов мог получить (по условию) не более 3 монет, то есть вместе лжецы могут получить не более 30 монет. Такая ситуация реализуется, если 5 рыцарям дали по 2 монеты (они дали ответ «2»), 5 рыцарям дали по 3 монеты (они дали ответ «3»), 10 лжецам дали по 3 монеты (они дали 5 ответов «0» и 5 ответов «1»). А всего вместе они получат 55 монет.
9.2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не обязательно записанных по порядку)? Ответ. Существуют. Решение. Подойдут, например, числа от 90 до 107. У чисел от 90 до 99 будут суммы цифр от 9 до 18, а у чисел от 100 до 107 будут суммы цифр от 1 до 8.
9.3. При решении уравнения (𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑐)(𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 𝑐) = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – некоторые натуральные числа, причём 𝑎 > 𝑏, Катя обнаружила, что уравнение имеет четыре корня, и эти корни являются последовательными натуральными степенями тройки (например, 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 ). Найдите все простые числа, которые могут быть делителями числа 𝑎 − 𝑏. Ответ. 2 и 3. Решение. Пусть 3 𝑘 , 3 𝑘+1 , 3 𝑘+2 , 3 𝑘+3 – данные корни (𝑘 – натуральное). По теореме Виета для данных квадратных уравнений произведения корней одинаковы (и равны 𝑐). Значит, корнями одного уравнения являются числа 3 𝑘 , 3 𝑘+3 , другого – числа3 𝑘+1 , 3 𝑘+2 . Сумма корней первого уравнения равна 𝑎 = 3 𝑘 + 3 𝑘+3 = 28 ∙ 3 𝑘 , а для второго – равна 𝑏 = 3 𝑘+1 + 3 𝑘+2 = 12 ∙ 3 𝑘 . Значит, 𝑎 − 𝑏 = 16 ⋅ 3 𝑘 = 2 4 ⋅ 3 𝑘 . Так как 𝑘 – натуральное число, то делителями разности 𝑎 − 𝑏 будут простые числа 2 и 3 (и никакие другие).
9.4. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку 𝐴, пересекает отрезки 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑋 и 𝐴𝐶𝑌, касаются. Решение. Обозначим через 𝜔1 и 𝜔2 описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝑋 и 𝐴𝐶𝑌 соответственно. Проведём через точку 𝐴 прямую 𝑃𝑄, касающуюся 𝜔1 (см. рис). Тогда угол 𝑃𝐴𝑋 между касательной 𝑃𝑄 и хордой 𝐴𝑋 равен вписанному углу 𝐴𝐵𝑋, то есть углу 𝐴𝐵𝐷. Но вписанные углы 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷, опирающиеся на дугу 𝐴𝐷 в описанной окружности четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, равны. Значит, угол между прямой 𝑃𝑄 и хордой 𝐴𝑌 в окружности 𝜔2 равен углу 𝐴𝐶𝐷, то есть вписанному углу 𝐴𝐶Y, опирающемуся на эту хорду. Следовательно, прямая 𝑃𝑄 касается и окружности 𝜔2. Указанные в условии окружности имеют общую касательную, значит, они касаются.
9.5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 1, 2, 3, … , 10? Ответ. Нельзя. Решение. Рассмотрим 5 произведений 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎3𝑎4𝑎5𝑎6, 𝑎5𝑎6𝑎7𝑎8, 𝑎7𝑎8𝑎9𝑎10, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2. Если их перемножить, мы получим произведение, в котором каждое из чисел 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 участвует дважды, то есть равно (𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎10) 2 . Аналогично, оставшиеся 5 произведений при перемножении дадут (𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎10) 2 . Это означает, что 10 произведений можно разбить на две группы по 5 с одинаковым произведением. Но числа от 1 до 10 нельзя разбить на две группы по 5 чисел с одинаковым произведением, так как, например, среди них есть простое число 7, а никакое другое из них на 7 не делится.
Олимпиада по математике 10 класс
10.1. На доску выписывают последовательность цифр 121122111222111122221… Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по 1001001 включительно, считая слева? Ответ. 500501. Решение. Заметим, что сначала идет группа из 2 цифр (1 цифра «1» и 1 цифра «2»), потом группа из 4 цифр (2 цифры «1» и 2 цифры «2») и т.д. А всего в 𝑛 группах 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2 + ⋯ + 𝑛 ∙ 2 = 𝑛(𝑛 + 1) цифр, причём цифр «1» и «2» поровну. Так как 1001000 = 1000 ∙ 1001, то на первых 1001000 местах стоит 1001000: 2 = 500500 единиц. И на 1001001 месте слева стоит цифра «1». Значит, на требуемых позициях всего будет записана 500501 единица.
10.2. На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время, начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса, измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 9 км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти скорости были постоянными. Ответ. 9 км/ч и 21 км/ч.
