Автор Варианты заданий, ответы и решения для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса 46-го турнира имени Ломоносова по математике 2023-2024 учебный год, дата проведения турнира в онлайне на официальном сайте: 1.10.2023 (1 октября 2023 год).
Ответы и решения отборочного этапа
Ответы и решения финального этапа
Задания по математике 46 турнира Ломоносова 2023
mat-tur-lom-2023Решения и ответы для олимпиады
mat-tur-lom-2023-otvetiЗаключительный этап турлом по математике
tl46-final-math1 (6; ответ). Саша написал на доске несколько двузначных чисел в порядке возрастания, а после этого заменил одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные цифры — на разные буквы. У него получилось (в том же порядке) АС, АР, ЯР, ЯК, ОК, ОМ, УМ, УЖ, ИЖ, ИА Восстановите цифры.
2 (6–7; ответ). На площади стояло несколько человек, каждый лицом к одному из 4 объектов, расположенных как на рисунке. Каждый человек записал, какой объект находится перед ним, какой — слева, а какой — справа. В итоге «дом» было написано 5 раз, «фонтан» — 6 раз, «скамейка» — 7 раз, «дерево» — 9 раз. Сколько человек стояло на площади, и сколько из них стояло лицом к каждому из объектов?
3 (6–8; ответ).Фигуру снизу можно разделить на трёх «дикобразов» (возможно, повёрнутых или перевёрнутых), изображённых на рисунке сверху. Отметьте дольки, в которых окажутся глаза этих дикобразов.
4 (7–9; ответ). Назовём натуральное число 𝑛 интересным, если 𝑛 и 𝑛 + 2023 — палиндромы, то есть числа, одинаково читающееся слева направо и справа налево. Найдите наименьшее и наибольшее интересные числа.
5 (8–10; ответ). Город 𝑁 представляет собой клетчатый квадрат 9×9. За 10 минут Таня может перейти из любой клетки в соседнюю по стороне. Ваня может открыть в любых двух клетках по станции метро — после этого можно будет перемещаться из одной такой клетки в другую за 10 минут. Отметьте две клетки, в которых Ване нужно открыть метро, чтобы Таня могла добраться из любой клетки города в любую другую за 2 часа.
6 (9–11; ответ). Рассмотрим различные прямоугольники периметра 10, лежащие внутри квадрата со стороной 10. Чему равна наибольшая возможная площадь закрашенной звёздочки (см. рисунок)? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
7 (10–11; решение). Существует ли число, которое может быть представлено в виде 1 𝑛 + 1 𝑚 , где 𝑚 и 𝑛 натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.
8 (11; ответ). У Карабаса–Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого 12-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу–Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас–Барабас актёрам?
Критерии проверки работы
Задача 1 (буквы и цифры)
• верный ответ (А = 5, Ж = 4, И = 9, К = 2, М = 3, О = 7, Р = 1, С = 0, У = 8, Я = 6) — 1 балл;
• иное — 0 баллов.
Задача 2 (дом, дерево, фонтан, скамейка)
• верный ответ (всего 9 человек, лицом к дому 3, к фонтану — 4, к скамейке — 0, к дереву — 2 — 1 балл;
• верно посчитано, что всего 9 человек, среди остальных ответов есть неверные — 0.5 балла;
• иное — 0 баллов.
Задача 3 (дикобразы)
• все три точки указаны верно — 1 балл;
• иное — 0 баллов.
Задача 4 (палиндромы)
• оба числа (969 и 8778) указаны верно и в правильном порядке — 1 балл;
• указано только 969 как наименьшее или только 8778 как наибольшее, второе число отсутствует или неверно — 0.5 балла;
• иное — 0 баллов.
Задача 5 (телепорты)
• верный ответ — 1 балл;
• иное — 0 баллов.
Задача 6 (звёздочка)
• верный ответ 35.36 или число из промежутка [35.3; 35.4] — 1 балл;
• иное — 0 баллов.
Задача 7 (сумма дробей) Максимум за задачу — 2 балла.
• в решении пары (n, m) и (m, n) считаются различными — не влияет на оценку;
• только ответ «да, существует» или «нет, не существует» без доказательства — 0 баллов;
• приведено число, но не доказано, что его можно представить в нужном виде 100 способами — 0 баллов;
• в решении написано, что подходящее число найдено с помощью программы, но не приведён её код или не приведены
100 подходящих пар m и n — 0 баллов.
Задача 8 (Карабас)
• верный ответ 24 — 1 балл;
• иное — 0 баллов.