Автор Данное учебное пособие предназначено для углубленного изучения элементов теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики в 7–9 классах средней школы. Оно может быть использовано на факультативных и кружковых занятиях для предпрофильной подготовки школьников.
Ссылка для скачивания сборника: скачать
Teoria_veroyatnostey_posobieЦель книги – ввести читателя, знающего математику только в объеме неполной средней школы, в достаточно широкий круг понятий теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики. В каждом параграфе разбираются задачи определенного типа, а затем аналогичные задачи предлагаются для самостоятельного решения.
Для изучения большей части изложенного материала достаточно знания школьной арифметики. В нескольких параграфах пособия используются неравенства и квадратные уравнения. Много места отведено табличным и графическим методам решения различных типовых вероятностных задач.
Задачи из сборника
7. В билетной кассе конечной станции железной дороги продаются билеты до пунктов И, К, Л, М, Н, О, П, Р. Пункты перечислены в порядке удаления от конечной станции. Событие А — пассажир купит билет до пункта М, событие В — пассажир купит билет не дальше пункта М, событие С — пассажир купит билет дальше пункта М.
8. Учитель наметил опросить на уроке учеников: Иванова, Петрову, Сидорову, Круглова и Громова. Первый ученик вызывается для опроса наугад. Событие А — первой вызовут Петрову, событие В — первым вызовут или Иванова, или Громова, событие С – первым вызовут или Иванова, или Сидорову, или Круглова. . Генератор случайных чисел может показать любое целое число от 0 до
3.6. На экскурсию в другой город может поехать только половина класса. Поэтому класс разбили на две группы и подбрасыванием монеты разыгрывают между ними эту поездку. Первая группа загадала, что выпадет «орел». Какова вероятность, что поедет именно она?
3.7. На соревнованиях у стрелка остался один выстрел, а чтобы победить, ему обязательно нужно попасть в мишень. Повторные стрельбы показывают, что для стрелка вероятность попадания в мишень равна 0,9. Чему равна вероятность победы стрелка в соревновании перед последним выстрелом?
3.8. Из урны, где лежат восемь черных и шесть белых шаров, вытаскивают один шар наугад. Чему равна вероятность, что достанут черный шар? Чему равна вероятность, что достанут белый шар?
3.9. Из урны, где лежат три красных, четыре зеленых и пять желтых шаров, вытаскивают один наугад. Чему равна вероятность, что достанут красный шар? Чему равна вероятность, что достанут желтый шар? Зеленый шар? Красный или желтый шар? Красный или зеленый шар? Желтый или зеленый шар?
3.10. Один человек записывает любое целое число от одного до десяти, а другой пытается это число отгадать. Чему равна вероятность, что записано число три? Чему равна вероятность, что загаданное число больше или равно пяти? Чему равна вероятность, что загаданное число меньше пяти? Чему равна вероятность, что загаданное число четное? Нечетное? Кратное трем? Простое? Указание. Для удобства решения изобразите графически все события, о которых идет речь в задаче.
3.11. Из коробки, где лежат один карандаш марки 3Т, два карандаша марки 2Т, один карандаш марки Т, три – марки М, два – марки 2М, вытаскивают наугад один карандаш. Чему равна вероятность, что вытащат карандаш марки 2Т? Марки 2М? Чему равна вероятность, что вытащат твердый карандаш (марки либо 3Т, либо 2Т, либо Т)? Мягкий карандаш (марки либо М, либо 2М)?
3.13. В партии из 1000 изделий двадцать изделий бракованные. Какова вероятность, что взятое наугад изделие бракованное? Соответствует стандартам?
3.14. Из копилки, где лежат 25 монет по рублю, 12 монет по два рубля и 3 монеты по пять рублей, достают одну монету наугад. Какова вероятность, что достанут монету достоинством в два рубля? В пять рублей? Достоинством меньше пяти рублей? Достоинством больше одного рубля?
3.15. На столе картинками вниз лежат 16 карт четырех мастей (пиковой, трефовой, бубновой и червовой): четыре туза, четыре короля, четыре дамы и четыре валета. Одну карту открывают наугад. Какова вероятность, что откроют червового туза? Даму пик? Короля любой масти? Либо туза, либо валета любых мастей? Карту трефовой масти?
3.16. В классе 25 человек. Из них двое отличников, пять учатся на хорошо и отлично, семь – на отлично, хорошо и удовлетворительно, восемь — на хорошо и удовлетворительно, а остальные — на удовлетворительно. Новый учитель вызывает наугад к доске ученика. Какова вероятность, что он вызовет ученика, не имеющего троек? Не имеющего пятерок? Не имеющего ни четверок, ни пятерок?
3.17. Из урны, где лежат черные и белые шары, наугад достают один шар. Какова вероятность, что достанут белый шар, если черные шары составляют 40% от общего числа шаров в урне?
3.18. Какова вероятность, что любая взятая наугад для проверки деталь с конвейера окажется бракованной, если брак при производстве деталей составляет 7%? Какова вероятность, что эта деталь будет соответствовать стандартам?
3.19. На новогодний вечер заготовлено число подарков по числу приглашенных. Подарки раздаются по ходу праздника по одному каждому приглашенному. Какова вероятность, что взятый наугад гость еще не получил подарка, если роздано 78% подарков?
3.20. В коробке лежат гайки разных размеров. Нужно подобрать одну для болта. Гайки нужного размера составляют 15% от общего числа гаек в коробке. Какова вероятность, что взятая наугад гайка подойдет к болту? Не подойдет к болту?
3.21. В футбольном первенстве соревнования проводятся по круговой системе в один круг. Сыграно 60% всех матчей, и каждая команда сыграла одинаковое число игр. Какова вероятность, что взятые наугад две команды не играли между собой?
6.25. В магазине продаются однотипные телефонные аппараты красного и белого цветов. Опыт продаж показывает, что белых телефонов покупают в два раза больше, чем красных. В магазин зашли трое незнакомых друг с другом покупателей. Каждый из них собирается купить телефон. Подсчитайте вероятности, что эти покупатели купят:
- 1) телефоны одного цвета;
- 2) два красных и один белый телефон;
- 3) не менее двух белых телефонов.
6.26. Взяли три колоды карт пиковой и трефовой мастей. Известно, что в первой колоде карт трефовой масти в два раза больше, чем карт пиковой масти. Во второй колоде число карт обеих мастей одинаково. В третьей колоде числа карт трефовой и пиковой мастей находятся в соотношении 1:3. Из каждой колоды наугад достают одну карту. Подсчитайте вероятности, что достанут:
- 1) три карты одной и той же масти;
- 2) две карты пиковой масти и карту трефовой масти;
- 3) не менее двух карт трефовой масти.
6.27. По лесной тропинке катятся друг за другом четыре Колобка. Тропинка раздваивается. В конце левой тропинки Колобков поджидает Лиса, а в конце правой тропинки – Медведь. Колобки на развилке выбирают дорогу наугад независимо друг от друга. Подсчитайте вероятности, что:
- 1) все Колобки прикатятся к одному зверю (или к Лисе, или к Медведю);
- 2) к Медведю прикатятся три Колобка, а к Лисе – один;
- 3) и к Медведю, и к Лисе прикатится одинаковое число Колобков.
6.28. В урне лежат пять белых и четыре черных шара. Наугад по схеме с возвращением вынимают четыре шара. Подсчитайте вероятности, что достанут:
- 1) одни белые шары;
- 2) шары одного цвета;
- 3) одинаковое число черных и белых шаров;
- 4) три белых и один черный шар;
- 5) хотя бы один черный шар.