Ответы и задания для олимпиады по математике для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класса школьного этапа 2022 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ, которая прошла в 1 группе регионов 18 октября 2022 года на платформе «Сириус Курсы».
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 4 класс Сириус
1.Найдите самое маленькое натуральное число, сумма цифр которого равна 49.
2. Спортсмены выходили на старт группами по 3 человека с задержкой между группами в несколько секунд. Петя, Вася и Коля стартовали одновременно, причём они были в шестой тройке с начала и в третьей тройке с конца. Сколько спортсменов участвовало в забеге?
3.В квартире четыре квадратные комнаты, которые обозначены на рисунке №1, №2, №3, №4, и коридор (№5). Периметр комнаты №1 равен 20 м, а периметр комнаты №2 равен 28 м.
Чему равен периметр коридора (№5)? Ответ выразите в метрах.
4. На доске были написаны числа 112, 24, 7, 32. Одно из них умножили, какое‑то другое разделили, какое‑то третье увеличили, какое‑то четвёртое уменьшили на одно и то же число. В итоге все числа стали равными одному числу. Что это за число?
5. Петя — старший ребёнок в семье. У него две сестры: Аня и Катя, и брат Вася. Петя посчитал, что Ане и Кате вместе 19 лет, Ане и Васе вместе 14 лет. Определите, сколько лет Васе, если известно, что двум младшим детям в сумме 7 лет.
6.Петя записал на карточках числа от 1 до 10 и выложил их по краю прямоугольника 3×4. Вначале открыли одну из карточек — с числом 5 (см. рисунок). Когда открыли остальные карточки, оказалось, что сумма чисел в верхнем и нижнем горизонтальных рядах одинакова и равна A. Какое наибольшее значение может иметь число A?
7. По кругу выписано 106 натуральных чисел. Известно, что среди любых трёх подряд идущих чисел есть чётное число. Какое наименьшее количество чётных чисел может быть среди выписанных?
8.Дан квадрат. Внутри него взята точка, удалённая от трёх сторон на расстояния 5, 8, 14 сантиметров.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 5 класс Сириус
1. У Пети есть четыре карточки с цифрами 1, 2, 3, 4. Каждая цифра встречается ровно один раз. Сколько натуральных чисел, больших 2234, может составить из этих карточек Петя?
2. На доске написаны девять целых чисел от 1 до 5. Известно, что семь из них не меньше 2, шесть — больше 2, три — не меньше 4, одно — не меньше 5.<br>Найдите сумму всех чисел.
3. Кафе «Буратино» работает 6 дней в неделю с выходным по понедельникам. Коля сказал, что с 1 по 20 апреля кафе работало 17 дней, а с 10 по 30 — 18 дней. Известно, что один раз он ошибся. Какого числа был последний вторник апреля?
4. Прямоугольник разрезали на три других прямоугольника, два из которых имеют размеры 9 м × 12 м и 10 м × 15 м. Какую максимальную площадь мог иметь исходный прямоугольник? Ответ выразите в квадратных метрах.
5. В примере на сложение, в котором цифры были написаны на карточках, перепутали местами две карточки и получили неправильное выражение: 27641+43739=70280. Найдите ошибку и запишите правильное значение суммы.
6. Незнайка назвал четыре числа, а Пончик на шести карточках написал все их попарные суммы. Затем одну карточку он потерял, а на оставшихся были написаны числа 270, 360, 390, 530, 620. Какое число Пончик написал на потерянной карточке?
7. По кругу выписано 101 натуральное число. Известно, что среди любых трёх подряд идущих чисел есть чётное число. Какое наименьшее количество чётных чисел может быть среди выписанных?
8. Одинаковые монеты выложены на столе в форме шестиугольника. Если выложить их так, чтобы сторона шестиугольника состояла из 2 монет, то хватит 7 монет, а если сторона будет состоять из 3 монет, то всего потребуется 19 монет.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 6 класс Сириус
1. Маша раскладывает теннисные мячики в одинаковые коробки. Если она использует 4 коробки, то в последней остаётся место ещё для 10 мячиков, а если использует 3 коробки, то 6 мячиков в коробки не поместятся. На сколько мячиков рассчитана одна коробка?
2. Вася построил пирамиду из шаров следующим образом: на вершине пирамиды лежит 1 шар, во втором слое сверху — 4 шара, и т.д. Шары лежат по границе и внутри пирамиды (см. рисунок). Найдите общее количество шаров, лежащих в четвёртом и шестом сверху слоях.
3. На доске написано натуральное число. Пять школьников сказали о нём следующее: Петя: «Это число больше 11». Коля: «Это число не меньше 12». Вася: «Это число больше 13». Дима: «Это число меньше 13». Олег: «Это число не больше 13». Найдите наибольшее возможное число правильных утверждений.
4. В числе две цифры поменяли местами, и от этого оно увеличилось больше чем в 3 раза. Получилось 8453729. Найдите исходное число.