10.3. При некотором значении параметра q уравнение (𝑥 2 + 14𝑥 + 𝑞)(𝑥 2 + 14𝑥 + 𝑞 + 18) = 0 имеет четыре различных корня, и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Ответ. – 11,5 или – 2,5. Решение. Пусть 𝑎, 𝑎 + 𝑑, 𝑎 + 2𝑑, 𝑎 + 3𝑑 – данные четыре корня, образующие арифметическую прогрессию. По теореме Виета сумма корней в каждом уравнении равна −14. Поэтому эти четыре корны должны быть разбиты на две пары с одинаковой суммой. Значит, одна пара – это 𝑎 и 𝑎 + 3𝑑, вторая – это 𝑎 + 𝑑 и 𝑎 + 2𝑑. По теореме Виета произведения корней уравнений равны 𝑞 и 𝑞 + 18. Тогда разность этих произведений равна (𝑎 + 𝑑)(𝑎 + 2𝑑) −a(𝑎 + 3𝑑) = 2𝑑 2 . Откуда 2𝑑 2 = (𝑞 + 18) − 𝑞 = 18 и 𝑑 = ±3. Тогда из равенства 2𝑎 + 3𝑑 = −14 при 𝑑 = 3 получаем 𝑎 = −11,5, а при 𝑑 = −3 получаем 𝑎 = −2,5.
10.4. Выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Известно, что 𝐴𝐵 = 20, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 50 и 𝐴𝐷 = 100. Известно, что сумма углов 𝐴 и 𝐷 этого четырёхугольника меньше 180°. Чему может равняться эта сумма? Ответ: 90°. Решение. Поскольку сумма углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐴𝐷𝐶 меньше 180°, то лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в некоторой точке 𝑃 (см. рис.). Обозначим 𝑃𝐵 = 𝑥, 𝑃𝐶 =y. Поскольку 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан, то треугольники 𝑃𝐴𝐷 и 𝑃𝐶𝐵 подобны, а раз 𝐴𝐷:𝐵𝐶 = 100: 50 = 2, получаем, что 2𝑥 = 𝑦 + 50 и 2𝑦 = 𝑥 + 20, откуда 𝑥 = 40 и 𝑦 = 30. Таким образом, стороны треугольника 𝑃𝐵𝐶 равны 30, 40, 50, значит, он прямоугольный, откуда и заключаем, что ∠𝑃𝐴𝐷 + ∠ 𝑃𝐷𝐴 = 90°.
10.5. Артём задумал действительные числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎15. После чего он в некотором порядке выписал какие-то из произведений (возможно, все) 𝑎1𝑎2𝑎3, 𝑎2𝑎3𝑎4, … , 𝑎13𝑎14𝑎15, 𝑎14𝑎15𝑎1, 𝑎15𝑎1𝑎2. Получился ряд из нечётных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, … , 2𝑘 + 1. Какое наибольшее 𝑘 могло у него получиться? Ответ. 𝑘 = 12.
Олимпиада по математике 11 класс
11.1. Среди 18 человек 9 лжецов (они всегда лгут) и 9 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 9 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 9 из них ответили «да», а 9 ответили «нет»? Ответ. Не может. Решение. Пусть сначала ни у кого не было открытки, тогда мы получим 9 ответов «да» и 9 ответов «нет». Будем давать по очереди 9 людям открытки. При выдаче открытки любой человек (лжец или рыцарь) изменит свой ответ на противоположный. То есть произойдет 9 смен ответов. Но так как и после выдачи открыток оказалось 9 ответов «да» и 9 ответов «нет», то количество смен ответов должно быть чётным. Противоречие.
11.2. Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6. Решение. Среднее арифметическое трёх различных чисел больше наименьшего из них и меньше наибольшего из них. Значит, оно должно равняться среднему из чисел (они – три последовательных простых числа). Тогда эти числа образуют арифметическую прогрессию. Если разность этой прогрессии не делится на 3, то одно из чисел будет делиться на 3. Противоречие. Значит, разность прогрессии делится на 3. Она также делится на 2, так как все эти числа – нечётные.
11.3. Петя вырезал из картона 21 треугольник, у каждого из которых одна из сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники так, что их вершины совпали, а основания образовали 21-звенную пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех треугольников не меньше 872. Решение. По неравенству треугольника имеем: если у треугольника стороны – целочисленные и одна из них равна 2, то разность между двумя другими сторонами не больше 1. Пусть А и Б – те треугольники, у которых боковая сторона равна 25. Тогда вторые боковые стороны треугольников А и Б не меньше 24. У треугольников В и Г, соседних с А и Б, вторые боковые стороны тогда не меньше 23. Двигаясь далее в разные стороны от треугольников А и Б, мы будем получать треугольники, у которых вторые боковые стороны не меньше 22, 21, … 15. То есть суммарный периметр всех треугольников не меньше 2 ∙ (2 + 25 + 24) + 2 ∙ (2 + 24 + 23) + … + 2 ∙ (2 + 16 + 15) + (2 + 15 + 15) (цепочки сходятся на треугольнике со сторонами 2, 15, 15). Эта сумма равна 872.
11.4. На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 20- угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок считает сумму 𝑆1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму 𝑆2 – сумму модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом второго игрока. Если 𝑆1 > 𝑆2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре? Ответ: Второй.