Автор Задания, ответы и решения регионального этапа 2023-2024 олимпиады по математике для 9, 10 и 11 классов 1-2 тур, 50-й всероссийская олимпиада школьников ВСОШ проходила 31 января — 1 февраля 2024 года. Результаты будут опубликованы скоро на официальном сайте.
→ Скачать решение и ответы для 1 тура
→ Скачать решение и ответы для 2 тура
Сборник содержит материалы для проведения III этапа 50-й Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задания подготовлены Центральной предметно-методической комиссией по математике Всероссийской олимпиады школьников.
Задания 9 класс олимпиады по математике региональный этап 2024
zadanie-9klass-mat-olimp-region-2024-vosЗадания олимпиады для 10 класса
zadanie-10klass-mat-olimp-region-2024-vosЗадания олимпиады для 11 класса
zadanie-11klass-mat-olimp-region-2024-vosЗадания и ответы с олимпиады
9.1. У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1×1, 1×2, 1×3, …, 1×2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
9.2. На координатной плоскости нарисована парабола 𝑦 = 𝑥 2 . Для данного числа k > 0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диагонали всех таких трапеций проходят через одну точку.
9.3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды A и B, причём в A жителей было больше, чем в B. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший игрок навсегда выходил из игры, а его заменял другой (ещё не игравший) член его команды. Проиграла команда, все члены которой вышли из игры. После турнира каждого члена команды A спросили: «Правда ли, что в какой-то игре ты проиграл лжецу?», а каждого члена команды B спросили: «Правда ли, что ты выиграл хотя бы у двух рыцарей?». Все ответы оказались утвердительными. Какая команда победила – A или B?
9.4. В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500.
9.5. Дан равнобедренный треугольник АВС (AB = BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причем AC = DE и CFE = DEF. Докажите, что ABC = 2DFE.
9.6. На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.
9.7. На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из нее в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча?
9.8. На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP = P Q = QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что P X ⊥ AC и QY ⊥ AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и Y P.
9.9. Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назов¨ем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне T. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.)
9.10. Существует ли натуральное число n > 10100 такое, что десятичные записи чисел n 2 и (n + 1)2 отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел n 2 и (n + 1)2 должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, . . . , поровну цифр 9.)
10.1. У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1×1, 1×2, 1×3, …, 1×2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
10.2. На координатной плоскости нарисована парабола 𝑦 = 𝑥 2 . Для данного числа k > 0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что продолжения боковых сторон всех таких трапеций проходят через одну точку.
10.3. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной ещё не покрашенной точке в зеленый или жёлтый цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря – чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?
10.4. В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500.
10.5. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Центры вписанных окружностей треугольников ABC, ВСD, CDA, DAB являются вершинами выпуклого четырёхугольника, периметр которого равен P. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников AOB, BOC, COD, DOA не превосходит 𝑃⁄2.
10.6. Сергей утверждает, что нашел различные вещественные числа x, y, z такие, что 1 x 2 + x + 1 + 1 y 2 + y + 1 + 1 z 2 + z + 1 = 4. Могут ли слова Сергея быть правдой?
10.7. Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?
10.8. Дан четырехугольник ABCD, в котором ∠A = ∠C = 90◦ . Известно, что его вершины A и D вместе с серединами сторон AB и BC лежат на одной окружности. Докажите, что вершины B и C вместе с серединами сторон AD и DC тоже лежат на одной окружности.
10.9. Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел a, b, c такие, что каждое из чисел a + bc, b + ca, c + ab является простым делителем числа (a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1).
10.10. Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причем дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что все рыцари отвечали на вопрос верно, а все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1. Какое наименьшее число лжецов могло быть среди этих людей?
11.1. У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1×1, 1×2, 1×3, …, 1×2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
11.2. Пусть 𝑥1 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥2024 – возрастающая последовательность натуральных чисел. При i = 1, 2, …, 2024 обозначим 𝑝𝑖 = (𝑥1 − 1 𝑥1 ) (𝑥2 − 1 𝑥2 ) … (𝑥𝑖 − 1 𝑥𝑖 ). Какое наибольшее количество натуральных числе может содержаться среди чисел 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝2024 ?
