Автор Задания с ответами и решением 1, 2, 3 тура дистанционного этапа всероссийской олимпиады Эйлера для школьников по математике 2023-2024 учебный год, а также официальные результаты олимпиады.
→ Скачать ответы и решения 1 тура
→ Скачать ответы и решения 2 тура
→ Скачать ответы и решения 3 тура
Задания 1 тура олимпиада Эйлера
1-distans-eiler-zadanie-20231. Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.
2. Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится нацело на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди которых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывается один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары (a, b) и (b, a) считаются за одну.) Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка M — середина стороны AB, а точка K на стороне AC такова, что ABK = BKA. Оказалось, что KB = KM. Докажите, что 2AC = 3AB.
4. Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 2.
5. При каких натуральных n, больших 5, клетчатый квадрат размером n n клеток можно без остатка разрезать на прямоугольники из двух клеток и кресты из пяти клеток так, чтобы получились фигуры обоих этих видов? Крест из пяти клеток изображен на рисунке справа.
Задания 2 тура олимпиада Эйлера
2-distans-eiler-zadanie-20231. За круглым столом сидят n человек: рыцарей, всегда говорящих правду, и лжецов, которые всегда лгут. Каждый из них знает про остальных, кто рыцарь, а кто — лжец. Журналист задал каждому из сидящих вопрос: «Кто ваш правый сосед, рыцарь или лжец?», и от каждого получил либо ответ «рыцарь», либо ответ «лжец». Журналисту было известно, что лжецов за столом ровно 8. Но все равно оказалось, что по полученным ответам невозможно точно установить, кто из сидящих — лжецы. Чему могло быть равно n?
2. У натурального числа стерли две последние цифры и полученное число прибавили к исходному. Могло ли в сумме получиться число 10150 –1?
3. На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за вершину A выбрана точка K, а на боковой стороне AB — точка L так, что KL = LC. Оказалось, что KA = LB. Найдите угол ABC.
4. Петя, Вася и Коля бежали по кольцевой дорожке с постоянными скоростями в одном направлении. Они стартовали одновременно и из одной точки. Петя впервые обогнал Васю на своем четвертом круге (то есть пробежав больше трех кругов, но еще не закончив четвертый), а Колю — на своем седьмом круге. Докажите, что Коля впервые обогнал Васю раньше, чем пробежал десять кругов.
5. Вася отметил невидимыми чернилами одну из клеток таблицы размером 5х5 клеток. Разрешается выделить в таблице четыре идущих подряд по горизонтали или вертикали клетки и спросить у Васи, есть ли среди них отмеченная. Каждый следующий вопрос задается после ответа на предыдущий. За какое наименьшее количество таких вопросов можно наверняка определить отмеченную клетку?
Задания 3 тура олимпиада Эйлера
3-tur-eilera-20231. Мотоциклист был в пути три часа (какое-то время он мог и стоять). Его средняя скорость в первые два часа равнялась 50 км/ч и в последние два часа — тоже 50 км/ч. Какое наибольшее расстояние он мог преодолеть?
2. Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
3. Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?
4. В классе каждый ученик дружит ровно с шестью другими, и у любых двух учеников есть ровно два общих друга. Сколько учеников в этом классе?
5. Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6.
Правила дистанционного этапа олимпиады имени Леонарда Эйлера 2023-2024
dist_pravila_2023Об олимпиаде 2023-2024 учебный год
Олимпиада предназначена для российских восьмиклассников и призвана по возможности восполнить отсутствующие для них региональный и заключительный этапы Всероссийской математической олимпиады. В олимпиаде им. Эйлера могут участвовать и ученики более младших классов (однако, им надо иметь в виду, что задачи будут рассчитаны на знания восьмиклассников), а также школьники соответствующих классов из тех зарубежных стран, где будут организованы Национальные оргкомитеты.
В прошлом году в олимпиаде приняли участие более 6500 школьников из России, а также Казахстана, Кыргызстана и Таджикистана, где олимпиаду проводили Национальные оргкомитеты. Материалы предыдущих олимпиад можно найти здесь. Участие в олимпиаде бесплатно. Чтобы участвовать, надо зарегистрироваться. Прошлогодняя регистрация недействительна: тем, кто регистрировался в прошлом году и может участвовать в олимпиаде в этом году, надо регистрироваться заново. Проведенная регистрация действительна на все туры и этапы олимпиады, отдельно на каждый из них регистрироваться не нужно. Олимпиада будет проведена в три этапа: дистанционный (ноябрь-декабрь 2023 года), региональный (январь-февраль 2024 года, в тот же срок, что и региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике), заключительный (март 2024 года).
В дистанционном этапе могут участвовать все желающие ученики классов не старше восьмого. На региональный этап проходят лучшие участники дистанционного этапа и ряда выводящих соревнований, на заключительный — лучшие участники регионального.
В прошлом году в региональном этапе олимпиады приняли участие 2862 учащихся 5-8 классов из 86 регионов России, а в российском заключительном этапе, проходившем параллельно в Барнауле, Казани, Москве и Санкт-Петербурге, — 216 учащихся 5-8 классов из 28 регионов России. Для российских дипломантов олимпиады в июне 2023 года была организована математическая смена на базе центра «Сириус» в Адлере.
Региональный этап 2023 олимпиада по математике:
Региональный этап 2023 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы олимпиады