5. Кафе «Буратино» работает 6 дней в неделю с выходным по понедельникам. Коля произнёс два утверждения: «с 1 по 20 апреля кафе работало 18 дней» и «с 10 по 30 апреля кафе работало тоже 18 дней». Известно, что один раз он ошибся. Сколько дней кафе работало с 8 по 20 апреля?
6. На клетчатой бумаге изображён прямоугольный треугольник со сторонами 8 и 10 (см. рисунок). Найдите суммарную длину горизонтальных линий сетки внутри этого треугольника.
7. Петя записал на доске 9 последовательных натуральных чисел. Коля вычислил их сумму и получил ответ 43040102. Оказалось, что он ошибся только в первой цифре суммы. Какой должна быть первая цифра?
8. По кругу выписано 101 натуральное число. Известно, что среди любых пяти подряд идущих чисел есть хотя бы два чётных числа. Какое наименьшее количество чётных чисел может быть среди выписанных?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 7 класс Сириус
1. Запишите наименьшее число с суммой цифр 89, в записи которого используются по крайней мере три разные цифры.
2. Кафе «Буратино» работает 6 дней в неделю с выходным по понедельникам. Коля произнёс два утверждения: «с 1 по 20 апреля кафе работало по 18 дней» и «с 10 по 30 апреля кафе работало тоже 18 дней». Известно, что один раз он ошибся. Сколько дней кафе работало с 8 по 27 апреля?
3. Семья Ивановых состоит из трёх человек: папы, мамы и дочери. Сегодня, в день рождения дочери, мама посчитала сумму возрастов всех членов семьи и получила 74 года. Известно, что 10 лет назад суммарный возраст членов семьи Ивановых составлял 47 лет. Сколько лет сейчас маме, если она родила дочь в 25 лет?
4. На рисунке изображён прямоугольник, составленный из двенадцати квадратов. Периметр этого прямоугольника равен 170 см.
Чему равна его площадь? Ответ выразите в квадратных сантиметрах.
5. У организаторов турнира по пинг‑понгу только один теннисный стол. Они вызывают на игру двух участников, ещё не игравших между собой. Если после окончания игры для проигравшего участника данное поражение становится вторым, то он выбывает из турнира (ничьих в теннисе не бывает). После того как состоялось 35 игр, оказалось, что выбыли все участники, кроме двух. Сколько теннисистов участвовало в турнире?
6. Диагональ 23‑угольника разрезает его на 17‑угольник и 8‑угольник (см. рисунок). Сколько из оставшихся диагоналей 23‑угольника пересекают выделенную диагональ? Вершина 17‑угольника не считается пересечением.
7. У Пети есть семь карточек с цифрами 2,2,3, 4,5,8,9. Он хочет, использовав все карточки, составить наибольшее натуральное число, кратное 12. Какое число должно у него получиться?
8. На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 2035 аборигенов, среди которых N лжецов, встали в круг, и каждый сказал: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько различных значений может принимать N?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 8 класс Сириус
1. Сейчас маме 23 года и 8 месяцев, а её дочери — 9 месяцев. Через сколько месяцев число лет в возрасте мамы будет равно числу месяцев в возрасте дочери?
2. Поезд состоит из шести вагонов. В среднем в каждом вагоне едет 18 пассажиров. После того, как один вагон отцепили, среднее число пассажиров в оставшихся вагонах сократилось до 15. Сколько пассажиров находилось в отцепленном вагоне?
3. Высота AH и биссектриса CL треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите угол BAC, если известно, что разность между углом COH и половиной угла ABC равна 48∘.
4. Найдите количество четырёхзначных чисел, у которых цифра в разряде сотен ровно на 3 больше цифры в разряде единиц. Число не может начинаться с нуля.
5. На стол положили две квадратных салфетки размерами 1×1 и 3×3 так, что угол большей салфетки попал в центр меньшей. Какую максимальную площадь стола могут закрывать салфетки?
6.Художественный фильм продолжительностью 188 минут состоит из четырёх частей. При этом известно, что продолжительность любых двух частей отличается не менее чем на 4 минуты. Какую наибольшую продолжительность может иметь самая короткая часть? Ответ выразите в минутах.
7. В выпуклом n‑угольнике выделили диагональ. Выделенную диагональ пересекают ровно 14 других диагоналей этого n‑угольника. Найдите сумму всех возможных значений n. Вершина n‑угольника не считается пересечением.
8. На острове невезения живут правдолюбы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 1123 жителя острова, среди которых N лжецов, встали в круг, и каждый сказал: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько различных значений может принимать N?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 9 класс Сириус
1.Найдите сумму: (−2022) + (−2021) + (−2020) + … + 2023 + 2024.
2. В некотором трёхзначном числе N переставили две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырёхзначное число, начинающееся на 173. Найдите наибольшую возможную сумму цифр числа N.
