Автор Тренировочные задачи для 10-11 классов по геометрии (планиметрии) на тему «Отрезки и углы», равносторонний и равнобедренный треугольники, прямоугольный треугольник, произвольный треугольник, координаты и векторы задания и ответы для подготовки к экзамену. Данные задания можно использовать для проведения проверочной работы.
Практические задачи по геометрии для 10-11 класса
zadanie-geom-10-11klass-plan-11-2024A1. а) Точка M лежит на отрезке AB, AM : MB = 3 : 4, MB = 12. Найдите длину отрезка АВ. б) Точка K лежит на отрезке MN, KN : MN = 2 : 5, MN = 15. Найдите длину отрезка KN.
А2. а) Точка А делит отрезок MN в отношении 2 : 7, считая от точки M, MN = 27. Найдите длину отрезка AN. б) Точка K лежит на отрезке AB, KB : AB = 5 : 6, AB = 18. Найдите длину отрезка AK.
А3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 отмечены три точки: A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
А4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён треугольник ABC. Найдите его биссектрису, проведённую из вершины B. а) б)
А5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён треугольник ABC. Найдите его медиану, проведённую из вершины С. а) б)
А6. а) Угол между прямыми а и b равен 17°, а угол между прямыми a и c равен 33°. Найдите угол между прямыми b и c, если известно, что он меньше 33°. б) Угол между прямыми а и b равен 45°, а угол между прямыми a и c равен 30°. Найдите угол между прямыми b и c, если известно, что он больше 45°.
А7. Прямая b параллельна прямой a, прямая c пересекает прямую a и угол между прямыми а и c составляет 35°. а) Найдите угол между прямыми c и b. б) Найдите угол, смежный углу между прямыми c и b.
А8. а) Даны два смежных угла, один из которых равен 134°. Найдите угол между биссектрисой второго из данных углов и их общей стороной. б) Даны два смежных угла, один из которых равен 36°. Найдите угол между биссектрисой второго из данных углов и их общей стороной.
А9. а) Даны два смежных угла. Биссектриса одного из них образует угол 24° с общей стороной этих углов. Найдите величину второго из данных смежных углов. б) Даны два смежных угла. Биссектриса одного из них образует угол 45° с общей стороной этих углов. Найдите величину второго из данных смежных углов.
А10. Углы AOC и COB смежные. LO и KO — биссектрисы углов AOC и COB соответственно. Угол KOC равен 28°. а) Докажите, что сумма углов LOC и KOC равна 90°. б) Найдите угол AOC.
А11. Из точки O выходит четыре луча — OA, OB, OC и OD. Углы AOC, BOC и BOD равны 53°, 23° и 56° соответственно. а) Найдите угол COD. б) Найдите угол AOD.
А12. Прямая KL пересекает две параллельные прямые AB и СD, LM и KN — биссектрисы углов CLK и LKB соответственно. а) Докажите, что прямые LM и KN параллельны. б) Докажите, что углы KML и KNL равны.
В1. а) Точки K и L лежат на отрезке AB, причём LB : AL = 4 : 7, а AL = 14. Найдите длину отрезка AB. б) Точки P и R лежат на отрезке AB, причём PR : RB = 2 : 1, AR : PR = 5 : 4, а AP = 3. Найдите длину отрезка RB.
В2. а) Точка C принадлежит отрезку AB, причём AC : CB = 5 : 14. Точка D принадлежит отрезку CB, причём CD : DB = 3 : 4. Найдите отношение AD : DB. б) Точка C принадлежит отрезку AB, причём AC : CB = 10 : 7. Точка D принадлежит отрезку AC, причём AD : DC = 2 : 3. Найдите отношение AD : DB.
В3. а) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите длину отрезка MC, если AB = 14, DC = 42, AC = 56. б) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите длину отрезка MC, если AB = 17, DC = 51, AC = 64.
В4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Равносторонний и равнобедренный треугольники
А1. а) Найдите угол В равнобедренного треугольника АВС, если AB = BC, а внешний угол при вершине С равен 124°. б) Найдите угол B равнобедренного треугольника АВС, если AB = BC, а внешний угол при вершине C равен 123°.
