Автор Региональный этап 2026 всероссийской олимпиады школьников по математике задания, ответы и решения для 9, 10, 11 класса 1-2 тур. Данная олимпиада прошла у школьников 2-3 февраля 2026 года. Результаты участников и количество набранных баллов будут известны позднее.
→ Скачать задания и решения 1 тура
→ Скачать задания и решения 2 тура
Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, задачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого класса составляет 3 часа 55 минут.
Олимпиада по математике 9-11 класс региональный этап 2026
mat-olimpiada-vos-2026-1turЗадания и решения 2 тура олимпиады школьников
2tur-olimpiada-region-2026-matematikaРазбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур оканчивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше, чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения, нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать всё вышеперечисленное.
Задания и ответы для 9 класса
1. В клетчатом квадрате 11×11 отметили все 144 вершины клеток. Затем отмеченные точки раскрасили в пять цветов. При каком наибольшем d могло оказаться, что расстояние между любыми двумя одноцветными отмеченными точками не меньше d?
2. Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек (ровно из одной из таких куч, если их несколько). Выигрывает тот, кто заберёт последнюю спичку. Кто из мальчиков может играть так, чтобы гарантированно выиграть?
3. Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a − 1)(b − 1)(c − 1) делится на n 2 ?
4. Выпуклые четырёхугольники ABCD и KLMN расположены так, что прямые KL, LM, MN и NK являются биссектрисами внешних углов A, B, C и D четырёхугольника ABCD соответственно. При этом ABCD не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P. Докажите, что если ∠BAD = ∠BCD < 90◦ , то P A = P C.
5. Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске 8 × 8, поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им 21 ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и к доске подходит следующий ребёнок. Четыре ребёнка по очереди выполнили задание. Обязательно ли после этого найдутся такие две клетки A и B, что хотя бы два ребёнка сделали ход королём с клетки A на клетку B?
6. Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Прямая AO пересекает отрезок BC в точке D. Точка E выбрана на отрезке BC так, что D — середина отрезка CE. Основание T перпендикуляра, опущенного из E на CO, лежит в треугольнике ABD. Прямая BT пересекает окружность, описанную около треугольника ABD, в точке K. Докажите, что прямые AK и CO параллельны.
7. В большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании (если A знаком с B, то и B знаком с A). Оказалось, что у любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара незнакомых друг с другом людей. При каком наибольшем k можно утверждать, что в компании найдётся такой человек, что среди его 100 знакомых найдутся хотя бы k различных пар людей, в каждой из которых люди не знакомы друг с другом? (Один человек может входить в несколько таких пар.)
Задания и ответы для 10 класса
1. У Даши и у Саши есть по доске 9×9. Даша укладывает на свою доску 40 не перекрывающихся плиток 1×2 (так, что плитки занимают 80 клеток, а одна клетка остается не покрытой). Пусть у нее есть D способов сделать это. Саша красит на своей доске 41 единичных отрезков-границ между соседними клетками, так, чтобы для каждой клетки доски хотя бы одна ее сторона была покрашена. Пусть у Саши S способов сделать это. Докажите, что S ⩽ 2D.
2. Периметр выпуклого пятиугольника ABCDE равен 2. Пусть Oa, Ob , Oc, Od , Oe — центры описанных окружностей треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA соответственно. Пусть Ma, Mb , Mc, Md , Me — середины отрезков AOa, BOb , COc, DOd , EOe соответственно. Докажите, что MaMb + MbMc + McMd + MdMe + MeMa ⩾ 1.
3. В Средиземье 1000 графств, в одном из которых находится волшебное Кольцо. Раз в день Маг может выбрать любое подмножество графств, и получить от волшебного Камня ответ, есть ли Кольцо в одном из этих графств. Камень может ошибиться, но никогда не ошибается два дня подряд. Маг может совершать данное действие некоторое количество дней, после чего он должен отправить гонцов в некоторые k графств, в одном из которых наверняка находится Кольцо. При каком наименьшем k Маг может это сделать?
4. На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что полученные 8 сумм представляют собой 8 последовательных натуральных чисел?
5. На координатной плоскости проведена прямая ax+by+c = 0, где a, b, c — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности x 2 + y 2 = 1. Докажите, что если взять три отрезка с длинами a, b, c, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
6. В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возможное количество пар друзей.
7. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠BAC = 60◦ . Точки D и E симметричны его центру описанной окружности O относительно сторон AB и AC соответственно. Прямая DE пересекает отрезки AB и AC в точках F и G соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BDF и CEG касаются.
8. Дан многочлен f третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент f равен 1 или −1. Известно, что f имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений |f(1)|, |f(2)|, |f(3)|, . . . встретится квадрат натурального числа.
Задания и ответы для 11 класса
1. Две равные окружности ω1 и ω2 проходят через точку A. На окружности ω1 отмечена точка B так, что прямая AB касается окружности ω2 . На окружности ω2 отмечена точка C так, что прямая AC касается окружности ω1 . Прямая, проходящая через точку A, повторно пересекает окружность ω1 в точке X и окружность ω2 в точке Y . Докажите, что один из отрезков BX, CY и XY равен сумме двух других.
2. Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек (ровно из одной из таких куч, если их несколько). Выигрывает тот, кто заберёт последнюю спичку. Кто из мальчиков может играть так, чтобы гарантированно выиграть?
4. Две бесконечные последовательности a1 , a2 , . . . и b1 , b2 , . . . натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число am−bk делится на m−k. Обязательно ли an = bn при всех натуральных n?
5. Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти ребра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных ребер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?
6. Существуют ли такие составные натуральные числа m > n > 1, что у чисел m, n, m + n и m − n наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?
7. По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел a и b вычислили значение выражения ab a − b . Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным?
9. Даны натуральные числа n > k ⩾ 2. В клетчатом квадрате n × n закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата k × k. Какое наибольшее число клеток может быть закрашено?
Смотрите на сайте олимпиады задания прошлых лет
Региональный этап 2025 олимпиада по математике 9, 10, 11 класса задания и ответы ВСОШ