Автор Задания, ответы и решения для школьного этапа 2022 по математике всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса 2022-2023 учебного года. Официальная дата проведения олимпиады в Москве: с 19 по 21 октября.
В 4 и 5 классах олимпиада длилась 60 минут, в 6–8 классах — 90 минут, в 9–11 классах — 120 минут. Для каждого номера задания участнику случайным образом выдавалась одна из версий задачи, подготовленных составителями.
Таким образом у каждого школьника был свой вариант олимпиады. В разделе «Решения» для каждого номера приведена только одна версия задачи с решением, а в разделе «Ответы» приведены все версии задач с ответами.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 4-11 класс задания и ответы
математика-школьный-этап-2022-ответы-заданияВидео разбор заданий олимпиады 4 класса
Видео разбор заданий олимпиады 5 класса
Видео разбор заданий олимпиады 6 класса
Видео разбор заданий олимпиады 7 класса
Видео разбор заданий олимпиады 8 класса
Видео разбор заданий олимпиады 9 класса
Видео разбор заданий олимпиады 10 класса
Видео разбор заданий олимпиады 11 класса
Олимпиада по математике 4 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 4.1. Круглые гири весят 200 граммов, квадратные —300 граммов, а треугольные — 150 граммов. 12 гирь положили на чашечные весы, как показано на рисунке. Какая чаша тяжелее и на сколько граммов?
Задача 4.2. В 4«А» классе у каждого ребёнка есть не менее 11 одноклассников и не менее 13 одноклассниц. Какое наименьшее количество детей может учиться в этом классе?
Задача 4.3. У Саши было 47 палочек. Использовав их все, он сложил несколько букв «Б» и «В», изображённых на рисунке. Какое наибольшее количество букв «Б» могло получиться у Саши?
Задача 4.4. Коты Леопольд, Гарфилд, Василий, Матильда и Том съели на кухне две котлеты, две сосиски и одну рыбу. Каждый из них съел что-то одно. Известно, что: • Леопольд, Гарфилд и Том съели 3 разных блюда; • Василий не ел котлету, а Леопольд не ел сосиску; • Гарфилд и Матильда съели одно и то же. Кому что досталось?
Задача 4.5. У мамы с папой есть двое детей: Коля и Таня. Папа старше мамы на 4 года. Коля тоже старше Тани на 4 года и вдвое младше папы. Сколько лет каждому из них, если суммарный возраст всех членов семьи составляет 130 лет?
Задача 4.6. Женя взял доску 3 × 3 и на каждую клетку поставил столбик из синих и красных кубиков. Потом он зарисовал схему получившейся расстановки: подписал количество кубиков обоих цветов в каждом столбике (порядок кубиков неизвестен). Какое наибольшее количество синих кубиков может увидеть Женя, если посмотрит на конструкцию спереди? (Например, если перед столбиком из 8 кубиков стоит столбик из 5, то будет видно все 5 кубиков ближнего столбика и только 3 верхних кубика дальнего столбика.)
Задача 4.7. На столе лежит 4 стопки монет. В первой стопке 9 монет, во второй — 7, в третьей — 5, в четвёртой — 10. За один ход разрешается добавить по одной монете к трём разным стопкам. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы во всех стопках стало поровну монет?
Задача 4.8. У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из которых записаны числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число. Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Олимпиада по математике 5 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 5.1. На некоторые границы клеток доски 10 × 10 положили спички, а в одну из клеток — фишку, как показано на рисунке. За один ход фишку можно передвигать в соседнюю по стороне клетку, перепрыгивать через спичку запрещено. Клетка называется достижимой, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки 𝑋, убрав с доски не более одной спички. Среди 6 клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.
Задача 5.2. На уроке физкультуры в шеренгу встали 25 учеников 5«Б» класса. Каждый из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда врёт. Отличник Влад встал на 13-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом ровно 6 хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?
Задача 5.3. Петя и Вася играли в солдатиков. Петя выстроил своих рыцарей «прямоугольником» — сколько-то колонн и сколько-то рядов. Когда все рыцари из первого и второго ряда ушли в разведку, то рыцарей осталось 24. Затем Васины лучники обратили в бегство всех рыцарей, которые остались в первой и второй колоннах. После этого осталось 18 рыцарей. Сколько рыцарей было у Пети изначально?
Задача 5.4. Маша нарисовала в тетради двух человечков. Площадь каждой клеточки равна 1. Площадь какого из человечков больше? Чему равна разница? Если площади одинаковы, в ответ запишите «0».
