Автор Задания, ответы и решение для отборочного этапа 2023-2024 всесибирская открытая олимпиада школьников по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса.
| Задания 7 класс | Ответы для 7 класса |
| Задания 8 класс | Ответы для 8 класса |
| Задания 9 класс | Ответы для 9 класса |
| Задания 10 класс | Ответы для 10 класса |
| Задания 11 класс | Ответы для 11 класса |
Всесибирская открытая олимпиада школьников по математике — олимпиада 2 уровня, входящая в перечень РСОШ. Олимпиада проводится в 2 этапа: отборочный и заключительный.
Решать задания олимпиады 7 класс онлайн
zadanie-7klass-vsesib-mat-2023-2024Решать задания олимпиады 8 класс онлайн
zadanie-8klass-vsesib-mat-2023-2024Решать задания олимпиады 9 класс онлайн
zadanie-9klass-vsesib-mat-2023-2024Решать задания олимпиады 10 класс онлайн
zadanie-10klass-vsesib-mat-2023-2024Решать задания олимпиады 11 класс онлайн
zadanie-11klass-vsesib-mat-2023-2024Отборочный этап:
15 октября 2023 г. (10:00 по новосибирскому времени для площадок Сибирского и Дальневосточного федеральных округов, Республики Казахстан; 10:00 по московскому времени для остальных площадок) Сроки регистрации: 25 сентября – 13 октября 2023 г. (10:00 по местному времени площадки)
Заключительный этап:
18 февраля 2024 г. (10:00 по новосибирскому времени для площадок Сибирского и Дальневосточного федеральных округов, Республики Казахстан; 10:00 по московскому времени для остальных площадок) Сроки регистрации: 1 февраля — 16 февраля 2024 г. (10:00 по местному времени площадки)
Задания для 7 класса
7.1. Вера разрезала изображённую ниже фигуру по линиям сетки на 5 частей равной площади. Оказалось, что среди этих частей нет одинаковых. Приведите пример, как такое могло быть. (Достаточно привести один пример. Напомним, что фигуры являются одинаковыми, если их можно совместить наложением.)
7.2. На заборе была написана обыкновенная дробь. Никита, шедший мимо, прибавил к знаменателю числитель и записал новую дробь вместо старой. Егор, шедший следом, добавил к числителю знаменатель и тоже записал новую дробь вместо старой. Наконец, Иннокентий вновь прибавил к знаменателю числитель и заменил на заборе дробь на новую. Что было написано на заборе изначально, если в конце получилась дробь 63 106 ? (Найдите все возможные ответы и покажите, что других нет.)
7.3. На некотором острове живёт 75 рыцарей, которые всегда говорят правду, и 75 лжецов, которые всегда лгут. Однажды все 150 человек собрались побросать друг в друга снежки. Человек, в которого попадали, немедленно уходил и больше в игре участие не принимал. В конце игры осталось 50 человек, и каждый из них заявил: «Я выбил из игры ровно одного рыцаря». Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться среди этих 50 человек? (Найдите ответ и докажите, что он максимален.)
7.4. В музее современного искусства висит картина, представляющая собой квадрат 4×4, сшитый из 16 лоскутов 1×1 разного цвета. Каждый посетитель музея может переделать эту картину, поменяв местами либо две строки этого квадрата, либо два столбца. Сколько всего различных вариантов этой картины могут сообща сделать посетители музея? Картины, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются различными. (Найдите ответ и обоснуйте, что он верен.)
7.5. На доске написана фраза из 2023 русских букв, причём каждая из 33 букв встречается хотя бы раз. Оказалось, что среди любых 99 подряд идущих букв есть хотя бы 32 различных. Докажите, что среди каких-то 100 подряд идущих букв встретятся все 33 буквы. (Подробно обоснуйте свои рассуждения.)
Задания для 8 класса
8.1. В клетки таблицы 3 × 3 расставлены девять различных натуральных чисел. Оказалось, что в любых двух соседних клетках записаны такие числа, что одно из них делится на другое. Приведите пример, как такое может быть. Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.
8.2. У Антона жили 35 котов, и один, масса которого была на 250 грамм меньше средней массы всех котов, вышел погулять. Через некоторое время кот вернулся, но теперь весил уже на 600 грамм больше средней массы всех котов (остальные свой вес не меняли). Сколько грамм наел кот за свою прогулку?
8.3. Дан клетчатый квадрат 4 × 4. Вася разрезал его по линиям сетки на четыре части одинаковой площади. Могли ли у него получиться 4 различных многоугольника?
8.4. В треугольнике ABC угол B в три раза больше угла C. На стороне AC отмечены точки M и N (M лежит между A и N) таким образом, что ∠ABM = ∠MBN = ∠NBC. Из точки A на прямую BN опущен перпендикуляр, пересекающий отрезок BM в точке K. Докажите, что прямая NK является биссектрисой угла ANB.