3.В посёлке проживают 9 человек. Некоторые из них лжецы, которые всегда лгут, а остальные — рыцари, всегда говорящие правду. Каждый житель сказал про каждого из остальных, рыцарь он или лжец. Всего было получено 72 ответа, причём в 40 случаях житель назвал односельчанина лжецом. Какое максимальное количество рыцарей может проживать в посёлке?
4.Дан равносторонний треугольник ABC площади 216. Внутри него закрасили красным цветом точки, для которых вершина A является не самой ближней и не самой далёкой. Какую площадь имеет закрашенная часть треугольника?
5. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 2050306?
6.Какой наибольший корень может иметь уравнение: (x−a)(x−b) = (x−c)(x−d) если известно, что a+d = b+c = 1122, а числа a и c различны?
7. В квадрате 96×96 угловой квадрат 85×85 закрашен красным цветом. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга ферзей удастся поставить на доску, не размещая фигуры на красных клетках? Ферзь бьёт по горизонтали, по вертикали и параллельно диагоналям квадрата. Бить через закрашенные клетки можно.
8. Прямая, параллельная катету AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет BC в точке K, а гипотенузу AB — в точке N. На катете AC выбрана точка M так, что MK=MN.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 10 класс Сириус
1. При перемножении двузначного и трёхзначного чисел получилось четырёхзначное число вида A = abab. Найдите наибольшее A, если известно, что A делится на 14.
2. Найдите количество четырёхзначных чисел, у которых цифра в разряде единиц ровно на 2 больше цифры в разряде сотен. Число не может начинаться с нуля.
3. В семье Ивановых и мама, и папа, и трое их детей родились 1 апреля. Когда в семье родился первенец, родителям в сумме было 45 лет. Третий ребёнок в семье появился год назад, когда сумма возрастов всех членов семьи составляла 70 лет. Сколько лет сейчас среднему ребёнку, если сумма возрастов детей составляет 14 лет?
4.Диагонали AC и BD равнобокой трапеции ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AD:BC=8:5. Окружность ω с центром O, проходящая через вершины A и D, пересекает продолжение основания BC за точку B в точке K. Оказалось, что BK=BO. Найдите отношение основания AD к радиусу окружности ω.
5. Три посёлка А, Б и В связаны просёлочными дорогами, при этом любые два из них связывают несколько (больше одной) дорог. Движение на дорогах двустороннее. Назовём путём из одного посёлка в другой либо связывающую их дорогу, либо цепочку из двух дорог, проходящую через третий посёлок. Известно, что посёлки А и Б связывают 34 пути, посёлки Б и В — 29 путей. Какое наименьшее число путей может связывать посёлки А и В?
6.Вершины треугольника имеют координаты A (1; 3.5), B (14.5; 3.5), C (11; 17). Рассматриваются горизонтальные линии, задаваемые уравнениями y=n, где n — целое. Найдите сумму длин отрезков, высекаемых на этих прямых сторонами треугольника.
7. Числа x и y удовлетворяют равенству: xx+y+2y(x−y)=1. Найдите все возможные значения выражения 7x+yx+2y, в ответ запишите их сумму.
8. Рассматривается квадратный трёхчлен P(x)=ax2+bx+c, имеющий различные положительные корни. Вася выписал на доску четыре числа: корни P(x), а также умноженные на 9 корни трёхчлена Q(x)=cx2+bx+a. Какое наименьшее целое значение может иметь сумма выписанных чисел?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 11 класс Сириус
1. При перемножении двух двузначных чисел получилось четырёхзначное число A, у которого первая цифра совпадает со второй, а предпоследняя — c последней. Найдите наименьшее A, если известно, что A делится на 29.
2. Найдите количество четырёхзначных чисел, у которых три последние цифры образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Числа не могут начинаться с нуля.
3. Найдите отношение 16b2 / ac, если известно, что один из корней уравнения ax2+bx+c=0 в 4 раза больше другого.
4. Известно, что 1/cos(2022x)+tg(2022x)=12002. Найдите 1cos(2022x)−tg(2022x).
5. Известно, что (x2+x+3)(y2+10y+57)(2z2+z+2)=165. Найдите xyz.
6. Три посёлка A, B и C связаны просёлочными дорогами, при этом любые два посёлка связывают несколько (больше одной) дорог. Движение на дорогах двустороннее. Назовём путём из одного посёлка в другой либо связывающую их дорогу, либо цепочку из двух дорог, проходящую через третий посёлок. Известно, что посёлки A и B связывают 34 пути, посёлки B и C — 29 путей. Какое наибольшее число путей может связывать посёлки A и C?
7. По кругу выписано 203 натуральных числа. Известно, что среди любых 5 подряд идущих чисел найдутся хотя бы два чётных. Какое наименьшее количество чётных чисел может быть во всём кругу?
8. Дан параллелограмм ABCD. Пусть BP и CQ — перпендикуляры, опущенные из вершин B и C на диагонали AC и BD соответственно (точка P лежит на отрезке AC, а точка Q лежит на отрезке BD).
Найдите отношение 10BD / AC, если AP / AC=4 / 9 и DQ / DB=28 / 81.