А2. а) Найдите внешний угол при вершине А треугольника АВС, если AC = BC, а угол АСВ равен 48°. б) Найдите внешний угол при вершине А треугольника АВС, если AC = BC, а угол АСВ равен 128°.
А3. а) Сторона равностороннего треугольника равна 14 3 . Найдите его высоту. б) Высота равностороннего треугольника равна 13 3 . Найдите его сторону.
А4. а) Найдите среднюю линию равностороннего треугольника, если его периметр равен 126. б) Найдите высоту равностороннего треугольника, если его периметр равен 42 3 .
А5. Треугольник ABC — равносторонний. Известно, что высота AH равна 6. а) Найдите медиану BM. б) Найдите биссектрису CK.
А6. Треугольник ABC — равносторонний. а) Найдите угол между высотой AH и медианой BM. б) Найдите угол между биссектрисой CK и высотой AH.
А7. а) Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах. б) Проектор полностью освещает экран A высотой 90 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 180 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.
А8. а) Найдите высоту равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 30, а основание равно 36. б) Найдите высоту равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 25, а основание равно 40.
А9. а) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 30, а основание равно 32. б) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 40, а основание равно 60.
А10. а) Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найдите площадь этого треугольника. б) Высота равностороннего треугольника равна 3. Найдите площадь этого треугольника.
А11. а) Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 6, а боковые стороны равны 10. Найдите площадь треугольника. б) Основание равнобедренного треугольника равно 24, а его боковые стороны равны 13. Найдите площадь треугольника.
А12. а) Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен 3 7 , а его боковая сторона равна 14. Найдите площадь треугольника. б) Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен 2 5 , а его высота равна 6. Найдите площадь треугольника.
В1. а) Найдите основание равнобедренного треугольника, если его высоты равны 3, 3 и 6. а) Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его высоты равны 4, 4 и 10.
B2. а) Расстояние от точки пересечения биссектрис равнобедренного треугольника до его основания равно 3 см, а до вершины, противолежащей этому основанию, — 5 см. Найдите площадь треугольника. б) Расстояние от точки пересечения биссектрис равнобедренного треугольника до его основания равно 4 см, а до вершины, противолежащей этому основанию, — 5 см. Найдите площадь треугольника.
B3. а) Серединные перпендикуляры к боковым сторонам равнобедренного треугольника пересекаются в середине его основания. Найдите площадь треугольника, если длина его боковой стороны равна 5 см. б) Серединные перпендикуляры к боковым сторонам равнобедренного треугольника пересекаются в середине его основания. Найдите площадь треугольника, если сумма длин его боковых сторон равна 6 см.
С1. а) Найдите углы треугольника ABC, если из следующих четырёх утверждений о нём три истинны, а одно ложно: 1) треугольник ABC — равнобедренный; 2) треугольник ABC — прямоугольный; 3) сумма двух любых углов треугольника ABC меньше 132°; 4) один из углов треугольника ABC равен 80°. б) Найдите углы треугольника ABC, если из следующих четырёх утверждений о нём три истинны, а одно ложно: 1) треугольник ABC — равнобедренный; 2) треугольник ABC — прямоугольный; 3) сумма двух любых углов треугольника ABC меньше 126°; 4) один из углов треугольника ABC равен 70°.
С2. а) Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена прямая, пересекающая сторону АВ. Расстояния от вершин А и В до этой прямой равны соответственно 1 и 7. Найдите сторону треугольника АВС. б) Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена прямая, пересекающая продолжение стороны АВ за точку А. Расстояния от вершин А и В до этой прямой равны соответственно 2 и 5. Найдите сторону треугольника АВС.
С3. а) Точка М выбрана на боковой стороне АС равнобедренного треугольника АВС так, что AM = 3. Найдите ВМ, если AB = AC = 9, BC = 6. б) Точка М выбрана на боковой стороне АС равнобедренного треугольника АВС так, что AM = 4. Найдите ВМ, если AB = AC = 16, BC = 8.
