Все задания №8 и задание №12 производные из нового сборника Ященко И.В 36 тренировочных вариантов ЕГЭ 2025 по математике 11 класс с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник).
Производной функции y = f ( x ) в данной точке х 0 называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Задание 8 профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной. В 12 задании ЕГЭ нас просят найти один из следующих вариантов: Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции Точку максимума Точку минимума
8 задание из сборника Ященко ЕГЭ 2025 профиль
zadanie_8_profil_mat_11_klass_ege_20251. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−22; 2). Найдите количество точек минимума функции 𝑓 (𝑥), принадлежащих отрезку [−18; 1].
2. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−5; 12). Найдите количество точек минимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−4; 9].
3. Прямая 𝑦 = 7𝑥 + 11 параллельна касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 6. Найдите абсциссу точки касания.
4. Прямая 𝑦 = 9𝑥 − 5 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 2 + 7𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑐.
5. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённый на интервале (−8; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) отрицательна.
6. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённый на интервале (−1; 10). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) отрицательна.
7. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥). Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку [−8; 1], в которой касательная к графику 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥). Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку [−4; 2], в которой касательная к графику 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
9. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 7). Определите количество точек, в которых производная Функции 𝑓(𝑥) равна 0.
10. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−5; 9). Найдите количество решений уравнения 𝑓 ′ (𝑥) = 0 на отрезке [4; 9].
11. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
12. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−7; 5). Найдите промежутки убывания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
13. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечено девять точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции 𝑓(𝑥) ?
14. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечено девять точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции 𝑓(𝑥) ?
15. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−8; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = −2𝑥 − 14 или совпадает с ней.
16. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 3𝑥+1 или совпадает с ней.
17. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 10). В какой точке отрезка [4; 9] функция 𝑓(𝑥) принимает наибольшее значение?
18. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 11). В какой точке отрезка [−1; 5] функции 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение?
19. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 2 + 7𝑡 + 13 где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 25 м/с?
20. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = −𝑡 3 + 6𝑡 + 10, где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
21. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 20). Найдите количество точек экстремума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [1; 15].
22. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−19; 2). Найдите количество точек максимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−14; 0].
23. На рисунке изображён трафик функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечено шесть точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓(𝑥) положительна.
24. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥3, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓(𝑥) отрицательна.
25. Прямая 𝑦 = 5𝑥 − 8 является касательной к графику функции 𝑦 = 6𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 16. Найдите 𝑏, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
26. Прямая 𝑦 = 5𝑥 − 9 является касательной к графику функции 𝑦 = 20𝑥 2 − 15𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑐.
27. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−1; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = −2.
28. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−11; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = −4.
29. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−7; 7). Найдите сумму точек экстремума функции 𝑓(𝑥).
30. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−9; 5). Найдите сумму точек экстремума функции 𝑓(𝑥).
31. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1,2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
32. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1,4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответы для 8 задания
1. 3
2. 2
3. −0, 5
4. −4
5. 4
6. 2
7. −7
8. −1
9. 6
10. 3
11. −7
12. −13
13. 6
14. 7
15. 7
16. −6
17. 9
18. 5
19. 9
20. 1
21. 5
22. 1
23. 2
24. 8
25. −19
26. −4
27. 9
28. 7
29. −1
30. −18
31. −1
32. 4
33. 4
34. 39
35. 2
36. 4
12 задание математика Ященко И.В ЕГЭ 2025 профиль
zadanie_12_profil_mat_11_klass_ege_20251. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 + 13)2 𝑒 6−𝑥 .
2. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 + 15)2 𝑒 −13−𝑥 на отрезке [−14; −12].
3. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = ln(5𝑥) − 5𝑥 − 5 на отрезке [0,1; 0,5].
4. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 5𝑥 − ln(𝑥 + 4)5 + 9.
5. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 4𝑥 3 2 − 15𝑥 + 3.
6. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 3𝑥 − 1 − 4𝑥 √ 𝑥 на отрезке [0; 8,25].
9. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (2𝑥 − 3) cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 17, принадлежащему промежутку (︀ 0; 𝜋 2 )︀ .
10. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 3 − 3𝜋 + 12𝑥 − 12√ 2 sin 𝑥 на отрезке [︀ 0; 𝜋 2 ]︀ .
11. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 2 − 10𝑥 + 10) 𝑒 2−𝑥 на отрезке [−1; 7].
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 − 14)2 𝑒 26−𝑥 .
13. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 + 4)2 (𝑥 + 3) − 6 на отрезке [−5; −3,5].
14. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 + 9)2 (𝑥 + 3) + 7.
15. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 √ 𝑥 − 9𝑥 + 23 на отрезке [1; 36].
20. Найдите точку максимума Функции 𝑦 = 1,5𝑥 2 − 27𝑥 + 54 ln 𝑥 − 7.
21. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 √ 𝑥 − 27𝑥 + 6 на отрезке [1; 422].
23. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = ln(𝑥 + 18)12 − 12𝑥 на отрезке [−17,5; 0].
24. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 10𝑥 − ln(𝑥 + 11) + 3.
25. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 3 + 18𝑥 2 + 81𝑥 + 56 на отрезке [−7; 0].
26. Найдите точку максимума функции 𝑦 = 𝑥 3 + 5,5𝑥 2 − 42𝑥 + 18.
Ответы для 12 задания Ященко
1. −13
2. 4
3. −6
4. −3
5. 6,25
6. −0,75
7. −1
8. −7
9. 1,5
10. −9
11. −6
12. 16
13. −6
14. −5
15. −85
16. 12,25
17. −2
18. 0,5
19. −6
20. 3
21. −2910
22. 12,25
23. 204
24. −10,9
25. −52
26. −6
27. 0,5
28. 17
29. 9
30. −23,25
31. 6,75
32. 6,25
33. 77
34. 37
35. 208
36. 5
2 задание векторы Ященко И.В. ЕГЭ 2025 математика 11 класс профиль
Задание 2 векторы Ященко И.В. ЕГЭ 2025 математика 11 класс профиль задачи с ответами