Автор Видео урок с теорией и практикой «Стереометрия с нуля до уровня ЕГЭ 2024» задание №14 по математике 11 класс профильный уровень задания с ответами и видео решением прошлых лет от школы школково.
Видео урок по стереометрии ЕГЭ 2024 профиль математика
Задания №14 с ответами
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M, N и K — середины ребер CD, B1C1 и AA1 соответственно. Постройте сечение куба плоскостью (KMN).
2. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Точка K — середина ребра A1B1, точка L делит ребро A1C1 в отношении A1L : LC1 = 2 : 1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, K и L.
3. Точка O — центр основания правильной четырехугольной пирамиды MABCD. Точки K и P на отрезках MO и MB соответственно делят их в равных отношениях MK : KO = = BP : PM = 2 : 1, точка H на ребре MA такова, что MH : HA = 3 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, P и H.
4. Точки P, K и H делят ребра MC, MA и MB правильной четырехугольной пирамиды MABCD соответственно в равных отношениях MP : P C = MK : KA = BH : HM = 2 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, P и H.
5. Точка M — середина ребра CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, A1 и C1. 6. Точка M — середина ребра AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым CB1 и BD.
7. Точка M лежит на ребре AB треугольной пирамиды ABCD, причем AM : MB = 1 : 2. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и середины ребер BC и AD. б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро CD?
8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На ребрах AA1 и BC отмечены точки M и N соответственно, причем AM : MA1 = 2 : 1, а N — середина BC. Найдите сечение куба плоскостью (DMN).
9. Дан куб ABCDA1B1C1D1, точка K — середина ребра AA1. Постройте сечение куба плоскостью α, проходящей через точки K и B параллельно диагонали A1C.
10. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M : MD1 = 2 : 3, а точка K — середина ребра DD1. Докажите, что плоскость (MKC) параллельна прямой BD.
11. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : P B = 1 : 3, а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку P Q. а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру AB. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок P Q, считая от точки P, если известно, что AB = AA1, AB : BC = 2 : 7.
12. B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN : ND1 = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB1. Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
13. Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH — высоты треугольника ABC. а) Докажите, что AC2 − BC2 = AS2 − BS2 . б) Найдите объём пирамиды SABC, если AB = 25, AC = 10, BC = 5√ 13, SC = 3√ 10.
14. Дан правильный треугольник ABC и точка D, не лежащая в плоскости треугольника и взятая таким образом, что cos ∠DAC = cos ∠DAB = 0,2. а) Докажите, что прямые DA и BC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми DA и BC, если AB = 2.
15. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основанием высоты SO этой пирамиды является середина ребра AB. а) Докажите, что SA = SC. б) Найдите угол между плоскостями (SAC) и (ABC), если AC = 16, AB = 20, SA = 26.
16. Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : F C = 2 : 1. Докажите, что плоскость (BEF) пересекает ребро SD в его середине.
17. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E. Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
18. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1. Докажите, что плоскость (CKM) перпендикулярна плоскости (ABC).
19. Дана пирамида SABC, в которой SC = SB = √ 17, AB = AC = √ 29, SA = BC = 2√ 5. a) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC. б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью (SBC).
20. Дана пирамида SABC, в которой SC = SB = AB = AC = √ 17, SA = BC = 2√ 5. а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC. б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
21. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 8. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1. Докажите, что плоскость (MNB1) разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
22. Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне BC основания ABCD. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA. а) Плоскость α пересекает ребро SD в точке L. Докажите, что BN : NC = DL : LS. б) Пусть BN : NC = 1 : 2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду SABCD.
23. Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK : KC = 2 : 3. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 2. a) Докажите, что BM : MD = 2 : 3. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости (KLM), если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 25.
24. В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки A и B. На окружности верхнего основания отмечены точки B1 и C1 так, что BB1 является образующей цилиндра, перпендикулярной основаниям, а AC1 пересекает ось цилиндра. Докажите, что прямые AB и B1C1 перпендикулярны.
25. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB — диаметр основания. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60◦ . Докажите, что cos ∠ASC + cos ∠CSB = 1,5.
26. Точка M — середина ребра SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N принадлежит ребру SB, причем SN : NB = 1 : 2. Докажите, что плоскость (CMN) параллельна прямой SD.
Все 2 задачи векторы из сборника ЕГЭ 2024 Ященко
Все 2 задачи векторы из сборника ЕГЭ 2024 Ященко математика профиль с ответами