Тренировочные варианты ЕГЭ 2024 задания и ответы

4 мая Пробник ЕГЭ 2024 профиль по математике 11 класс 3 варианта с ответами ФИПИ

Автор

Тренировочные варианты ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профильный уровень 3 КИМа заданий с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 31 мая 2024 года. Каждый вариант соответствует формату экзамену ФИПИ. Задания взяты из открытого банка заданий ОБЗ ФИПИ.

32 вариант с ответами

33 вариант с ответами

34 вариант с ответами

Работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Задания и ответы с 1 варианта

variant32-ege2024-profil-mat11klass

Видео решение варианта

Задание 1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, высота 𝐶𝐻 равна 19,2, cos𝐴 = 7 25 . Найдите 𝐴𝐶.

Ответ: 20

Задание 2. Даны векторы 𝑎⃗ (2,2; −4) и 𝑏⃗⃗ (−1,25; −1). Найдите скалярное произведение векторов 3𝑎⃗ и 4𝑏⃗.

Ответ: 15

Задание 3. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ: 72

Задание 4. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Ответ: 0,125

Задание 5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Ответ: 0,6

Задание 8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−11; 6). Найдите количество точек минимума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−6; 4].

Ответ: 1

Задание 9. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: 𝑇(𝑡) = 𝑇0 + 𝑏𝑡 + 𝑎𝑡 2 , где 𝑡 − время (в мин.), 𝑇0 = 680 К, 𝑎 = −16 К мин2 , 𝑏 = 224К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Ответ: 5

Задание 10. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Ответ: 30

Задание 11. На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.

Ответ: 4

Задание 12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 25𝑥 − 25 tg 𝑥 + 41 на отрезке [0; 𝜋 4 ].

Ответ: 41

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна боковому ребру 𝑆𝐴. Медианы треугольника 𝑆𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑀. а) Докажите, что 𝐴𝑀 = 𝐴𝐷. б) Точка 𝑁 − середина 𝐴𝑀. Найдите 𝑆𝑁, если 𝐴𝐷 = 6.

Ответ: корень из 15

Задание 16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен. Чему равна сумма всех выплат?

Ответ: 1440 тыс.

Задание 17. Точка 𝑂 − центр вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶 окружности. Прямая 𝐵𝑂 вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке 𝑃. а) Докажите, что ∠𝑃𝑂𝐶 = ∠𝑃𝐶𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝑃𝐶, если радиус описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶 окружности равен 8, а ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°.

Ответ: 16 корень из 3.

Задание 19. У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых – целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче 𝑛1 камней, во второй – 𝑛2 камней, в третьей – 𝑛3 камней, причём 𝑛1 < 𝑛2 < 𝑛3 . Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна 𝑆1 , во второй – 𝑆2 , а в третьей – 𝑆3 . а) Может ли выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3? б) Может ли выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3 , если масса любого камня не превосходит 105 граммов? в) Известно, что масса любого камня не превосходит 𝑘 граммов. Найдите наименьшее целое значение 𝑘, для которого может выполняться неравенство 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3 .

Ответ: а- да, б-нет, в-122.

Задания и ответы с 2 варианта

variant33-ege2024-profil-mat11klass

Видео решение варианта

1. Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите угол между биссектрисой 𝐶𝐷 и высотой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите косинус угла между векторами 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗.

3. Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.

4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

6. Найдите корень уравнения √6 + 5𝑥 = 𝑥. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) производной функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−2; 9). В какой точке отрезка [2; 8] функция 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение?

9. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 𝑓0 = 192 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка 𝑓 (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза 𝜈 (в м/с) по закону 𝑓(𝜈) = 𝑓0 1− 𝜈 𝑐 (Гц), где 𝑐 — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а 𝑐 = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.

10. Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐 − целые. Найдите значение 𝑓(−12).

12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 − 4) 2 (𝑥 + 5) + 8.

13. а) Решите уравнение 𝑥 − 3√𝑥 − 1 + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3; √20].