С4. а) Биссектриса угла С равнобедренного треугольника АВС пересекает боковую сторону АВ в точке D. Площади треугольников АСD и ВСD равны соответственно 4 и 2,5. Найдите длину основания АС треугольника АВС. б) Биссектриса угла С равнобедренного треугольника АВС пересекает боковую сторону АВ в точке D. Площади треугольников АСD и ВСD равны соответственно 12 и 6,5. Найдите длину основания АС треугольника АВС.
Прямоугольный треугольник
А1. а) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34°. Найдите его другой острый угол. б) Внешний угол острого угла прямоугольного треугольника равен 137°. Найдите другой его острый угол.
А2. а) В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 37°. Найдите больший из углов, на которые высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол. б) В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых равен 58°. Найдите меньший угол данного треугольника.
А3. а) Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l столба, если высота h горки равна 3. б) Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l столба, если высота h горки равна 3,7.
А4. а) Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах. б) Пожарную лестницу длиной 20 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 12 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.
А5. а) Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах. б) Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 9 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.
А6. а) Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. Найдите высоту, на которой находится верхний конец этой лестницы, если её нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м. Ответ дайте в метрах. б) Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. Найдите высоту, на которой находится верхний конец этой лестницы, если её нижний конец отстоит от ствола дерева на 2 м. Ответ дайте в метрах.
А7. а) Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите его гипотенузу. б) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
А8. а) Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если гипотенуза равна 54. б) Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна 32.
А9. а) Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника. б) Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
А10. а) В прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 60°, гипотенуза равна 48. Найдите наименьший катет. б) В прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 30°, меньший катет равен 27. Найдите гипотенузу.
А11. а) В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой, гипотенуза AB равна 5, косинус угла B равен 3 5 . Найдите сторону AC. б) В прямоугольном треугольнике ABC угол A — прямой, тангенс угла C равен 3 4 , сторона AC равна 8. Найдите гипотенузу BC.
А12. а) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 12, а другой катет равен 16. б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 15, а гипотенуза равна 17.
А13. а) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 16, а гипотенуза равна 34. б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 28, а гипотенуза равна 35.
А14. а) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 , а один из катетов равен 2. б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 , а один из катетов равен 1.
А15. а) В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB = 7 24 , BC = 48. Найдите площадь треугольника. б) В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB = 8 15, BC = 30. Найдите площадь треугольника.
А16. а) В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 2 5 , sin A = 1 5 . Найдите площадь треугольника. б) В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5 17 , sin A = 1 17 . Найдите площадь треугольника.
В1. а) Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите длину высоты, проведённой к гипотенузе. б) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 26. Найдите длину высоты, проведённой к гипотенузе.
В2. а) Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите катет AB, если AH = 6, AC = 24. б) Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите длину высоты BH, если AH = 28, CH = 7.
B3. а) Длина катета прямоугольного треугольника равна 8 см, а длина медианы, проведённой к этому катету, равна 4 10 см. Найдите длину медианы, проведённой к другому катету этого треугольника. б) Длина катета прямоугольного треугольника равна 6 см, а дли на медианы, проведённой к этому катету, равна 73 см. Найдите длину медианы, проведённой к гипотенузе этого треугольника.
B4. а) Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит его гипотенузу в отношении 4 : 3. Найдите площадь треугольника, если длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна 5 см. б) Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит его гипотенузу в отношении 12 : 5. Найдите площадь треугольника, если длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна 13 см.
С1. а) Катеты АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС равны 7 и 10 соответственно. Расстояние от точки М до катета АВ равно 5, а до катета ВС равно 4. Где расположена точка М — внутри треугольника АВС, на гипотенузе АС или вне треугольника? Ответ обоснуйте. б) Катеты АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС равны 6 и 13 соответственно. Расстояние от точки М до катета ВС равно 3, а до катета АВ равно 6. Где расположена точка М — внутри треугольника АВС, на гипотенузе АС или вне треугольника? Ответ обоснуйте.
С2. а) Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны 32 и 8 соответственно. Расстояния от точки М до катетов АС и ВС равны соответственно 3 и 20. В каком отношении, считая от вершины А, прямая СМ делит гипотенузу треугольника? б) Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны 24 и 6 соответственно. Расстояния от точки М до катетов АС и ВС равны 5 и 4 соответственно. В каком отношении, считая от вершины А, прямая СМ делит гипотенузу треугольника?
