Автор Региональный этап 2025 всероссийской олимпиады школьников по математике задания, ответы и решения для 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников 31 января — 1 февраля 2025 года. Предварительные результаты ВСОШ будут известны позднее. Критерии и решение опубликованы после заданий.
Сборник содержит материалы для проведения III этапа LI Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Центральной предметно-методической комиссией по математике Всероссийской олимпиады школьников. Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, задачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого класса составляет 3 часа 55 минут
Олимпиада по математике 1 тур региональный этап 2025
otveti_mat_1den_olimpiada_20252 тур всероссийской олимпиады по математике 2025
otveti_mat_2den_olimpiada_2025Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур оканчивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше, чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения, нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать всё вышеперечисленное. Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В комментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) некоторых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим, что работа участника, помимо приведённых, может включать другие содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оценены дополнительно.
Задания и ответы для 9 класса
9.1. На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в 8:00 и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в 8:00 и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в 8:10 и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить Аню на выходе из её дома. (Скорость Ани всегда постоянна, скорость Бори тоже постоянна.)
9.2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса CD. На основании AC отмечена точка F так, что BD = CF. Точка E выбрана таким образом, что четырехугольник CDEF — параллелограмм. Докажите, что BE = BF.
9.3. Даны квадратные трёхчлены P(x) и Q(x); обозначим pn = P(n) и qn = Q(n). Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую: на первой минуте — прямую с уравнением y = p1x + q1, на второй — с уравнением y = p2x + q2, . . . , на i-й минуте — с уравнением y = pix + qi . Через некоторое время Саша нашёл три нарисованные прямые, которые проходят через одну точку. Докажите, что все нарисованные прямые проходят через одну точку.
9.4. В каждой клетке доски 2 × 200 лежит по рублевой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все
9.5. Найдите все такие пары целых чисел m и n > 2, что ((n − 1)! − − n) · (n − 2)! = m(m − 2). Напомним, что k! = 1 · 2 · . . . · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k.
9.6. Саша взял кусок нити. Он сложил ее пополам, затем еще раз пополам, и так 10 раз. Потом он взял ножницы и разрезал полученную конструкцию в одном месте (таким образом, он перерезал нить в 1024 местах). В итоге нить распалась на куски. Оказалось, что длины этих кусков принимают лишь два различных значения, наименьшее из которых равно 10 см. Найдите все возможные значения длины исходной нити.
9.7. Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся ещё ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.
9.8. На столе по кругу выложили 100 двухрублёвых и N пятирублёвых монет в некотором порядке. Известно, что выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа N .
9.9. На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. Выясните, при каких α можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на α л?
9.10. Пусть M — середина стороны BC треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B нашлась такая точка D, что ∠ADM = ∠ACM = 30◦ . Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ACD. Найдите угол OBC.
Задания и ответы для 10 класса
10.1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + c имеет два различных вещественных корня x1 и x2. Известно, что f(x1 + x2) = 2025. Чему может равняться c?
10.2. В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно ещё 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелёта?
10.3. Положительные числа a, b, c таковы, что a 2 b + b 2 c + c 2a = 2 и ab2 + bc2 + ca2 = 4. Докажите, что из чисел a, b, c какие-то два отличаются более чем на 2.
10.4. Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить конечное число узлов сетки так, чтобы было отмечено не менее двух точек, и для любой пары отмеченных точек нашлась бы отмеченная точка, равноудалённая от них?
10.5. Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H, высоты треугольника ADE пересекаются в точке F, а точка M – середина стороны BC. Докажите, что 𝐵𝐻 + 𝐶𝐻 ≥ 2𝐹𝑀.
10.6. Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Может ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа?
10.7. Дана трапеция ABCD. Известно, что ∠DAB = ∠ABC = = 90◦ , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке E, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников ABE и CDE касаются.
10.8. В клетчатом прямоугольнике 2 × 100 каждую клетку красят в белый или чёрный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник 1 × 2 или 2 × 1. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник 2 × 100 на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы 1 чёрную клетку. Какое наибольшее количество клеток могло быть покрашено в чёрный цвет?
10.9. Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117 3·3·13 = – однобокие, а число 682 2·11·31 = – нет.) Верно ли, что существует возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых – однобокое?
10.10. На графике функции y = x 2 отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка [0; 100000]. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек A, B, C, A′ , B′ , C ′ таких, что площади треугольников ABC и A′B′C ′ равны.
Задания и ответы для 11 класса
11.1. Верно ли, что существует четыре попарно различных положительных числа a , b , c , d , при которых все четыре числа a b a b + − , b c b c + − , c d c d + − , d a d a + − – целые?
11.2. Вещественные числа x, y, z таковы, что 2x > y2+z 2 , 2y > z2+x 2 , 2z > x2 + y 2 . Докажите, что каждое из чисел x, y, z меньше 1.
11.3. В каждой клетке доски 2 200 × лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня – на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша?
11.4. Найдите все такие пары целых чисел m и n > 2, что ((n − 1)! − − n) · (n − 2)! = m(m − 2). Напомним, что k! = 1 · 2 · . . . · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k.
11.5. В треугольнике ABC с углом 100° при вершине A медианы BK и CN пересекаются в точке M. Прямая, проходящая через точку M и параллельная BC, пересекает описанную окружность треугольника AKN в точках Q и P. Найдите сумму углов BPC и BQC.
11.6. Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Может ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа?
11.7. На 2025 островах Северного Ледовитого океана живут несколько медведей. Каждый медведь иногда совершает заплыв, переплывая с одного острова на другой. Оказалось, что за год каждый медведь совершил хотя бы один заплыв, но никакие два медведя не сделали поровну заплывов. При этом между каждыми двумя островами A и B был совершён ровно один заплыв: либо из A в B, либо из B в A. Докажите, что на каком-то острове и в начале, и в конце года не было медведей.
11.8. В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые AB и CD. Точки E и F — середины отрезков AC и BD соответственно. Докажите, что AD + BC 2 > BD − EF.
11.9. Саша выбрал 199 многочленов с вещественными коэффициентами так, что сумма любых ста из них имеет вещественный корень. Докажите, что сумма каких-то девяти из них также имеет вещественный корень.
11.10. Несколько карточек выложили в ряд слева направо, на каждой карточке написана буква русского алфавита. Будем называть набор из 33 карточек идеальным, если на этих карточках выписаны все буквы в алфавитном порядке слева направо. Известно, что при любом выборе одной буквы L русского алфавита найдутся 6 10 идеальных наборов, любые два из которых либо не имеют общих карточек, либо имеют ровно одну общую карточку, на которой написана буква L. При каком наибольшем k в этом ряду гарантированно можно найти k идеальных наборов, любые два из которых не имеют общих карточек?
Смотрите на сайте задания прошлых лет
Региональный этап 2024 ВСОШ олимпиада по математике