Ответы и задания для 4,5,6,7,8,9,10,11 класса олимпиады по математике школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2017-2018 учебный год.
Ссылка для скачивания заданий для 4 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 5 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 6 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 7 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 8 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 9 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 10 класса: скачать
Ссылка для скачивания заданий для 11 класса: скачать
Ссылка для скачивания всех ответов и задания для 7-8 класса: скачать
Ответы и задания 4 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство: 90−72 : 6 + 3 = 82.
Ответ: 90 − 72 : (6 + 3) = 82.
2)В пяти ящиках лежит поровну яблок. Когда из каждого ящика вынули по 60 яблок, после этого всего осталось столько яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике?
Ответ: Всего вынули 60 · 5 = 300 яблок, и это равно количеству яблок, которое было в трех ящиках. Значит, в каждом ящике было по 100 яблок.
3)Прямоугольник разбит на квадраты, внутри каждого квадрата написан его номер. Известно, что сторона квадрата №1 — 18 см, а сторона квадрата №2 — 3 см. Найдите стороны всех остальных квадратов.
Ответ: 5, 12, 12, 21 см соответственно у квадратов №3–6.
4)Гном в башмаках весит на 2 кг больше, чем гном без башмаков. Если поставить на весы пять одинаковых гномов в башмаках и пять таких же гномов без башмаков, весы покажут 330 кг. Сколько весит гном в башмаках?
Ответ: Наденем на пять гномов башмаки, тогда вес увеличится на 10 кг. Получается, что десять гномов в башмаках весят 340 кг. Значит, один гном в башмаках весит 34 кг.
5)Паучок-ученик натянул паутину между 11 точками так, чтобы его паутинки нигде не пересекались, и в конце вернулся в исходную точку. Паук-учитель его похвалил, и лишь заметил, что настоящие мастера соблюдают эти же условия, но натягивают «правильную» паутину, у которой никакие отрезки не лежат на одной прямой. Помогите паучку соединить все 11 точек на рисунке «правильной» паутиной.
Ответы и задания 5 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)К числу прибавили сумму его цифр и получили 2017.Приведите пример такого числа.
Ответ: 2012, 1994. Другие числа не подходят.
2)Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как ее зовут?
Ответ: Таня.
3)Продавец закупил партию ручек и продал их. При этом некоторые покупатели купили одну ручку за 10 рублей, а некоторые купили 3 ручки за 20 рублей. Оказалось, что с каждой покупки продавец получал одинаковую прибыль. Найдите цену, по которой продавец закупил ручки.
Ответ: 5 рублей.
4)Паучок-ученик натянул паутину между 11 точками так, чтобы его паутинки нигде не пересекались, и в конце вернулся в исходную точку. Паук-учитель его похвалил, и лишь заметил, что настоящие мастера соблюдают эти же условия, но натягивают «правильную» паутину, у которой никакие отрезки не лежат на одной прямой. Помогите паучку соединить все 11 точек на рисунке «правильной» паутиной.
5)Квадратный оконный проем образован двумя прямоугольными рамами. Внутри каждой из них написали число, равное периметру рамы. Напишите, чему равна сторона квадрата всего оконного проема и объясните, как вы ее получили.
Ответ: 5
Ответы и задания 6 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?
Решение: Обозначим количество квартир на этаже за K, количество этажей за Э и количество подъездов за П. По условию, 1 < K < Э < П. Число 715 можно разложить на большие единицы множители единственным способом: 715 = 5 · 11 · 13. Значит, K = 5, Э = 11, П = 13. Ответ: 11
2)Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
Ответ: может
3)Петя нарисовал 5 прямых и заметил, что они пересекаются ровно в 6 точках. Нарисуйте 8 прямых так, чтобы они пересекались ровно в 11 точках.
4)Приведите пример такого выражения, состоящего из единиц, скобок, знаков «+» и «×», что — его значение равно 11; — если в этом выражении заменить все знаки «+» на знаки «×», а знаки «×» на знаки «+», то всё равно получится 11.
Ответ: Один из возможных примеров: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1
5)Квадратный оконный проём образован тремя прямоугольными рамами (рис. ниже). Внутри каждой из них написали число, равное периметру рамы. Напишите, чему равна сторона квадрата всего оконного проёма и объясните, как вы её получили.