С3. а) Гипотенуза ВС прямоугольного треугольника АВС равна 25. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины С, если AC = 1. б) Гипотенуза ВС прямоугольного треугольника АВС равна 24. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины B, если AB = 3.
С4. а) Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины В к гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если AH = 6, BC = 4. б) Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины В к гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если CH = 8, AB = 3.
С5. а) Биссектриса прямого угла А прямоугольного треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отношении 4 : 3, считая от вершины В. Найдите площадь треугольника, если BC = 2 3 . б) Биссектриса острого угла В прямоугольного треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины острого угла С, в отношении 8 : 3, считая от вершины С. Найдите площадь треугольника, если AC = 2 7 .
Произвольный треугольник
А1. а) В треугольнике два угла равны 57° и 86°. Найдите его третий угол. б) В треугольнике один угол равен 46°, а разность двух других углов равна 36°. Найдите больший угол этого треугольника.
А2. а) В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 82°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. б) В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, угол BAD равен 31°. Также известно, что угол ABC равен 46°. Найдите угол BCA.
А3. а) В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 28, а синус угла A равен 4 5 . Найдите гипотенузу AB. б) В треугольнике ABC угол A равен 90°, AC = 15, а косинус угла C равен 5 13 . Найдите гипотенузу BC.
А4. а) В треугольнике ABC углы A и В равны 51° и 62° соответственно. Найдите угол между высотой CH и стороной CB. б) В треугольнике ABC углы A и С равны 32° и 97° соответственно. Найдите угол между высотой CH и стороной CB.
А5. а) В треугольнике ABC углы A и B равны 31° и 45° соответственно. Найдите внешний угол при вершине C. б) В треугольнике ABC углы A и B равны 48° и 76° соответственно. Найдите внешний угол при вершине C.
А6. а) В треугольнике ABC AB = 5, BC = 8, AC = 9. Запишите углы A, B и C в порядке их возрастания. б) В треугольнике ABC AB = 11, BC = 10, AC = 13. Запишите углы A, B и C в порядке их убывания.
А7. а) В треугольнике ABC A = 47°, B = 46°, C = 87°. Запишите стороны AB, BC и AC в порядке их убывания. б) В треугольнике ABC A = 35°, B = 65°, C = 80°. Запишите стороны AB, BC и AC в порядке их возрастания.
А8. а) Могут ли точки A, B и C быть вершинами треугольника, если AB = 13, AC = 5, BC = 8? Ответ обоснуйте. б) Могут ли точки A, B и C быть вершинами треугольника, если AB = 9, AC = 4, BC = 6? Ответ обоснуйте.
А9. а) Какую наибольшую целую длину может иметь сторона AC треугольника ABC, если AB = 10, а BC = 7? б) Какую наименьшую целую длину может иметь сторона AC треугольника ABC, если AB = 7, а BC = 13?
А10. а) Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает стороны AC и ВС в точках M и N соответственно. Найдите длину стороны AC, если CM = 14, CN = 18, BC = 27. б) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и ВС в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка BM, если AB = 24, BN = 21, BC = 28.
А11. а) Прямые, содержащие отрезки AB и DC, параллельны, а отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка AO, если CO = 36, DC = 30, AB = 25. б) Прямые, содержащие отрезки AD и BС параллельны, а отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка BC, если AD = 32, DO = 20, BO = 15.
А12. а) В треугольнике АВС сторона AC равна 14, медиана BM равна 10. Найдите длину отрезка AM. б) В треугольнике ABC проведена медиана AM, MC = 8, AM = 10. Найдите длину стороны BC.
А13. а) На стороне AC треугольника ABC взята точка M, причём AM : MC = 3 : 5. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABM равна 48. б) На стороне AC треугольника ABC взята точка M, причём AM : MC = 2 : 7. Найдите площадь треугольника MBC, если площадь треугольника ABC равна 72.
А14. а) Найдите площадь треугольника, если высота, проведённая к одной из его сторон, равна 25, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 11. б) Найдите площадь треугольника, если высота, проведённая к одной из его сторон, равна 21, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 13.
