Автор Новые тренировочные варианты №8 и №9 решу ЕГЭ 2025 по математике 11 класс профильный уровень от школы Пифагора 100 баллов с ответами и решением для подготовки к реальному экзамену, который пройдёт 27 мая 2025 (во вторник). Каждый вариант соответствует новой демоверсии ФИПИ 2025 года из открытого банка задач.
Пробник состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
8 тренировочный вариант ЕГЭ 2025 математика профиль
вариант-8-егэ-2025-профиль-школа-пифагора9 вариант пробника ЕГЭ 2025 школа Пифагора
вариант-9-егэ-2025-профиль-школа-пифагораЗадания и ответы для 8 варианта
1. Угол 𝐴𝐶𝑂 равен 27°, где 𝑂 − центр окружности. Его сторона 𝐶𝐴 касается окружности. Сторона 𝐶𝑂 пересекает окружность в точке 𝐵 (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги 𝐴𝐵 окружности. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 63
2. Даны векторы 𝑎⃗ (1; 1) и 𝑏⃗⃗ (0; 7). Найдите длину вектора 8𝑎⃗ + 𝑏⃗.
Ответ: 17
3. Дано два шара. Радиус первого шара в 13 раз больше радиуса второго. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго?
Ответ: 2197
4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.
Ответ: 0,44
5. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Ответ: 0,78
8. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−19; 3). Найдите количество точек экстремума функции 𝑓(𝑥), принадлежащих отрезку [−17; −4].
Ответ: 4
9. Мяч бросили под углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле 𝑡 = 2𝑣0 sin𝛼 𝑔 . При каком наименьшем значении угла 𝛼 (в градусах) время полёта будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью 𝑣0 = 21 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с 2 .
Ответ: 30
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 20
11. На рисунке изображены графики функций видов 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥, пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
Ответ: 16
12. Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln(𝑥 + 3) 7 − 7𝑥 − 9.
Ответ: -2
13. а) Решите уравнение log6 (2sin2𝑥 − 3 sin 𝑥 − 1) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. Точка 𝑀 − середина ребра 𝐴𝐴1 треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 , в основании которой лежит треугольник 𝐴𝐵𝐶. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝐵 и 𝐵1 перпендикулярно прямой 𝐶1𝑀. а) Докажите, что одна из диагоналей грани 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 равна одному из рёбер этой грани. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝛼, если плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐶 в отношении 1:5, считая от вершины 𝐴, 𝐴𝐶 = 20, 𝐴𝐴1 = 32.
Ответ: 10
16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно 𝑟, если общая сумма выплат составит 435 тыс. рублей?
Ответ: 12
17. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке 𝐿. Прямая, проходящая через точку 𝐿 и середину 𝑁 гипотенузы 𝐴𝐵, пересекает катет 𝐵𝐶 в точке 𝑀. а) Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐿 = ∠𝐵𝐴𝐶. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 20 и 𝐶𝑀 = 3√5.
Ответ: 80
19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 6. а) Может ли их сумма составлять 198? б) Может ли их сумма составлять 270? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1518?
Ответ: а) да б) нет в) 8
Видео решение варианта
Задания и ответы для 9 варианта
1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 56°, углы 𝐵 и 𝐶 − острые, высоты 𝐵𝐷 и 𝐶𝐸 пересекаются в точке 𝑂. Найдите угол 𝐷𝑂𝐸. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 124
2. Даны векторы 𝑎⃗ (0; 3), 𝑏⃗⃗ (−2; 4) и 𝑐⃗ (4; −1). Найдите длину вектора 𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
Ответ: 10
3. Шар, объем которого равен 35𝜋, вписан в куб. Найдите объём куба.
Ответ: 210
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
Ответ: 0,4
5. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Ответ: 0,22
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−4; 13). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 14.
Ответ: 6
9. Зависимость объёма спроса 𝑞 (единиц в месяц) на продукцию предприятия монополиста от цены 𝑝 (тыс. руб.) задаётся формулой 𝑞 = 190 − 10𝑝. Выручка предприятия за месяц 𝑟 (в тыс. руб.) вычисляется по формуле 𝑟(𝑝) = 𝑞 ∙ 𝑝. Определите наибольшую цену 𝑝, при которой месячная выручка 𝑟(𝑝) составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Ответ: 14
10. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Ответ: 30
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Найдите значение 𝑓(8).
Ответ: -3
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 9𝑥 + 9) ∙ 𝑒 𝑥+27 .
Ответ: 7
13. а) Решите уравнение 49cos2𝑥 = 7 √2 cos 𝑥 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2𝜋; 3𝜋].
14. На ребре 𝐴𝐴1 прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 взята точка 𝐸 так, что 𝐴1𝐸: 𝐸𝐴 = 3: 1, на ребре 𝐵𝐵1 − точка 𝐹 так, что 𝐵1𝐹: 𝐹𝐵 = 1: 3, а на ребре 𝐵1𝐶1 − точка 𝑇 так, что 𝐵1𝑇: 𝑇𝐶1 = 1: 2. Известно, что 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐷 = 3, 𝐴𝐴1 = 4. а) Докажите, что плоскость 𝐸𝐹𝑇 проходит через вершину 𝐷1 . б) Найдите угол между плоскостью 𝐸𝐹𝑇 и плоскостью 𝐵𝐵1𝐶1 .
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в конце 2030 года долг составит 200 тыс. руб; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите 𝑟, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей.
17. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝑁 − середины гипотенузы 𝐴𝐵 и катета 𝐵𝐶 соответственно. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает прямую 𝑀𝑁 в точке 𝐿. а) Докажите, что треугольники 𝐴𝑀𝐿 и 𝐵𝐿𝐶 подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠𝐵𝐴𝐶 = 7 25 .
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 − 2𝑥 − 6𝑎 + 𝑎 2 = |6𝑥 − 2𝑎| имеет ровно два различных корня.
19. В каждой клетке квадратной таблицы 5×5 стоит натуральное число, меньшее 6. Вася в каждом столбце находит сумму чисел и из полученных сумм выбирает наименьшую. Петя в каждой строке находит сумму чисел и из полученных сумм выбирает наименьшую. а) Может ли число у Пети получиться в два раза больше, чем число у Васи? б) Может ли число у Пети получиться в пять раз больше, чем число у Васи? в) В какое наибольшее число раз число у Пети может быть больше, чем число у Васи?
Видео решение варианта