Задача 5.5. У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухрублёвые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше 20). Сколькими способами Денис сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью 16 рублей? Не обязательно использовать монеты каждого вида.
Задача 5.6. Есть 4 абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани отмечены 6 точек, на другой — 5, …, на оставшейся — 1. Известно, что на любых двух противоположных гранях кубика суммарно 7 точек. Из этих 4 кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях 𝐴, 𝐵, 𝐶?
Задача 5.7. В классе 31 ученик. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по тридцать. Сколько друзей у 31-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)
Задача 5.8. В многодетной семье Ивановых нет близнецов. Репортёр приехал к Ивановым, чтобы взять у них интервью. Во время интервью каждый из детей сказал: «У меня есть старший брат». Немного подумав, репортёр очень удивился. Но отец семейства объяснил, что некоторые дети пошутили, и лишь шестеро сказали правду. Сколько детей может быть в этой семье, если известно, что мальчиков у Ивановых на 4 больше, чем девочек? Укажите все возможные варианты.
Олимпиада по математике 6 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 6.1. Клеточки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя соседними числами записали их сумму. Некоторые числа стёрли, и получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в самой верхней клеточке?
Задача 6.2. Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября. • 1 сентября они суммарно получили 10 пятёрок, причём Петя получил пятёрок больше, чем Вася; • 2 сентября Вася получил 3 пятёрки, а Петя не получил ни одной; • по итогам этих двух дней Вася получил больше пятёрок, чем Петя. Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?
Задача 6.3. Фишку поставили на некоторую клетку доски 5×5. Передвигая фишку на соседнюю по стороне клетку, обошли всю доску за исключением одной клетки и вернулись на стартовую позицию. В каждой клетке, кроме начальной, фишка побывала не более одного раза. На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некоторых клеток. Выберите на картинке клетку, в которую фишка не заходила.
Задача 6.4. На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой 1. Например, если попытаться напечатать число 1231234, то пропечатается только число 23234. Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?
Задача 6.5. На прямой отмечены 5 точек 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇, именно в таком порядке. Известно, что сумма расстояний от 𝑃 до остальных 4 точек равна 67, а сумма расстояний от 𝑄 до остальных 4 точек равна 34. Найдите длину отрезка 𝑃𝑄.
Задача 6.6. Женя покрасил три грани белого кубика 6 × 6 × 6 в красный цвет. Затем он распилил его на 216 одинаковых маленьких кубиков 1 × 1 × 1. Сколько у него могло получиться маленьких кубиков без красных граней? Укажите все возможные варианты.
Задача 6.7. Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый со своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на 6 кругов больше бенгальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на 10 км/ч, и к 15:00 он суммарно пробежал уже на 17 кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина круга?
Задача 6.8. В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A» • девочка Таня дружит с 12 мальчиками; • девочка Даша дружит с 12 мальчиками; • девочка Катя дружит с 13 мальчиками; • у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков. Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.
Олимпиада по математике 7 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 7.1. Решите ребус 𝐶,𝐵𝐴 + 𝐴,𝐴𝐴 = 𝐵,𝐴. (Разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами — одинаковые цифры.)
Задача 7.2. Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по 3000 рублей в банк, а через год все деньги снять. Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на 20%, но при снятии банк взимает комиссию 10%. Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на 40%, но при снятии банк взимает комиссию 20%. («Банк взимает комиссию 𝑛%» означает то, что банк оставляет себе 𝑛% от текущей величины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.) Кто получит большую годовую прибыль от вклада? Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях. Если прибыль одинакова, то запишите 0.
Задача 7.3. Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели 86 конфет, причём каждый из них съел не менее 5 конфет. Известно, что: • Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков; • Крош и Ёжик суммарно съели 53 конфеты. Сколько конфет съела Нюша?
Задача 7.4. На рисунке ниже • три синие фигуры — квадраты; • оранжевая фигура — квадрат со стороной 18; • точка 𝐴 — центр зелёной окружности; • точка 𝐵 — центр красной окружности. Найдите длину отрезка 𝐶𝐷.
Задача 7.5. В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фисташки. Степан хочет купить 1 килограмм орехов одного вида и ещё 1 килограмм орехов — другого. Он вычислил, во сколько ему может обойтись такая покупка в зависимости от того, какие два вида орехов он выберет. Пять из шести возможных покупок Степана стоили бы 1900, 2070, 2110, 2330 и 2500 рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой возможной покупки?