А15. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь.
В1. а) В треугольнике ABC известно, что BC = 7 , AC = 3 7 , внешний угол при вершине C равен 120°. Найдите длину стороны AB. б) В треугольнике ABC известно, что BC = 4 3 , AC = 8 3 , внешний угол при вершине C равен 120°. Найдите длину стороны AB.
В2. а) В треугольнике ABC сторона AC = 13, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH. б) В треугольнике ABC сторона AC = 59, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.
В3. а) В треугольнике ABC известно, что BC = 12, sin A = 2 3 , внешний угол при вершине C равен 150°. Найдите длину стороны AB. б) В треугольнике ABC известно, что BC = 21, sin A = 1 4 , внешний угол при вершине C равен 150°. Найдите длину стороны AB.
В4. а) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и ВС в точках K и M соответственно. Найдите длину отрезка KM, если BK : KA = 2 : 5, AC = 21. б) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и ВС в точках K и M соответственно. Найдите длину стороны AC, если BK : KA = 3 : 4, KM = 18.
В5. а) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка BN, если MN = 18, AC = 54, NC = 32. б) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите длину стороны BC, если MN = 13, AC = 52, NC = 36.
В6. а) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что угол BMN равен углу BCA. Найдите длину отрезка MN, если AC = 48, AB = 42, BN = = 28. б) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что угол BMN равен углу BCA. Найдите длину отрезка BN, если MN = 27, AB = 52, AC = = 36.
В7. а) Вершины K и Р треугольников AKB и APB лежат по одну сторону от прямой АВ. Прямая PK пересекает прямую АВ в точке М. Найдите, в каком отношении, считая от точки М, точка K делит отрезок РМ, если площадь треугольника AKB относится к площади треугольника АРВ как 2 : 5. б) Вершины K и Р треугольников AKB и АРВ лежат по одну сторону от прямой АВ. Прямая PK пересекает прямую АВ в точке М. Найдите, в каком отношении, считая от точки М, точка K делит отрезок PM, если площадь треугольника AKB относится к площади треугольника АРВ как 3 : 4.
В8. а) Стороны AB и BC треугольника ABC равны 32 и 24 соответственно, а высота, проведённая к стороне BC, равна 16. Найдите высоту, проведённую к стороне AB. б) Высоты треугольника ABC, проведённые к сторонам AB и AC, равны 9 и 12 соответственно. Найдите длину стороны AC, если AB = 24.
В9. а) Углы A и B треугольника ABC равны 45° и 120° соответственно. Найдите длину стороны AC, если BC = 12. б) Углы B и C треугольника ABC равны 135° и 30° соответственно. Найдите длину стороны AC, если AB = 21 2 .
В10. а) Найдите косинус меньшего из углов треугольника со сторонами 12, 14 и 18. б) Найдите косинус большего из углов треугольника со сторонами 9, 15 и 21.
В11. а) В треугольнике ABC углы A и B равны 64° и 24° соответственно. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины C. б) В треугольнике ABC углы A и B равны 48° и 76° соответственно. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины C.
В12. а) Найдите тангенс меньшего из углов треугольника, если стороны треугольника равны 10, 24 и 26. б) Найдите косинус меньшего из углов треугольника, если стороны треугольника равны 12, 16 и 20.
В13. а) В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно, так что BM : AB = 1 : 2, а BK : BC = 4 : 5. Найдите, во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK. б) В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно, так что BM : AB = 1 : 2, а BK : BC = 10 : 13. Найдите, во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK.
В14. а) В треугольнике ABC проведена медиана BM. На стороне AB взята точка K так, что AK = 1 3 AB. Площадь треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника ABC. б) В треугольнике ABC проведена медиана BM. На стороне AB взята точка K так, что AK = 1 7 AB. Площадь треугольника AMK равна 2. Найдите площадь треугольника ABC.
В15. а) Средняя линия MN треугольника ABC отсекает от него треугольник MBN, площадь которого равна 32. Найдите площадь треугольника ABC. б) Средняя линия MN треугольника ABC отсекает от него треугольник MCN. Найдите площадь треугольника MCN, если площадь треугольника ABC равна 76.
