олимпиада леонарда эйлера

Олимпиада Эйлера региональный этап 2025 по математике 8 класс задания и ответы

Автор

Региональный этап 2025 всероссийской олимпиады школьников по математике имени Эйлера задания, ответы и решения для 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада прошла у школьников 31 января — 1 февраля 2025 года. Заключительный этап олимпиады состоится 24-27 марта 2025.

Задания 1-2 день

Ответы и решения

Олимпиада предназначена для российских восьмиклассников и призвана по возможности восполнить отсутствующие для них региональный и заключительный этапы Всероссийской математической олимпиады. В ней могут участвовать и ученики более младших классов, а также школьники соответствующих классов из тех зарубежных стран, где будут организованы Национальные оргкомитеты.

Олимпиада Эйлера по математике 8 класс региональный этап 2025

olimpiada-8klass-mat-eiler-2025

Задания и ответы для 8 класса

1. Два бегуна бегают с равными постоянными скоростями по диагоналям AC и BD соответственно квадрата ABCD. Добежав до конца диагонали, бегун сразу поворачивает обратно. Стартовали они одновременно из двух случайно выбранных точек своих диагоналей. Докажите, что найдётся момент, когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата.

2. Пусть p1, p2, …, p100 — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа a1, …, ak, большие 1, таковы, что каждое из чисел 3 3 3 3 1 2 2 3 99 100 100 1 p p p p p p p p , , , , равно произведению каких-то двух из чисел a1, …, ak. Докажите, что k  150.

3. В клетках таблицы 10х10 расставлены натуральные числа 1, 2, …, 99, 100. Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата 22. Назовем уголок хорошим, если число в его клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках. Каково наибольшее возможное число хороших «уголков»? (Каждый уголок учитывается независимо от того, как он расположен по отношению к другим, разные уголки могут частично накладываться).

4. На стороне AC треугольника ABC выбрана точка E. Биссектриса AL пересекает отрезок BE в точке X. Оказалось, что AX = XE и AL = BX. Чему равно отношение углов A и B треугольника?

5. По кругу расставлено 99 положительных чисел. Оказалось, что для любых четырех стоящих подряд чисел сумма двух первых из них по часовой стрелке равна произведению двух последних из них по часовой стрелке. Чему может быть равна сумма всех 99 расставленных чисел?

6. В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, …, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20?

7. В трапеции ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ADC. На основаниях BC и AD выбрали точки X и Y соответственно таким образом, что AX = BD и AY = CD. Оказалось, что ∠BCD = 130°. Найдите величину угла AXY.

8. На экране калькулятора горит число 41. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число на экране на 33 или 34. При этом запрещается получать числа, меньшие 1, и числа, большие 99. Через 2025 операций на экране оказалось число 50. Докажите, что в некоторый момент на экране было число 67.

9. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?

10. На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких значениях α можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на α л?

Олимпиада Эйлера региональный этап 2024

Олимпиада Эйлера региональный этап 2024 по математике 8 класс задания и ответы

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