Автор Тренировочные варианты формата реального экзамена ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и решением для подготовки к экзамену, который пройдёт у 11 классов 26-27 мая 2025 из открытого банка заданий ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Вариант профильного уровня ЕГЭ состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
Решать 30 вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, высота 𝐶𝐻 равна 4, tg 𝐴 = 0,5. Найдите 𝐴𝐵.
3. Объём куба равен 12. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 24 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
5. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 67 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Менеджмент», нужно набрать не менее 67 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент Р. получит не менее 67 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,9 и по обществознанию — 0,7. Найдите вероятность того, что Р. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 1 6 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 6𝑡 + 25, где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?
9. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа 𝑣 вычисляется по формуле 𝑣 = 𝑐 · 𝑓−𝑓0 𝑓+𝑓0 , где 𝑐 = 1500 м/с — скорость звука в воде, 𝑓0 — частота испускаемых импульсов, 𝑓 — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.
10. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = log𝑎 (𝑥 + 𝑏). Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓 (𝑥) = 4.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 7𝑥 2+2𝑥+3 .
14. В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона 𝐴𝐵 основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝑆 отмечены точки 𝑀, 𝑁 и 𝐾 соответственно, причём 𝐴𝑀 = 𝐷𝑁 = 4 и 𝐴𝐾 = 3. а) Докажите, что плоскости 𝑀𝑁𝐾 и 𝑆𝐵𝐶 параллельны. б) Найдите расстояние от точки 𝑀 до плоскости 𝑆𝐵𝐶.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на (𝑛 + 1) месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; — cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей; — к 15-му числу (𝑛 + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите 𝑛, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей.
17. На стороне 𝐵𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрана точка 𝑀 такая, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶. a) Докажите, что центр вписанной в треугольник 𝐴𝑀𝐷 окружности лежит на диагонали 𝐴𝐶. б) Найдите радиус вписанной в треугольник 𝐴𝑀𝐷 окружности, если 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 12, ∠𝐵𝐴𝐷 = 60∘ .
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑎 2 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 − 2𝑥 2 + 3𝑥 + 9|𝑥| = 0 имеет четыре различных решения.
19. Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой — 4? б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
31 вариант профиля ЕГЭ 2025 по математике 11 класс
1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 21∘ . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
4. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции 𝑓 (𝑥), принадлежащих отрезку [−6; 9].
9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: 𝐹A = 𝜌𝑔𝑙3 , где 𝑙 — длина ребра куба в метрах, 𝜌 = 1000 кг/м 3 — плотность воды, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ дайте в метрах.
10. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
16. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере 𝑆 млн рублей, где 𝑆 — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее 𝑆, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн руб.
17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴𝐵𝐶 тупой, 𝐻 — точка пересечения продолжений высот, угол 𝐴𝐻𝐶 равен 60∘ . а) Докажите, что угол 𝐴𝐵𝐶 равен 120∘ . б) Найдите 𝐵𝐻, если 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 8.
19. На доске написано 𝑛 единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано 𝑛 = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма: 1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147. а) Могла ли сумма равняться 150, если 𝑛 = 60? б) Могла ли сумма равняться 150, если 𝑛 = 80? в) Чему могло равняться 𝑛, если полученная сумма чисел равна 150?
32 вариант заданий с ответами
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐶𝐻 — высота, 𝐵𝐻 = 12, sin 𝐴 = 2 3 . Найдите 𝐴𝐵.
3. В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние между точками 𝐴 и 𝐸1.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
5. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−3; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓 (𝑥) отрицательна.
9. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле 𝐴(𝜔) = 𝐴0𝜔 2 𝑝 |𝜔2 𝑝−𝜔2| , где 𝜔 — частота вынуждающей силы (в 𝑐 −1 ), 𝐴0 — постоянный параметр, 𝜔𝑝 = 300 𝑐 −1 — резонансная частота. Найдите максимальную частоту 𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину 𝐴0 не более чем на 80 %. Ответ дайте в 𝑐 −1 .
10. Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = −4𝑥 2−7𝑥−4 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = 2𝑥 − ln (𝑥 + 3) + 7.
14. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах 𝐴𝐴1 и 𝐴1𝐶1 выбраны точки 𝑀 и 𝑁 соответственно так, что 𝐴𝑀 = 𝐴1𝑁 = 2. а) Докажите, что прямые 𝐵𝑀 и 𝑀𝑁 перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями 𝐵𝑀𝑁 и 𝐴𝐶𝐶1.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на 300 тыс. руб. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно 𝑟, если общая сумма выплат составит 435 тысяч рублей?
17. На стороне 𝐴𝐶 равностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝑀. Серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐾 соответственно. а) Докажите, что ∠𝐴𝐸𝑀 = ∠𝐶𝑀𝐾. б) Найдите отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = = 2 : 5.
19. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9? в) Пусть 𝐵 — шестое по величине число, а 𝑆 — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения 𝑆 − 𝐵.
33 тренировочный вариант
1. Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 24∘ . Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности с центром в точке 𝑂. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐷 (см. рис.). Найдите градусную меру дуги 𝐴𝐷 окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.
4. Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше +18 ∘С, равна 0,84. Вероятность того, что температура окажется ниже +21 ∘С, равна 0,61. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от +18 ∘С до +21 ∘С.
5. Оля коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндерсюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Оли уже есть четыре разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Оле придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?
8. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 𝑡 2 − 4𝑡 − 3, где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2 м/с?
10. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏. Найдите значение 𝑥, при котором 𝑓 (𝑥) = 29.
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 10𝑥 + 10) 𝑒 5−𝑥 .
14. В основании правильной треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 лежит треугольник 𝐴𝐵𝐶. На прямой 𝐴𝐴1 отмечена точка 𝐷 так, что 𝐴1 — середина 𝐴𝐷. На прямой 𝐵1𝐶1 отмечена точка 𝐸 так, что 𝐶1 — середина 𝐵1𝐸. а) Докажите, что прямые 𝐴1𝐵1 и 𝐷𝐸 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐵 и 𝐷𝐸, если 𝐴𝐵 = 3, а 𝐴𝐴1 = 1.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке 800 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; — в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; — к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен. Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1970 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.
17. Биссектрисса 𝐴𝑀 угла 𝐴 равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит боковую сторону 𝐶𝐷 пополам. Отрезок 𝐷𝑁 перпендикулярен отрезку 𝐴𝑀 и делит сторону 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑁 : 𝑁𝐵 = 5 : 1. a) Докажите, что прямые 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 перпендикулярны. б) Найдите длину 𝑀𝑁, если площадь трапеции равна 3 √ 2.
18. Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 — сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 9 = 46. a) Существуют ли трёхзначные числа 𝐴 и 𝐵, для которых 𝑆 = 100? б) Существуют ли пятизначные числа 𝐴 и 𝐵, для которых 𝑆 = 400? В) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел 𝐴 и 𝐵?
Прогноз на ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профиль
Прогноз на ЕГЭ 2025 по математике профиль 11 класс вариант с ответами школа Пифагора