В16. а) Точка М лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка K делит отрезок ВМ в отношении BK : KM = 7 : 5. Найдите площадь четырёхугольника АВСK, если площадь треугольника АKС равна 48. б) Точка М лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка K делит отрезок ВМ в отношении BK : KM = 4 : 9. Найдите площадь четырёхугольника АВСK, если площадь треугольника АВС равна 39.
В17. а) На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны точки М, K и Р соответственно, так что AM : MB = 2 : 1, BK : KC = 3 : 2, CP : PA = 3 : 1. Найдите площадь треугольника МРK, если площадь треугольника АВС равна 90. б) На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны точки М, K и Р соответственно, так что AM : MB = 1 : 2, BK : KC = 2 : 3, CP : PA = 1 : 3. Найдите площадь треугольника МРK, если площадь треугольника АВС равна 60.
В18. а) На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне AC. б) На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину высоты, проведённой к стороне AB.
В19. а) На клетчатой бумаге изображён треугольник. Найдите сумму углов A и C этого треугольника. Ответ дайте в градусах. б) На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Найдите величину его наибольшего угла. Ответ дайте в градусах.
С1. а) Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке М, а прямые, содержащие высоты треугольника, проведённые из тех же вершин, пересекаются в точке Р. Найдите угол ВАС, если угол ВРС на 21° больше угла ВМС. б) Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке K, а прямые, содержащие высоты треугольника, проведённые из тех же вершин, пересекаются в точке Н. Найдите угол АСВ, если угол АНВ на 18° меньше угла АKВ.
С2. а) Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны 16, 17 и 22 соответственно. Где расположено основание высоты треугольника, проведённой из вершины А: на стороне ВС, на её продолжении за точку В или на её продолжении за точку С? Ответ обоснуйте. б) Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны 18, 19 и 26 соответственно. Где расположено основание высоты треугольника, проведённой из вершины В: на стороне АС, на её продолжении за точку А или на её продолжении за точку С? Ответ обоснуйте.
С3. а) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника ABC. б) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.
С4. а) Медианы треугольника АВС, проведённые из вершин В и С, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины А, если BC = 42. б) Медианы треугольника АВС, проведённые из вершин В и С, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины А, если BC = 38.
С5. а) Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины С? б) Биссектриса угла В треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины С, в отношении 7 : 2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины А?
С6. а) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 6, BC = 8, а длина медианы, проведённой из вершины В, равна 5. б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 10, BC = 24, а длина медианы, проведённой из вершины В, равна 13.
С7. а) Точка пересечения биссектрис треугольника АВС делит биссектрису угла ВАС в отношении 4 : 1, считая от вершины А. Найдите периметр треугольника АВС, если BC = 7. б) Точка пересечения биссектрис треугольника АВС делит биссектрису угла ВАС в отношении 5 : 2, считая от вершины А. Найдите периметр треугольника АВС, если BC = 8.
С8. а) Расстояния от вершин В и С треугольника АВС до прямой, содержащей биссектрису угла ВАС, равны 4 и 3 соответственно. Найдите длины сторон АВ и АС, если BC = 14. б) Расстояния от вершин В и С треугольника АВС до прямой, содержащей биссектрису угла ВАС, равны 5 и 4 соответственно. Найдите длины сторон АВ и АС, если BC = 18.
С9. а) Точки K и Р являются основаниями высот остроугольного треугольника АВС, проведённых из вершин А и В соответственно. Найдите угол АСВ, если площадь треугольника СKР вчетверо меньше площади треугольника АВС. б) Точки K и Р являются основаниями высот остроугольного треугольника АВС, проведённых из вершин А и В соответственно. Найдите угол АСВ, если площадь треугольника СKР вдвое меньше площади треугольника АВС.
С10. а) Точки K и Р являются основаниями высот остроугольного треугольника АВС, проведённых из вершин А и В соответственно, точка М — середина стороны AB. Найдите периметр треугольника МKР, если косинус угла АСВ равен 3 4 , AB = 16. б) Точки K и Р являются основаниями высот остроугольного треугольника АВС, проведённых из вершин А и В соответственно, точка М — середина стороны AB. Найдите периметр треугольника МKР, если косинус угла АСВ равен 2 5 , AB = 20.
