Автор Школьный этап 2025-2026 всероссийской олимпиады школьников по математике задания и ответы с решением для 7, 8, 9, 10, 11 класса. Олимпиада ВСОШ прошла у школьников Москвы 14 октября 2025 года. Опубликованы предварительные результаты и видео разборы.
Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025
mat_7_klass_olimp_msk_vos_2025Задание 1. На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 60 минут, а на поле одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен провести на поле? 37 минут 30 секунд 27 минут 27 минут 30 секунд 30 минут 30 минут 30 секунд 37 минут 42 минуты 42 минуты 30 секунд.
Задание 2. Площадь квадрата, изображённого на рисунке равна 200 см2 . Точка 𝑂 – центр квадрата, а точка 𝑀 – середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
Задание 3. На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
Задание 4. На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы – лгут, встретились четыре жителя – Антон, Иван, Пётр и Богдан. Антон сказал: «Иван — лжец!» Иван сказал: «Пётр — рыцарь!» Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Богдан и Антон один человек рыцарь, а другой лжец». Богдан сказал: «Антон — лжец!» Кем является каждый из собеседников?
Задание 5. Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2025, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно −2019, потому что 1−2025+5 = −2019. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
Задание 6. В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 101 ручками двух цветов: красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?
Задание 7. Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их гранях с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 4. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
mat_8_klass_olimp_msk_vos_2025Задача 1.1. Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в полтора раза быстрее подруги и прошла в два раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 40 минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.
Задача 2.1. На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было выбрано ненулевое чётное количество точек.
Задача 3.1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐵 равен 134∘ , а высота, опущенная из вершины 𝐴, в два раза меньше биссектрисы угла 𝐴. Найдите угол 𝐶. Ответ выразите в градусах.
Задача 4.1. Таблицу 5 × 5 разбили на 7 связных частей по линиям сетки. В каждой части в одной из клеток написали количество клеток в этой части. Отметьте клетки части, которая содержит центральную клетку.
Задача 5.1. На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в направлении его взгляда. Известно, что: Алю никто не видит; Беня не видит Веню, но видит Гешу; Веня видит Беню, но не видит Дусю; Геша не видит никого; Дуся стоит раньше Геши, но не видит его. Определите порядок, в котором стоят дети.
Задача 6.1. Вася задумал три вещественных числа 𝑎, 𝑏, 𝑐. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями 𝑦 = 𝑎𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑏𝑥 + 5 и 𝑦 = 𝑐𝑥 + 8, пересекаются в одной точке. Найдите значение 𝑏, если известно, что 𝑎 + 𝑐 = 67.
Задача 7.1. Дан прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴. На плоскости нашлась точка 𝑋, для которой 𝐴𝐵 = 𝐵𝑋 и 𝐴𝑋 = 𝑋𝐶. Чему может быть равен угол 𝐵𝐴𝑋, если угол 𝐵𝑋𝐶 равен 108∘ ? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задача 8.1. В турнире онлайн-игры участвуют 64 персонажа. В каждом из 6 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были равны 1, 2, … , 64. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
mat_10_klass_olimp_msk_vos_2025Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
mat_11_klass_olimp_msk_vos_20251.1. Дана арифметическая прогрессия {𝑎𝑛}, такая, что 𝑎1 + 𝑎2 = 9, 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎8 = 108. Найдите 𝑎1 и разность этой арифметической прогрессии.
2.1. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случайным образом составляет из них число вида 𝑎𝑏 𝑐𝑑 . С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение 𝑎𝑏 обозначает двухзначное число, состоящее из цифр 𝑎 и 𝑏.
3.1. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 — пересечение лучей 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 и точку 𝐹 — пересечение лучей 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶. Оказалось, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, ∠𝐴𝐸𝐵 = 51∘ и угловые меры дуг ⌢ 𝐵𝐶 и ⌢ 𝐴𝐷 находятся в соотношении 2 : 5. (а) (4 балла) Найдите угол 𝐴𝐹𝐷. Ответ выразите в градусах. (б) (3 балла) Найдите величину меньшей дуги ⌢ 𝐵𝐶. Ответ выразите в градусах.
4.1. Найдите количество пар различных натуральных чисел 𝑎, 𝑏, таких, что 1 ⩽ 𝑎 < 𝑏 ⩽ 100 и ⌊√𝑎⌋ + ⌈√𝑏⌉ = ⌈√𝑎⌉ + ⌊√𝑏⌋.
5.1. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 × 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
6.1. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен −5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая — лежит на оси ординат. (а) (2 балла) Найдите ординату второй точки пересечения графиков. (б) (5 баллов) Найдите произведение корней второго трёхчлена.
7.1. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 площадь треугольника 𝐵𝐶𝐶1 равна 2, треугольника 𝐴𝐶𝐶1 — 37. (а) (2 балла) Пусть 𝑆 — площадь треугольника 𝐶𝐷𝐶1 . Найдите 𝑆 2 . (б) (5 баллов) Оказалось, что площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶1 равна 43. Чему равна площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶?
8.1. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: • Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»; • Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»; • Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»; • Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba». Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы «c», может получить Петя?
Смотрите на сайте олимпиады по математике
Муниципальный этап 2024 олимпиада по математике задания и ответы для 7, 8, 9, 10, 11 класса