Задача 7.6. Магический квадрат — это таблица 3 × 3, в которой расставлены числа так, что суммы по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям одинаковы. На рисунке изображён магический квадрат, в котором все числа, кроме трёх, стёрты. Найдите, чему равно число в левом верхнем углу квадрата.
Задача 7.7. Все 25 учеников 7 «А» класса участвовали в викторине из трёх туров. В каждом туре каждый участник набрал некоторое количество очков. Известно, что в каждом туре, а также по сумме всех трёх туров все участники набрали различное количество очков. Ученик 7 «А» Коля в первом туре викторины оказался третьим, во втором — четвёртым, а в третьем — пятым. Какое самое низкое место мог занять Коля среди всех одноклассников по сумме очков за все три тура викторины?
Задача 7.8. Набор из 28 различных доминошек выглядит так: Все эти 28 доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся половинках доминошек одинаково. На некоторых половинках полностью стёрли количество точек. В итоге получилась конструкция, изображённая на рисунке ниже (пустые половинки могли быть изначально пустыми, а могли содержать какое-то количество точек).
Олимпиада по математике 8 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 8.1. Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя соседними числами записали их среднее арифметическое. Некоторые числа стёрли, и получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в правой нижней клетке? (Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, разделённая на 2.)
Задача 8.2. Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал число 1, во вторую — 2, в третью — 3 и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей, то она записывает его себе в тетрадь, в конец текущей строки (одно число за другим, без пробелов и запятых). Спустя 𝑛 секунд у Маши в тетради оказалось записано 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3. Какое наименьшее значение может принимать 𝑛?
Задача 8.3. На стороне 𝐵𝐶 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐾. Точка 𝐻 на отрезке 𝐴𝐾 такова, что ∠𝐴𝐻𝐷 = 90∘ . Оказалось, что 𝐴𝐾 = 𝐵𝐶. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐷𝐻, если ∠𝐶𝐾𝐷 = 71∘ ?
Задача 8.4. По кругу стоят 36 детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту. Известно, что рядом с каждым мальчиком стоит девочка, а рядом с каждой девочкой стоит человек в синей кофте. Найдите наибольшее возможное количество девочек в красных кофтах.
Задача 8.5. Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на 35 минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если известно, что его скорость в 4,5 раза меньше скорости автомобиля?
Задача 8.6. Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа 𝑘 и их пронумеровал: первый, второй, …. Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число 𝑘. Сколько натуральных делителей имеет число 𝑘?
Задача 8.7. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐵𝐻. Оказалось, что 𝐶𝐻 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐻. Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐴𝐶, если ∠𝐴𝐵𝐶 = 84∘ ?
Задача 8.8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз: • «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего» • «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего». Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно 5 раз. Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 жителей? Укажите все возможные варианты.
Олимпиада по математике 9 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 9.1. В магазине продаётся 20 товаров, стоимости которых — различные натуральные числа от 1 до 20 рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых 5 товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой товар получит бесплатно. Влад хочет купить все 20 товаров в этом магазине, заплатив как можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из 20 товаров продаётся в 1 экземпляре.)
Задача 9.2. Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?
Задача 9.3. Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке. Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?
Задача 9.4. Простое число 𝑝 таково, что число 𝑝+25 является седьмой степенью простого числа. Чему может быть равно 𝑝? Укажите все возможные варианты.
Задача 9.5. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз: • «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего». • «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего». Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих 80 жителей?
Задача 9.6. Дан тупоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с тупым углом 𝐶. На его сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно так, что ∠𝐴𝐶𝑃 = 𝐶𝑃𝑄 = 90∘ . Найдите длину отрезка 𝑃𝑄, если известно, что 𝐴𝐶 = 25, 𝐶𝑃 = 20, ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴 + ∠𝐵.
Задача 9.7. Дан квадратный трёхчлен 𝑃(𝑥), старший коэффициент которого равен 1. На графике 𝑦 = 𝑃(𝑥) отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите 𝑃(20).
Задача 9.8. В таблице 8 × 12 некоторые 𝑁 клеток — чёрные, а остальные — белые. За одну операцию разрешается покрасить три клетки, образующие трёхклеточный уголок, в белый цвет (некоторые из них ещё до перекрашивания могли быть белыми). Оказалось, что таблицу невозможно сделать полностью белой менее чем за 25 таких операций. Найдите наименьшее возможное значение 𝑁.
