Автор Пробник ЕГЭ 2024 по математике 11 класс профильный уровень. 4 тренировочных варианта формата реального экзамена ЕГЭ 2024 год ФИПИ. Задания взяты из открытого банка заданий ФИПИ для подготовки на 100 баллов.
→ Скачать 13 вариант с ответами
→ Скачать 14 вариант с ответами
→ Скачать 15 вариант с ответами
→ Скачать 16 вариант с ответами
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
Решать 13 тренировочный вариант ЕГЭ 2024 по математике
Variant_13_EGE_profil_s_otvetami_mat14 вариант
Variant_14_EGE_profil_s_otvetami_mat15 вариант
variant_15_EGE_profil_s_otvetami_mat16 вариант
variant_16_EGE_profil_s_otvetami_matВидео решение 13 варианта
Видео решение 14 варианта
Видео решение 15 варианта
Видео решение 16 варианта
Задания и ответы с 13 варианта
1. Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Ответ: 2
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ и 𝑐⃗. Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
Ответ: 5
3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2 3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Ответ: 342
4. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры.
Ответ: 0,125
5. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ: 0,27
6. Найдите корень уравнения log5 (5 − 𝑥) = 2 log5 3.
Ответ: -4
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝐹(𝑥) одной из первообразных некоторой функции 𝑓(𝑥) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 , 𝑥8 . В скольких из этих точек функция 𝑓(𝑥) отрицательна?
Ответ: 3
9. К источнику с ЭДС 𝜀 = 115 В и внутренним сопротивлением 𝑟 = 0,6 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением 𝑅 Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой 𝑈 = 𝜀𝑅 𝑅+𝑟 . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 100 В? Ответ выразите в омах.
Ответ: 4
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 775 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 61 час. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 3
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
Ответ: 16
14. Точка 𝑀 − середина ребра 𝐴𝐴1 треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 , в основании которой лежит треугольник 𝐴𝐵𝐶. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝐵 и 𝐵1 перпендикулярно прямой 𝐶1𝑀. а) Докажите, что одна из диагоналей грани 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 равна одному из рёбер этой грани. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝛼, если плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐶 в отношении 1:3, считая от вершины 𝐴, 𝐴𝐶 = 10, 𝐴𝐴1 = 12.
Ответ: 6
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Ответ: 200 тыс.
17. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 60°. Высоты 𝐵𝑁 и 𝐶𝑀 треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. Точка 𝑂 − центр окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что 𝐴𝐻 = 𝐴𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐻𝑂, если 𝐵𝐶 = 6√3, ∠𝐴𝐵𝐶 = 45°.
Ответ: 9
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение |2𝑥 2 + 3𝑥 − 2| = 8𝑥 − 2𝑥 2 − 𝑎 либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
19. а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786. б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791? в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Задания и ответы с 14 варианта
1. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 30,25
2. Даны векторы 𝑎⃗ (2; −5) и 𝑏⃗⃗ (5; 7). Найдите скалярное произведение векторов 0,6𝑎⃗ и 1,4𝑏⃗⃗.
Ответ: -21
3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐹1 , 𝐴 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.
Ответ: 10
4. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.
Ответ: 0,12
5. В городе 46% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 7,7% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Ответ: 0,05
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 13). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 14.
Ответ: 6
10. Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 180 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Ответ: 10
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите значение 𝑓(−3).
Ответ: 20
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 − 5) 2 ∙ 𝑒 𝑥−7 .
Ответ: 3
14. На ребре 𝐴𝐴1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 взята точка 𝐸 так, что 𝐴1𝐸: 𝐸𝐴 = 1: 2, на ребре 𝐵𝐵1 − точка 𝐹 так, что 𝐵1𝐹: 𝐹𝐵 = 1: 5, а точка 𝑇 − середина ребра 𝐵1𝐶1 . Известно, что 𝐴𝐵 = 2, 𝐴𝐷 = 6, 𝐴𝐴1 = 6. а) Докажите, что плоскость 𝐸𝐹𝑇 проходит через вершину 𝐷1 . б) Найдите угол между плоскостью 𝐸𝐹𝑇 и плоскостью 𝐴𝐴1𝐵1 .
16. Матвей хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Матвей может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тысяч рублей?