8.5. У театрального режиссёра есть несколько сценариев: 22 комедии и 11 трагедий. Каждый сезон он случайным образом раскладывает сценарии по n непустым стопкам (не обязательно поровну), после чего выбирает одну из них, и ставит все спектакли из этой стопки в некотором порядке, который выбирает сам. Режиссёр считает прошедший сезон удачным, если ему не пришлось ставить две комедии подряд. На какое наименьшее число стопок n нужно делить режиссёру все свои сценарии, чтобы хотя бы из одной из них можно бы было сделать удачный сезон?
Задания для 9 класса
9.1. Два пешехода одновременно вышли из пунктов А и Б навстречу друг другу с постоянными скоростями по одной дороге. В какой-то момент они встретились первый раз и продолжили движение. Затем, достигнув противоположного пункта, каждый из них развернулся и двинулся в обратном направлении с той же скоростью, после чего в какой то момент они встретились во второй раз. Их первая встреча произошла в 720 метрах от ближайшего в этот момент из пунктов А и Б, а вторая — в 400 метрах от другого из этих пунктов. Каково расстояние между А и Б?
9.3. В треугольнике ABC точка М — середина стороны AB, а E — точка на стороне ВС такая, что ВЕ:ЕС=2:1. Известно, что углы AМC и BAE равны. Найдите угол ВАС.
9.4. Найти все натуральные числа n , для которых число 10 …010 …01 n n An делится на 37.
9.5. Обозначим за Х множество из 2 n точек координатной плоскости с координатами (x, y) , где x и y пробегают все натуральные числа от 1 до n включительно. Найдите наименьшее натуральное число m такое, что среди любых m точек множества Х всегда найдутся четыре, являющихся вершинами параллелограмма. Стороны параллелограмма могут быть наклонными — не горизонтальными и не вертикальными.
Задания для 10 класса
10.1. Найти геометрическое место всех точек (x, y) координатной плоскости, для которых при любом значении параметра t из интервала [1, 1] выполнено неравенство.
10.3. Пусть ABC — остроугольный треугольник такой, что ВС<AС<AВ, а O — центр его описанной окружности. Прямые ВA и BС вторично пересекаются с описанной окружностью треугольника АОС в точках К и М соответственно. Докажите, что прямые ВO и КМ перпендикулярны.
10.4. Круг разделен на n 3 секторов, в каждом из которых записано 0 или 1. За один ход можно выбрать любой сектор C, в котором записан 0, изменить цифру в нём на 1 и одновременно изменить символы х и y в двух секторах, соседних с C, на их дополнения 1- x и 1-у соответственно. Процесс повторяется в некотором порядке до тех пор, пока хотя бы в одном секторе круга записан 0. В первоначальной конфигурации 0 записан в одном секторе и 1 — во всех остальных. Может ли этот процесс завершиться для а) n 31 ? б) n 30 ?
10.5. Семь ленивых школьников решили посещать математический кружок в соответствиями с выработанными ими правилами приличия: (а) На каждом занятии должен присутствовать хотя бы один человек. (б) Для любых двух занятий множества присутствовавших на этих занятиях школьников должны различаться. (в) Для каждого n 2 и всех k 1,2,…,n 1 среди тех, кто присутствует в день с номером n, обязательно должен быть хотя бы один школьник, присутствовавший в день с номером k. Какое максимальное число занятий они смогут посетить, не нарушая этих правил?
Задания для 11 класса
11.1. Четыре клетки на клетчатой бумаге называются квартетом, если их центры образуют прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. Какое максимальное количество квартетов можно разместить в квадрате 5 на 5? Никакие два разных квартета не могут содержать общих клеток.
11.2. а) Найти все значения параметра a , при которых разрешима система уравнений б) Решить систему при каждом из этих a .
11.3. Окружность с центром O на стороне АD параллелограмма ABCD проходит через его вершины A, B и C. Прямые AD, CD и BO снова пересекают окружность в точках K, M, N соответственно. Докажите, что длины отрезков NK, NM и ND равны между собой.
11.4. Найдите все тройки (a,b,c) натуральных чисел a b c такие, что числа a 3b,b 3c,c 3a 2 2 2 являются квадратами натуральных чисел.
11.5. В бесконечный в две стороны ряд выставлены коробки, в одной из которых лежит единственный камень, а остальные пусты. Ещё есть очень большая куча камней. За один ход можно переложить в кучу камень из любой коробки К, в которой он есть, и положить из кучи по камню в две коробки, соседние с К. После некоторого ненулевого конечного числа таких ходов выяснилось, что в нескольких стоящих подряд n коробках оказалось по q камней в каждой, а остальные пусты. а) Докажите, что q 1 . б) Найдите все возможные значения n .
Региональный этап 2023 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы
Региональный этап 2023 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы олимпиады