14. Различные точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 лежат на окружности основания конуса с вершиной 𝑆 так, что отрезок 𝐴𝐵 является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. а) Докажите, что cos∠𝐴𝑆𝐶 + cos∠𝐵𝑆𝐶 = 1,5. б) Найдите объём тетраэдра 𝑆𝐴𝐵𝐶, если 𝑆𝐶 = 1, cos∠𝐴𝑆𝐶 = 2 3 .

15. Решите неравенство (log0,25 2 (𝑥 + 3) − log4 (𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 1) ∙ log4 (𝑥 + 2) ≤ 0.

16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2030 года долг должен составить 800 тыс. рублей; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.

17. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐷 прямой. Окружность, построенная на большем основании 𝐴𝐷 как на диаметре, пересекает меньшее основание 𝐵𝐶 в точках 𝐶 и 𝑀. а) Докажите, что ∠𝐵𝐴𝑀 = ∠𝐶𝐴𝐷. б) Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Найдите площадь треугольника 𝐴𝑂𝐵, если 𝐴𝐵 = 6, а 𝐵𝐶 = 4𝐵𝑀.

18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 + (2 − 𝑎) 2 = |𝑥 − 2 + 𝑎| + |𝑥 − 𝑎 + 2| имеет единственный корень.

19. Квадратное уравнение 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет два различных натуральных корня. а) Пусть 𝑞 = 34. Найдите все возможные значения 𝑝. б) Пусть 𝑝 + 𝑞 = 22. Найдите все возможные значения 𝑞. в) Пусть 𝑞 2 − 𝑝 2 = 2812. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Задания и ответы с 3 варианта

variant34-ege2024-profil-mat11klass

Видео решение варианта

1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 равна 3√2, угол 𝐶 равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

2. Даны векторы 𝑎⃗ (2; −5), 𝑏⃗⃗ (6; 3) и 𝑐⃗ (4; 7). Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 𝑏⃗− 𝑐⃗.

3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,81. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 19.

5. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

7. Найдите значение выражения 4 log1,25 5 ∙ log5 0,8.

8. На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .

9. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 𝑓 = 20 см. Расстояние 𝑑1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние 𝑑2 от линзы до экрана – в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1 𝑑1 + 1 𝑑2 = 1 𝑓 . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

10. Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй – 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 . Найдите значение 𝑓(10).

12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 2 − 39𝑥 + 39) ∙ 𝑒 2−𝑥 на отрезке [0; 6].

13. а) Решите уравнение 4cos3𝑥 − 2√3 cos 2𝑥 + 3 cos 𝑥 = 2√3. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

14. Точка 𝐸 лежит на высоте 𝑆𝑂, а точка 𝐹 − на боковом ребре 𝑆𝐶 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, причём 𝑆𝐸: 𝐸𝑂 = 𝑆𝐹: 𝐹𝐶 = 2: 1. а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐸𝐹 пересекает ребро 𝑆𝐷 в его середине. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью 𝐵𝐸𝐹, если 𝐴𝐵 = 8, 𝑆𝑂 = 14.

15. Решите неравенство 𝑥 2 log625(6 − 𝑥) ≤ log5 (𝑥 2 − 12𝑥 + 36).

16. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число 𝑛 млн рублей в первый и второй годы, а также целое число 𝑚 млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшее значение 𝑛, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение 𝑚, такое, что при найденном ранее значении 𝑛 первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

17. К окружности, вписанной в квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, проведена касательная, пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника 𝐴𝑀𝑁 равен стороне квадрата. б) Прямая 𝑀𝑁 пересекает прямую 𝐶𝐷 в точке 𝑃. В каком отношении делит сторону 𝐵𝐶 прямая, проходящая через точку 𝑃 и центр окружности, если 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 1: 3?

19. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах. а) Приведите пример последовательных 5 ходов. б) Можно ли сделать 10 ходов? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Правильное выполнение каждого из заданий 1–12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если ответ записан в той форме, которая указана в инструкции по выполнению задания, и полностью совпадает с эталоном ответа.

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках, входящих в федеральный перечень учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Другие тренировочные варианты ЕГЭ 2024 по математике

Открытый вариант ЕГЭ 2024 по математике 11 класс база и профиль ФИПИ с ответами и решением

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