Олимпиада по математике 10 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 10.1. Саша уже неделю смотрит все серии интересного сериала подряд. Вчера Саша посмотрел 9 серий, а сегодня всего 6. Оказалось, что сумма номеров всех серий, просмотренных вчера, равна сумме номеров всех серий, просмотренных сегодня. Какой номер имеет последняя просмотренная Сашей серия? (Серии нумеруются последовательными натуральными числами, начиная с 1.)
Задача 10.2. В магазине продаются 15 видов шоколада. За неделю Андрей попробовал 6 видов, Борис — 11, а Денис — 13. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегустировали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Борис?
Задача 10.3. Дан прямоугольник 7 × 10. Чему равна площадь закрашенной фигуры?
Задача 10.4. В ряду чисел 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …, 201, 201, …, 201 каждое число 𝑛 встречается ровно 𝑛 раз для всех 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 201. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну. Определите это число.
Задача 10.5. Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального числа 𝑛 равна 10327. Какое наименьшее значение может принимать 𝑛?
Задача 10.6. На плоскости дана точка 𝑃. Какое наименьшее количество прямых, не проходящих через точку 𝑃, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с началом в точке 𝑃 пересекал хотя бы 170 выбранных прямых?
Задача 10.7. На окружности 𝜔 по разные стороны от диаметра 𝐴𝐶 расположены точки 𝐵 и 𝐷. Известно, что 𝐴𝐵 = 3√6, 𝐶𝐷 = 3, а площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 в три раза больше площади треугольника 𝐵𝐶𝐷. Найдите радиус окружности 𝜔.
Задача 10.8. Сколько существует троек натуральных чисел (𝑎, 𝑏, 𝑐), удовлетворяющих равенству max(𝑎, 𝑏) ⋅ max(𝑐, 12) = min(𝑎, 𝑐) ⋅ min(𝑏, 24)? Здесь min(𝑥, 𝑦) — это наименьшее из чисел 𝑥 и 𝑦, а max(𝑥, 𝑦) — наибольшее из чисел 𝑥 и 𝑦.
Олимпиада по математике 11 класс задания и ответы школьный этап 2022
Задача 11.1. Маша живёт в квартире№290, которая находится в 4-м подъезде 17-этажного дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах дома на всех 17 этажах; номера квартир начинаются с 1.)
Задача 11.2. На столе лежат 30монет: 23 десятирублёвых и 7 пятирублёвых, причём20 из этих монет лежат вверх орлом, а остальные 10 — решкой. При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 монет обязательно найдётся десятирублёвая монета, лежащая орлом вверх?
Задача 11.3. Произведение положительных чисел 𝑎 и 𝑏 равно 1. Известно, что (3𝑎 + 2𝑏)(3𝑏 + 2𝑎) = 295. Найдите 𝑎 + 𝑏.
Задача 11.4. Выпуклый пятиугольник𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 таков, что ∠𝐴𝐵𝐶 = 128∘ , ∠𝐶𝐷𝐸 = 90∘ , ∠𝐴𝐸𝐷 = 104∘ , 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐸 = 𝐸𝐷. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐷𝐵?
Задача 11.5. При каком наименьшем натуральном 𝑛 можно расставить числа от 1 до 𝑛 по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех 40 следующих за ним по часовой стрелке, либо меньше всех 30 следующих за ним по часовой стрелке?
Задача 11.6. У многочлена 𝑃(𝑥) все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что 𝑃(1) = 4 и 𝑃(5) = 152. Чему равно 𝑃(11)?
Задача 11.7. Центры шести сфер радиуса 1 расположены в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы 𝑆 с центром в центре шестиугольника. Сфера 𝑃 касается шести сфер внешним образом и сферы 𝑆 внутренним образом. Чему равен радиус сферы 𝑃?
Задача 11.8. В таблице 28 × 35 некоторые 𝑘 клеток покрашены в красный цвет, ещё 𝑟 — в розовый, а оставшиеся 𝑠 — в синий. Известно, что • 𝑘 ⩾ 𝑟 ⩾ 𝑠; • у каждой граничной клетки есть хотя бы 2 соседа такого же цвета; • у каждой неграничной клетки есть хотя бы 3 соседа такого же цвета. Какое наименьшее значение может принимать величина 𝑘 − 𝑠? (Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы. Соседями называются клетки, имеющие общую сторону.)