Автор 4 тренировочных варианта ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением 1 и 2 части для подготовки к экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 года. Задания взяты из открытого банка заданий ФИПИ и экзаменов прошлых лет от профиматики от 6 апреля.
Задания и ответы для 1 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐴𝐵 = 5, sin 𝐴 = 7 25 . Найдите 𝐴𝐶.
3. Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.
4. При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
5. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
6. Найдите корень уравнения √15 − 2𝑥 = 3.
7. Найдите значение выражения (︀√ 13 − √ 7 )︀ (︀√ 13 + √ 7 )︀ .
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓 (𝑥) отрицательна.
9. Некоторая компания продает свою продукцию по цене 𝑝 = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют 𝑣 = 300 руб., постоянные расходы предприятия 𝑓 = 700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле 𝜋(𝑞) = 𝑞(𝑝 − 𝑣) − 𝑓. Определите месячный объём производства 𝑞 (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300000 руб.
10. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑓 (−5).
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = 𝑥3 − 48𝑥 + 17.
13. а) Решите уравнение 4 cos4 𝑥 − 4 cos2 𝑥 + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2𝜋; −𝜋].
16. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной платеж. Валерий выплатил кредит за два платежа, переводя в первый раз 660 тыс рублей, во второй — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?
19. Коля умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное 𝑚. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное 𝑛. а) Может ли модуль разности чисел 𝑚 и 𝑛 равняться 6? б) Может ли модуль разности чисел 𝑚 и 𝑛 равняться 13?
Задания и ответы для 2 варианта
1. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
4. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?
5. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
6. Решите уравнение 𝑥 2 − 17𝑥 + 72 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0.
10. Заказ на изготовление 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 − 8) 𝑒𝑥−7 на отрезке [6; 8].
13. а) Решите уравнение sin 𝑥 + (︁ cos 𝑥 2 − sin 𝑥 2 )︁ (︁cos 𝑥 2 + sin 𝑥 2 )︁ = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
16. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
19. а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
Задания и ответы для 3 варианта
1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 4. 𝐷𝐸 — средняя линия. Найдите площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объём параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
4. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
5. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
6. Найдите корень уравнения (2𝑥 + 7)2 = (2𝑥 − 1)2 .
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции 𝑓 (𝑥). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону 𝜙 = 𝜔𝑡 + 𝛽𝑡2 2 , где 𝑡 — время в минутах, 𝜔 = 20∘/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а 𝛽 = 4∘ мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки 𝜙 достигнет 1200∘ . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.
10. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓 (𝑥) = 29.
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = ln (𝑥 + 5)5 − 5𝑥 на отрезке [−4,5; 0].
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. руб.; – выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб.; – к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.
19. Красный карандаш стоит 18 рублей, синий – 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть. а) Можно ли купить 30 карандашей? б) Можно ли купить 33 карандаша?
Задания и ответы для 4 варианта
1. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а её площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.
4. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
5. В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
6. Найдите корень уравнения log5 (𝑥 2 + 2𝑥) = log5 (𝑥 2 + 10).
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] функция 𝑓 (𝑥) принимает наименьшее значение?
9. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна 𝐼 = 𝜀 𝑅+𝑟 , где 𝜀 — ЭДС источника (в вольтах), 𝑟 = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, 𝑅 — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания 𝐼кз = 𝜀 𝑟 ? Ответ дайте в омах.
10. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑏 + log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓 (𝑥) = 1.
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 10𝑥 + 10) 𝑒 5−𝑥 .
16. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» – увеличивает на 11% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
19. Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму 𝑆. а) Может ли быть 𝑆 = 41 11 24 ? б) Может ли быть 𝑆 = 569 29 72 ?
Варианты с досрочного ЕГЭ 2025 по математике профиль 11 класс
Варианты с досрочного ЕГЭ 2025 по математике профиль 11 класс задания и ответы