11.3. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной ещё не покрашенной точке в зеленый или жёлтый цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря – чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?
11.4. На отрезке XY как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка Z на этом отрезке. Девять лучей из точки Z делят развернутый угол XZY на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках A1, A2, …, A9 соответственно (в порядке обхода от X к Y). Докажите, что сумма площадей треугольников A2ZA3 и A7ZA8 равна площади четырехугольника A2A3A7A8.
11.5. Уравнение 𝑡 4 + 𝑎𝑡 3 + 𝑏𝑡 2 = (𝑎 + 𝑏)(2𝑡 − 1) имеет положительные решения 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3 < 𝑡4. Докажите, что 𝑡1𝑡4 > 𝑡2𝑡3.
11.6. У учителя имеется 100 гирь массами 1 г, 2 г, …, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее условие: никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями, а также никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями. Сможет ли учитель это сделать?
11.7. График G1 квадратного трехчлена 𝑦 = 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 с вещественными коэффициентами пересекает график G2 квадратного трехчлена 𝑦 = 𝑥 2 в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Оказалось, что точка С лежит на графике G1. Найдите все возможные значения 𝑝.
11.8. В пространстве расположены 3 отрезка AA1, BB1 и CC1 с общей серединой M. Оказалось, что сфера , описанная около тетраэдра MA1B1C1, касается плоскости ABC в точке D. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что MO = MD.
11.9. Правильный треугольник Т со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовём множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне T. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.)
11.10. Дано натуральное число 𝑛 > 100. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того, чтобы знаменатель оставшейся дроби через 𝑛 минут не превышал 2 𝑛 + 50 вне зависимости от действий Васи.
11.6. У учителя имеется 100 гирь массами 1 г, 2 г, …, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее условие: никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями, а также никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями. Сможет ли учитель это сделать?
11.7. График G1 квадратного трехчлена 𝑦 = 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 с вещественными коэффициентами пересекает график G2 квадратного трехчлена 𝑦 = 𝑥 2 в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Оказалось, что точка С лежит на графике G1. Найдите все возможные значения 𝑝.
11.8. В пространстве расположены 3 отрезка AA1, BB1 и CC1 с общей серединой M. Оказалось, что сфера , описанная около тетраэдра MA1B1C1, касается плоскости ABC в точке D. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что MO = MD.
11.9. Правильный треугольник Т со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовём множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне T. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.)
11.10. Дано натуральное число 𝑛 > 100. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того, чтобы знаменатель оставшейся дроби через 𝑛 минут не превышал 2 𝑛 + 50 вне зависимости от действий Васи.
Порядок проведения, методика и система оценивания (проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 2023–2024 учебного года.
Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 2023–2024 учебного года проводится по заданиям, подготовленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые для всех субъектов РФ сроки: 31 января 2024 г. (I тур) и 1 февраля 2024 г. (II тур). Региональный этап проводится по отдельным заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.
Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, задачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого класса составляет 3 часа 55 минут.
В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации региональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подготовленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со стороны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников, время начала и окончания туров в установленные даты в каждом субъекте РФ должно определяться в соответствии с «Временными регламентами проведения туров регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников в субъектах Российской Федерации в 2023–2024 учебном году» для часовых поясов.
Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур оканчивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше, чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады. Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения, нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.
Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими правилами:
- а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках;
- б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений;
- в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, не содержащего продвижений в решении задачи;
- г) черновики не проверяются. В связи с необходимостью качественной оценки работ участников, на их проверку выделяется до 7 дней.
Для единообразия оценки работ участников олимпиады из разных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ участников регионального этапа.
В случае отсутствия специальных критериев по задаче, ее решение оценивается по приведенной ниже таблице (отметим, что для исключения различий в оценке близких продвижений по задаче в работах разных участников, таблица упрощена по сравнению с приведенной в Требованиях по проведению регионального этапа).
Задания и ответы заключительного этапа 2023
Задания и ответы заключительного этапа 2023 ВСОШ всероссийской олимпиады школьников