Автор Новые тренировочные варианты 25, 26, 27, 28, 29 формата реального экзамена решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением для подготовки к экзамену, который пройдёт у 11 классов 26-27 мая 2025 из открытого банка заданий ФИПИ и экзаменов прошлых лет.
Вариант профильного уровня ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
Решать 25 вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
25_variant_mat-11klass-profil-ege-20251. Найдите угол 𝐴𝐶𝑂, если его сторона 𝐶𝐴 касается окружности, 𝑂 — центр окружности, сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точке 𝐵 (см. рис.), а дуга 𝐴𝐵 окружности, заключённая внутри этого угла равна 64∘ . Ответ дайте в градусах.
3. Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в три раза?
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓 (𝑥) отрицательна.
10. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
14. Радиус основания конуса с вершиной 𝑃 равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки 𝐴 и 𝐵, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3. а) Докажите, что угол ∠𝐴𝑃 𝐵 меньше 60 градусов. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью 𝐴𝐵𝑃.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита, если известно, что платеж в 2029 году составит 1027,2 тыс. рублей.
17. Около остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с различными сторонами описали окружность с диаметром 𝐵𝑁. Высота 𝐵𝐻 пересекает эту окружность в точке 𝐾. а) Докажите, что 𝐴𝑁 = 𝐶𝐾. б) Найдите 𝐾𝑁, если ∠𝐵𝐴𝐶 = 35∘ , ∠𝐴𝐶𝐵 = 65∘ , а радиус окружности равен 12.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑎 2 − 4𝑥 2 + 8|𝑥| − 4 = 0 имеет ровно два различных решения.
19. По кругу расставлено 𝑁 различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна. а) Может ли N быть равным 280? б) Может ли N быть равным 149? в) Найдите наибольшее значение 𝑁.
Ответы:
26 тренировочный вариант ЕГЭ 2025
1. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен √ 3.
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
4. Из множества натуральных чисел от 58 до 82 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 6?
5. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
9. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне 𝑇п = 25∘C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды 𝑚 = 0,5 кг/с. Проходя по трубе расстояние 𝑥, вода охлаждается от начальной температуры 𝑇в = 85∘C до температуры 𝑇, причём 𝑥 = 𝛼 𝑐𝑚 𝛾 log2 𝑇в−𝑇п 𝑇 −𝑇п , где 𝑐 = 4200 Вт·с кг· ∘C — теплоёмкость воды, 𝛾 = 21 Вт м· ∘C — коэффициент теплообмена, а 𝛼 = 1,4 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 140 м.
10. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶, а на окружности другого основания — точка 𝐶1, причём 𝐶𝐶1 — образующая цилиндра, а 𝐴𝐶 — диаметр основания. Известно,что ∠𝐴𝐶𝐵 = 30∘ , 𝐴𝐵 = √ 2, 𝐶𝐶1 = 2. а) Докажите, что угол между прямыми 𝐴𝐶1 и 𝐵𝐶 равен 45∘ . б) Найдите объём цилиндра.
15. Решите неравенство (25𝑥 − 4 · 5 𝑥 ) 2 + 8 · 5 𝑥 < 2 · 25𝑥 + 15.
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?
17. Биссектриса 𝐴𝑀 острого угла 𝐴 равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит боковую сторону 𝐶𝐷 пополам. Отрезок 𝐷𝑁 перпендикулярен отрезку 𝐴𝑀 и делит сторону 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑁 : 𝑁𝐵 = 7 : 1. а) Докажите, что прямые 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка 𝑀𝑁, если площадь трапеции равна 4 √ 55.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение |𝑥 2 + 𝑎 2 − 6𝑥 − 4𝑎| = 2𝑥 + 2𝑎 имеет ровно 4 различных решения.
19. С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 201? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 251? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?
Ответы:
27 тренировочный вариант профиль ЕГЭ 2025
1. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
3. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами 𝐵2 и 𝐷3.
4. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Логарифмы».
5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что исправен ровно один из автоматов.
8. Прямая 𝑦 = 2𝑥 + 37 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 3+3𝑥 2−7𝑥+10. Найдите абсциссу точки касания.
10. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?
14. В конусе с вершиной 𝑆 и центром основания 𝑂 радиус основания равен 13, а высота равна 3 √ 41. Точки 𝐴 и 𝐵 — концы образующих, 𝑀 — середина 𝑆𝐴, 𝑁 — точка в плоскости основания такая, что прямая 𝑀𝑁 параллельна прямой 𝑆𝐵. а) Докажите что 𝐴𝑁𝑂 — прямой угол. б) Найдите угол между 𝑀𝐵 и плоскостью основания, если дополнительно известно, что 𝐴𝐵 = 10.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?
19. Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр. а) Может ли получившееся частное быть равным 5? 6) Может ли получившееся частное быть равным 1? в) Какое наименьшее значение может принимать это частное?
28 вариант
28_variant_mat-11klass-profil-ege-20251. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 30∘ , угол 𝐵 равен 86∘ , 𝐶𝐷 — биссектриса внешнего угла при вершине 𝐶, причем точка 𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐵. На продолжении стороны 𝐴𝐶 за точку 𝐶 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐶𝐸 = 𝐶𝐵. Найдите угол 𝐵𝐷𝐸. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображённого на рисунке и составленного из единичных кубов.
4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 155 качественных сумок приходится 15 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами. Результат округлите до сотых.
5. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−3; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓 (𝑥) отрицательна.
9. Двигаясь со скоростью 𝑣 = 3 м/с, трактор тащит сани с силой 𝐹 = 50 кН, направленной под острым углом 𝛼 к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле 𝑁 = 𝐹 𝑣 cos 𝛼. Найдите, при каком угле 𝛼 (в градусах) эта мощность будет равна 75 кВт (кВт — это кН·м с ).
10. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
14. Дана правильная треугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶, сторона основания 𝐴𝐵 = 16, высота 𝑆𝐻 = 10, точка 𝐾 — середина 𝐴𝑆. Плоскость, проходящая через точку 𝐾 и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра 𝑆𝐵 и 𝑆𝐶 в точках 𝑄 и 𝑃 соответственно. а) Докажите, что площадь 𝑃 𝑄𝐵𝐶 относится к площади 𝐵𝑆𝐶 как 3 : 4. б) Найдите объем пирамиды 𝐾𝐵𝑄𝑃 𝐶.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2030 года долг должен составлять 800 тыс. рублей; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
19. Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным. a) Могло ли из числа 65 получиться число 41? б) Могло ли из числа 65 получиться число 43? в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?
29 вариант
29_variant_mat-11klass-profil-ege-20251. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, угол 𝐶 равен 120∘ , 𝐴𝐶 = 2√ 3. Найдите 𝐴𝐵.
3. От треугольной призмы, объём которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части.
4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.
5. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
9. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде 𝑝𝑉 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, где 𝑝 (Па) — давление в газе, 𝑉 — объeм газа в кубических метрах, 𝑎 — положительная константа. При каком наименьшем значении константы 𝑎 увеличение вчетверо объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 2 раза?
10. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
14. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 4, а 𝐵1𝑄 = 3. Плоскость 𝐴𝑃 𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀. а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐴𝑃 𝑄.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?
17. Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Через точку 𝑂 проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая ее боковые стороны. а) Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции, равна ее боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и данная прямая делит 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵 = 1 : 2.
19. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину. а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см? б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см? в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?
Прогноз на ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профиль
Прогноз на ЕГЭ 2025 по математике профиль 11 класс вариант с ответами школа Пифагора