Ответ: 7 лет
17. Дан прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. На катете 𝐴𝐶 взята точка 𝑀. Окружность с центром 𝑂 и диаметром 𝐶𝑀 касается гипотенузы в точке 𝑁. а) Докажите, что прямые 𝑀𝑁 и 𝐵𝑂 параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника 𝐵𝑂𝑀𝑁, если 𝐶𝑁 = 4 и 𝐴𝑀: 𝑀𝐶 = 1: 3.
Ответ: 7
19. Целое число 𝑆 является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. а) Может ли 𝑆 равняться 8? б) Может ли 𝑆 равняться 1? в) Найдите все значения, которые может принимать 𝑆.
Ответ: а) да б) нет в) все целые, кроме ±1
Задания и ответы с 15 варианта
1. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите cos 𝛼, где 𝛼 − угол между векторами 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗.
3. Дано два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
4. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.
5. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
6. Решите уравнение √40 + 3𝑥 = 𝑥. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
7. Найдите значение выражения (649 ) 3 : (165 ) 8 .
8. На рисунке изображен график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−6; 5). В какой точке отрезка [−5; −1] функция 𝑓(𝑥) принимает наибольшее значение?
9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону 𝐻(𝑡) = 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝐻0 , где 𝐻0 = 3 м – начальный уровень воды, 𝑎 = 1 768 м/мин2 и 𝑏 = − 1 8 м мин − постоянные, 𝑡 − время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
10. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города B в город A велосипедист?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 . Найдите значение 𝑓(10).
13. а) Решите уравнение 8 𝑥 − 7 ∙ 4 𝑥 − 2 𝑥+4 + 112 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log2 5 ; log2 11].
14. В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 лежит параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷 с углом 60° при вершине 𝐴. На рёбрах 𝐴1𝐵1 , 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно так, что четырёхугольник 𝐴𝑀𝐾𝑁 − равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4. а) Докажите, что точка 𝑀 − середина ребра 𝐴1𝐵1 . б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 16 и известно, что точка 𝐾 делит ребро 𝐵1𝐶1 в отношении 𝐵1𝐾:𝐾𝐶1 = 1: 3.
15. Решите неравенство (5 − 2𝑥) ∙ log−𝑥 2+4𝑥−3 (𝑥 − 1) ≥ 0.
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере 𝑆 млн рублей, где 𝑆 − целое число. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение 𝑆, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на катете 𝐴𝐶, а точка 𝑁 лежит на продолжении катета 𝐵𝐶 за точку 𝐶, причём 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶 и 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶. Отрезки 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 − биссектрисы треугольников 𝐴𝐶𝐵 и 𝑁𝐶𝑀 соответственно. а) Докажите, что 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 перпендикулярны. б) Найдите 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 3, а 𝐴𝐶 = 5.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 + (𝑥 − 1) ∙ √2𝑥 − 𝑎 = 𝑥 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
19. Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй – 104, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй – 89, в третьей – 15? б) Могло ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Задания и ответы с 16 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 20, высота 𝐴𝐻 равна 8. Найдите синус угла 𝐵𝐴𝐶.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (6; −1), 𝑏⃗⃗ (−5; −2) и 𝑐⃗ (−3; 5). Найдите длину вектора 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 15, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐴1 = 21. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины 𝐵, 𝐵1 и 𝐷.
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до тысячных.
5. Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».
8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−3; 8). Найдите точку из отрезка [−2; 5], в которой производная функции 𝑓(𝑥) равна 0.
9. Наблюдатель находится на высоте ℎ (в км). Расстояние 𝑙 (в км) от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле 𝑙 = √2𝑅ℎ, где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 96 км? Ответ дайте в км.
10. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(4).
12. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 11 ∙ ln(𝑥 + 4) − 11𝑥 − 5 на отрезке [−3,5; 0].
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 все рёбра равны 8. На рёбрах 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1 отмечены точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, причём 𝐴𝑀 = 3, 𝐶𝑁 = 1. а) Докажите, что плоскость 𝑀𝑁𝐵1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны. б) Найдите объём тетраэдра 𝑀𝑁𝐵𝐵1 .
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем. Найдите наименьшую возможную ставку 𝑟, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.
19. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя). а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
6 вариантов пробного ЕГЭ 2024 профиль по математике 11 класс с ответами
6 вариантов пробного ЕГЭ 2024 профиль по математике 11 класс с ответами и решением