Ответы и задания по математике 10-11 класс заключительного тура XLII Турнира им. М.В. Ломоносова, который проходил: 09.03.2020 (9 марта 2020 года).
Ссылка для скачивания заданий (вариантов): скачать
Ссылка для скачивания ответов: скачать
Ссылка для скачивания критериев: скачать
Решать XLII заключительный тур Ломоносова по математике онлайн на сайте:
Задачи заключительного с XLII турнира по математике:
1)У Коли есть квадратный трёхчлен x 2+ax+b. На одной стороне бумажки он написал его корни, а с другой стороны этой же бумажки — его коэффиценты a и b. Оказалось, что все написанные числа являются целыми и отличными от нуля. Затем он отдал эту бумажку Оле, которая, посмотрев на бумажку, сказала, что Коля скорее всего ошибся, так как на обеих сторонах бумажки написаны одни и те же числа, чего явно не может быть. Определите действительно ли ошибся Коля или, если он всё таки всё сделал правильно, то какие числа написаны на бумажке?
2)В ромб ABCD вписана окружность ω с центром O. Точки P и Q выбраны на сторонах BC и CD соответственно таким образом, что P Q касается ω в точке L. Обозначим точку касания ω со стороной CD через K. Докажите, что площадь треугольника P QD равна площади четырёхугольника OLQK.
3)В классе учится 36 человек. Каждое утро заходя в класс некоторые из них в качестве приветствия жмут друг другу руки, причём никто никому не жмёт руку за день более одного раза. В один из дней оказалось, что никакие двое учеников, которые сделали одинаковое количество рукопожатий, не жали руку друг другу. Какое максимальное число рукопожатий могло быть совершено в этот день?
4)Существует ли множество натуральных чисел A, для которого выполнены следующие свойства: всевозможные суммы двух элементов из A уникальны (т. е. не бывает двух различных пар элементов, у которых суммы одинаковы), и при этом среди этих сумм можно найти 2020 подряд идущих натуральных чисел.