Ответ: 4
Ответы и задания 7 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?
Ответ: да
2)Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ.
Ответ: 9 м/мин.
3)В некоторый момент времени Аня измерила угол между часовой и минутной стрелками своих часов. Ровно через один час она снова измерила угол между стрелками. Угол оказался таким же. Каким мог быть этот угол? (Разберите все случаи.)
Ответ: 15◦ либо 165◦ .
4)Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из A в B, другой — из B в A. Они встретились в полдень (т.е. ровно в 12 часов) и, не прекращая движения, пришли: один — в B в 4 часа вечера, а другой – в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?
Ответ: в 6 утра.
5)Определите,в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Ответ: 42
Ответы и задания 8 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны.
Ответ: Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30+ 4 + 2 + 5.
2)В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY.
Ответ: 1
3)Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?
Ответ: 20
4)Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8×8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2×2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3×1 (или 1×3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет)
Ответ: 0 или 64.
5)Три школьницы зашли в магазин. Аня купила 2 ручки, 7 карандашей и 1 блокнот, Варя — 5 ручек, 6 карандашей и 5 блокнотов, Саша — 8 ручек, 4 карандаша и 9 блокнота. Все заплатили поровну, но одна при оплате воспользовалась скидкой. Кто? (Объясните свой ответ).
Ответ: Варя
6)В треугольнике ABC провели медиану AM.Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45◦ и 30◦ соответственно.
Ответ:135 градусов.
Ответы и задания 9 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей?
Ответ: 75 конфет
2)Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке, а Дима в каждой промежуток между числами вписал их сумму. Могло ли так случиться, что все написанные Димой числа оказались различными?
Ответ: могло
3)Можно ли в некоторые клетки таблицы 8×8 написать единицы, а в остальные — нули, так, чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках — одинаковая?
Ответ: можно
4)Два квадрата имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков AB и CD, показанных на рисунке.
Ответ: 1:√2.
5)Числа a,b,c и d таковы, что a+b = c+d 6= 0,ac = bd. Докажите, что a + c = b + d.
6)Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые)
Ответ: невозможно.
Ответы и задания 10 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%.Насколько процентов увеличилась площадь замка?
Ответ: 4%.
2) Известно, что a2 + b = b2 + c = c2 + a. Какие значения может принимать выражение a(a2 −b2) + b(b2 −c2) + c(c2 −a2)?
Ответ: 0
3) На доске в произвольном порядке выписаны числа от 1 до 2017. Два числа можно поменять местами, если одно из них делится на другое. Докажите, что за несколько таких операций числа можно расположить в порядке возрастания.
Ответ: Покажем, как поставить число k 6= 1 на k-ое место. Пусть на k-ом месте стоит число n. Поменяем сначала n с 1, затем поменяем k с 1. Тогда k действительно окажется на своём месте. Последовательно ставя на свои места числа 2017, 2016, . . . , мы поставим все числа в порядке возрастания.
4)Сравните величины углов BAC и CED (см. рисунок). Свой ответ обоснуйте.
Ответ: эти углы равны
5)Лёша не поленился вычислить сумму 9 + 99 + 999 + … + 9…9 |{z} 2017 и выписать ее на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?
Ответ: 2013.
6)Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?
Ответ:15 мудрецов.
Ответы и задания 11 класс школьный этап по математике 2017-2018:
1)В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую — на 2, третью — на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа.
Ответ: 107
2)Билет в кино стоил 300 рублей. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50 процентов, а выручка кинотеатра выросла на 35 процентов. Сколько рублей составляет цена одного билета теперь?
Ответ: 270
3)Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её 10 членов равна 60, а сумма первых 20 её членов равна 320. Чему может быть равен 15-й член этой прогрессии?
Ответ: 25
4)На плоскости дан квадрат ABCD со стороной 1 и точка X (см. рисунок). Известно, что XA = √5, XC = √7. Чему равно XB?
Ответ: 6 − √ 10
5)Рассмотрим уравнение sin3 x + cos3 x = −1. Сколько у него решений на промежутке [0,6π]?
Ответ: 6
6)Про тетраэдр ABCD известно, что AB·CD = AC ·BD = AD· BC. Пусть IA, IB, IC, ID — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CDA, DAB и ABC соответственно. Докажите, что отрезки AIA, BIB, CIC, DID пересекаются в одной точке.