Автор Новые тренировочные варианты №4 и №5 решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора 100 баллов с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник). Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года из открытого банка задач.
Пробник ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
4 вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
Variant_4_EGE_profil_s_otvetami_mat-11-2025Разбор 4 варианта
Задание 1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶 = 6, tg 𝐴 = √5 2 . Найдите 𝐴𝐵.
Ответ: 9
Задание 2
Длины векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
Ответ: 7,5
Задание 3
В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 , все рёбра которой равны 3, найдите угол между прямыми 𝐶𝐷 и 𝐸1𝐹1 . Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Задание 4
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.
Ответ: 0,125
Задание 5
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
Ответ: 0,0009
Задание 7
Найдите 16 cos 2𝛼, если cos 𝛼 = 0,5.
Ответ: -8
Задание 8
На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 .
Ответ: 3
Задание 9
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 𝑚 = 𝑚0 ∙ 2 − 𝑡 𝑇, где 𝑚0 − начальная масса изотопа, 𝑡 − время, прошедшее от начального момента, 𝑇 − период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.
Ответ: 15
Задание 10
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Ответ: 18
Задание 11
На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
Ответ: 4
Задание 12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 8𝑥 + 4 на отрезке [1; 7].
Ответ: -8
Задание 13
а) Решите уравнение sin 2𝑥 + 2 cos (𝑥 − 𝜋 2 ) = √3 cos 𝑥 + √3. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Задание 14
Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1 , 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причём 𝐵1𝐾:𝐾𝐶1 = 1: 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 − равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что 𝑁 − середина 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объём призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а её высота равна 2.
Задание 16
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Какую сумму планируется взять в кредит, если известно, что платёж в 2029 году равен 417,6 тыс. рублей?
Задание 17
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 продолжения высоты 𝐶𝐶1 и биссектрисы 𝐵𝐵1 пересекают описанную окружность в точках 𝑁 и 𝑀 соответственно, ∠𝐴𝐵𝐶 = 40°, ∠𝐴𝐶𝐵 = 85°. а) Докажите, что 𝐵𝑀 = 𝐶𝑁. б) Прямые 𝐵𝐶 и 𝑀𝑁 пересекаются в точке 𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐵𝐷𝑁, если его высота 𝐵𝐻 равна 6.
Задание 18
Найдите все значения параметра 𝑎, для каждого из которых имеет хотя бы один корень уравнение sin14𝑥 + (𝑎 − 3 sin 𝑥) 7 + sin2𝑥 + 𝑎 = 3 sin 𝑥.
Задание 19
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100. а) Может ли быть записано число 250? б) Можно ли обойтись без числа 11? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
5 тренировочный вариант для 11 класса школа Пифагора
Variant_5_EGE_profil_s_otvetami_mat-11-2025Разбор 5 варианта
1. Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Ответ: 2
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 4𝑏⃗⃗.
Ответ: 11
3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 50
4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.
Ответ: 0,2
5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Ответ: 0,83
6. Найдите корень уравнения log2 (7 − 𝑥) = 5.
Ответ: -25
7. Найдите значение выражения log2 240 − log2 3,75.
Ответ: 6
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 1 2 𝑡 2 + 4𝑡 + 27, где 𝑥 – расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 − время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени 𝑡 = 2 с.
Ответ: 6
9. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями 𝑢 и 𝜈 (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала 𝑓 (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле 𝑓 = 𝑓0 ∙ 𝑐+𝑢 𝑐−𝜈 , где 𝑓0 = 170 Гц – частота исходного сигнала, 𝑐 − скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а 𝑢 = 2 м/с и 𝜈 = 17 м/с – скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости 𝑐 распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике 𝑓 будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.
Ответ: 340
10. Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки?
Ответ: 10
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 . Найдите значение 𝑓(10).
Ответ: 0,2
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (2𝑥 − 1) cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 5 принадлежащую промежутку (0; 𝜋 2)
Ответ: 0,5
13. а) Решите уравнение cos2𝑥 + sin 𝑥 = √2 sin (𝑥 + 𝜋 4 ). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 все рёбра равны 4. Точка 𝑀 − середина ребра 𝐴𝐴1 . а) Докажите, что прямые 𝑀𝐵 и 𝐵1𝐶 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми 𝑀𝐵 и 𝐵1𝐶.
15. Решите неравенство (𝑥 − 7) log𝑥+3 (𝑥 + 1) ∙ log3 (𝑥 + 3) 3 ≤ 0.
16. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 330 000 рублей, а во второй год – 121 000 рублей.
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 − середины катетов 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 соответственно, 𝐶𝐻 − высота. а) Докажите, что прямые 𝑀𝐻 и 𝑁𝐻 перпендикулярны. б) Пусть 𝑃 − точка пересечения прямых 𝐴𝐶 и 𝑁𝐻, а 𝑄 − точка пересечения прямых 𝐵𝐶 и 𝑀𝐻. Найдите площадь треугольника 𝑃𝑄𝑀, если 𝐴𝐻 = 12 и 𝐵𝐻 = 3.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение (2𝑥 − 𝑥 2 ) 2 − 4√2𝑥 − 𝑥 2 = 𝑎 2 − 4𝑎 имеет хотя бы один корень.
19. В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25% от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20% от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60% от общей массы всех контейнеров? в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?