С11. а) Точка Р выбрана на стороне АС треугольника АВС так, что углы СВР и САВ равны. Найдите отношение площади треугольника СВР к площади треугольника АВР, если AC : BC = 5 : 4. б) Точка Р выбрана на стороне АС треугольника АВС так, что углы СВР и САВ равны. Найдите отношение AP : PC, если AC : BC = 6 : 5.
С12. а) Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если AP : PB = 5 : 4, AM : MC = 3 : 5. б) Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если AP : PB = 2 : 5, AM : MC = 1 : 4.
С13. а) Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM. б) Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC.
С14. а) Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC. б) Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.
С15. а) Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABC. б) Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.
С16. а) Стороны АВ и АС треугольника АВС равны 6 и 3 5 соответственно. Найдите площадь треугольника, если биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 3 : 2, считая от вершины В. б) Стороны АВ и АС треугольника АВС равны 8 и 4 15 соответственно. Найдите площадь треугольника, если биссектриса угла В делит высоту, проведённую из вершины А, в отношении 4 : 1, считая от вершины А.
С17. а) На продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С взята точка A1 , на продолжении стороны АС за точку А — точка B1 , на продолжении стороны АВ за точку В — точка C1 . Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC, если A1C : CB = B1A : AC = C1B : BA = 2 : 3. б) На продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С взята точка A1 , на продолжении стороны АС за точку А — точка B1 , на продолжении стороны АВ за точку В — точка C1 . Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A1B1C1 , если A1C : CB = B1A : AC = C1B : BA = 3 : 2.
С18. а) Высоты AP и BM остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Найдите площадь четырёхугольника МСРН, если BM : AP = 8 : 7, а площади треугольников АМН и BPH равны 3 и 12 соответственно. б) Высоты AP и BM остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Найдите площадь четырёхугольника МСРН, если BM : AP = 3 : 2, а площади треугольников АМН и BPH равны 4 и 16 соответственно.
Координаты и векторы
А1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
А2. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
А3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
А4. а) Найдите длину вектора AB , если AB {3; –4}. б) Найдите длину вектора AB , если AB {5; 12}.
В2. а) На продолжении отрезка AB за точку B выбрана точка M так, что AB : BM = 5 : 3. Найдите координаты точки M, если известны координаты точек A и B: A(–2; 3), B(3; 8). б) Точка M делит отрезок AB в отношении AM : MB = 3 : 4. Найдите координаты точки M, если известны координаты точек A и B: A(4; 3), B(11; 10).
В3. а) Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известны координаты вершин треугольника: A(2; 5), B(0; 0), C(4; 3). б) Найдите длину медианы CP треугольника ABC, если известны координаты вершин треугольника: A(–3; –2), B(–6; 2), C(0; 0).
В4. а) Найдите площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин A(–3; –2), B(–1; –7), C(5; –2). б) Найдите площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин A(–2; –3), B(4; 2), C(–2; 5).
С1. а) Точка М делит гипотенузу АС прямоугольного треугольника АВС в отношении AM : MC = 2 : 3. Запишите разложение вектора BM по векторам BA и BC и длину вектора BM , если AB = 10, CB = 5. б) Точка М делит гипотенузу АС прямоугольного треугольника АВС в отношении AM : MC = 3 : 5. Запишите разложение вектора BM по векторам BA и BC и длину вектора BM , если AB = 16, CB = 8.
С2. Найдите координаты точки, симметричной точке A(10; 10) относительно прямой: а) y x = 1 2 ; б) y = 2x.
С3. а) Найдите координаты точки на оси ординат, сумма расстояний от которой до точек A(4; 4) и B(6; –4) минимальна. б) Найдите координаты точки на оси абсцисс, сумма расстояний от которой до точек A(–3; 2) и B(2; 6) минимальна.
Геометрия 10-11 класс поурочное планирование к учебнику Атанасяна
Геометрия 10-11 класс поурочное планирование к учебнику Атанасяна, Бутузова