Автор Новые тренировочные варианты №6 и №7 решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора 100 баллов с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник). Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года из открытого банка задач.
Пробник ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
6 вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
Variant_6_EGE_profil_s_otvetami_2025Разбор 6 варианта
Задание 1
Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 70
Задание 2
На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗. Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
Ответ: 12
Задание 3
Площадь основания конуса равна 48. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Ответ: 3
Задание 4
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат округлите до тысячных.
Ответ: 0,167
Задание 5
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Ответ: 0,488
Задание 8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены точки −1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Задание 9
На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось 𝑂𝑦 направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось 𝑂𝑥 направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой 𝑦 = 0,0043𝑥 2 − 0,74𝑥 + 35, где 𝑥 и 𝑦 измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
Задание 10
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Задание 11
На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
Задание 13
а) Решите уравнение 14cos2𝑥 + sin 2𝑥 = 6. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Задание 14
В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐷 = 4 и 𝐴𝐴1 = 6. Через точки 𝐵1 и 𝐷 параллельно прямой 𝐴𝐶 проведена плоскость, пересекающая ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝐾. а) Докажите, что 𝐾 − середина 𝐶𝐶1 . б) Найдите расстояние от точки 𝐵 до плоскости сечения.
Задание 16
15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 0,59 млн рублей?
Задание 17
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 лежат на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 𝐶𝑁: 𝑁𝐵 = 1: 2. Окружность, вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐶, касается отрезка 𝑀𝑁 в точке 𝐿. а) Докажите, что 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 5𝐴𝐶. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶, если 𝑀𝐿 = 1, 𝐿𝑁 = 3.
Задание 19
Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 3 и 8, либо только одну из этих цифр. а) Может ли сумма всех чисел быть равной 94? б) Может ли сумма всех чисел быть равной 248? в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 2659?
7 тренировочный вариант для 11 класса
Variant_7_EGE_profil_s_otvetami_2025Разбор 7 варианта
1. Угол между стороной и диагональю ромба равен 54°. Найдите острый угол ромба.
Ответ: 72
2. Даны векторы 𝑎⃗ (3; 4) и 𝑏⃗⃗ (−4; −3). Найдите косинус угла между ними.
Ответ: -0,96
3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐷, 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 , 𝐷1 , 𝐸1 , 𝐹1 правильной шестиугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.
Ответ: 8
4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.
Ответ: 0,16
5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
Ответ: 0,6
6. Найдите корень уравнения lg(𝑥 + 11) = 1.
7. Найдите sin 2𝛼, если cos 𝛼 = 0,6 и 𝜋 < 𝛼 < 2.
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции 𝑓(𝑥) равна 0.
9. Водолазный колокол, содержащий 𝑣 = 2 моля воздуха при давлении 𝑝1 = 1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления 𝑝2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 𝐴 = 𝛼𝑣𝑇 log2 𝑝2 𝑝1 , где 𝛼 = 13,3 Дж моль∙К − постоянная, 𝑇 = 300 К – температура воздуха. Найдите, какое давление 𝑝2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15960 Дж.
10. Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 25 км. Путь из A в B занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(3).
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 + 5.
14. В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 все рёбра равны 5. На его ребре 𝐵𝐵1 отмечена точка 𝐾 так, что 𝐾𝐵 = 3. Через точки 𝐾 и 𝐶1 проведена плоскость 𝛼, параллельная прямой 𝐵𝐷1 . а) Докажите, что 𝐴1𝑃: 𝑃𝐵1 = 1: 2, где 𝑃 − точка пересечения плоскости 𝛼 с ребром 𝐴1𝐵1 . б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью 𝛼.
16. 15-го августа 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа 10-го месяца долг составит 400 тысяч рублей; – к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на катете 𝐴𝐶, а точка 𝑁 лежит на продолжении катета 𝐵𝐶 за точку 𝐶, причём 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶 и 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶. Отрезки 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 − биссектрисы треугольников 𝐴𝐶𝐵 и 𝑁𝐶𝑀 соответственно. а) Докажите, что 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 перпендикулярны. б) Найдите 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 3, а 𝐴𝐶 = 5.
19. Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое – трёхзначное и оба кратны 45. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Инструкция по выполнению работы
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.