Автор Отборочный и заключительный этап олимпиады школьников «Физтех» по математике 2024-2025 учебного года МФТИ все варианты заданий и ответы с решением для 9 класса, 10 класса, 11 класса. Данные задания можно использовать для подготовки к олимпиаде, которая начнётся с 12 октября 2025 года.
→ Отборочный этап 9 класс задания и ответы
→ Отборочный этап 10 класс задания и ответы
→ Отборочный этап 11 класс задания и ответы
→ Заключительный этап 10 класс
→ Заключительный этап 11 класс
9 класс заключительный этап 2024-2025
9_klass_fizteh-zakl-2024-2025_matem1. [3 балла] При каком наименьшем натуральном 𝑛 число 𝑛! + (𝑛 + 1)! + (𝑛 + 2)! делится на 361?
2. [3 балла] Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число 10 и получили куб натурального числа 𝑁, большего 6. Найдите наименьшее возможное значение 𝑁.
3. [4 балла] Решите неравенство
4. [5 баллов] На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны 5 такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка [1; 50]. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.
5. [5 баллов] Найдите все пары целых чисел (𝑥; 𝑦), удовлетворяющих уравнению 19 · 2 𝑥 + 2025 = 𝑦 2 .
6. [5 баллов] Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых для множества точек плоскости 𝑂𝑥𝑦, задаваемых уравнением 𝑥 2+𝑦 2 = 𝑎 2 , наибольшее значение выражения 𝑥 2−6𝑥+𝑎 равно 8.
7. [6 баллов] На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝑀 и 𝑁 соответственно так, что ∠𝑀𝑁𝐵 = ∠𝐴𝑁𝐶 = 80∘ . Найдите ∠𝐶𝐴𝑁, если известно, что 𝐵𝑁 · 𝑀𝐴 = 2𝐵𝑀 · 𝑁𝐶.
10 класс заключительный этап 2024-2025
10_klass_fizteh-zakl-2024-2025_matem1. [4 балла] Ненулевые числа 𝑥, 𝑦, 𝑧 удовлетворяют системе уравнений. Найдите все возможные значения выражения (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 + 3)2 , если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
2. [2 балла] Десятичная запись натурального числа 𝑛 состоит из 40 000 девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа 𝑛 3 ?
3. [5 баллов] Окружность 𝜔 с диаметром 𝐴𝐵 пересекает сторону 𝐵𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐷. Точка 𝐹 выбрана на отрезке 𝐴𝐶 так, что 𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶, а 𝐸 — точка пересечения отрезка 𝐷𝐹 с окружностью 𝜔, отличная от 𝐷. Найдите 𝐴𝐹, если 𝐴𝐶 = 10, 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐸 = 5.
4. [4 балла] В телеигре ведущий берет несколько коробок и ровно в три из них кладет по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?
5. [5 баллов] Найдите все значения параметра 𝑎, при которых корни уравнения 𝑥 2 − (𝑎 2 − 𝑎)𝑥 + + 𝑎 − 5 = 0 являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения 4𝑥 2 − (𝑎 3 − 𝑎 2 )𝑥 + 2𝑎 4 + 2𝑎 2 − 𝑎 6 − 4 = 0 являются третьим и восьмым членами этой прогрессии. 6. [5 баллов] На координатной плоскости построена фигура Φ, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
3. Фигуру Φ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол 𝜋 против часовой стрелки. Найдите площадь фигуры, которую замела фигура Φ при этом повороте.
7. [6 баллов] На гипотенузе 𝐵𝐶 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 так, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃, 𝐴𝐶 = 𝐶𝑄. Внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝐷, для которой 𝐷𝑃 = 𝐷𝑄, а ∠𝑃 𝐷𝑄 = 90∘ . Найдите ∠𝐷𝐵𝐶, если известно, что ∠𝐷𝐶𝐵 = 20∘ .
11 класс заключительный этап 2024-2025
11_klass_fizteh-zakl-2024-2025_matem1. [3 балла] Найдите все тройки натуральных чисел (𝐴; 𝐵; 𝐶) такие, что: • 𝐴 — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр, • 𝐵 — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2, • 𝐶 — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3, • произведение 𝐴 · 𝐵 · 𝐶 является квадратом некоторого натурального числа.
2. [3 балла] Положительные числа 𝑥 и 𝑦 таковы, что значение выражения 𝐾 = 1 𝑥 + 1 𝑦 + 2 𝑥𝑦 не изменяется, если 𝑥 уменьшить на 1, а 𝑦 — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения 𝑀 = 𝑥 3 − 𝑦 3 − 3𝑥𝑦.
3. [5 баллов] а) Найдите все пары действительных чисел (𝑥; 𝑦) такие, что (sin 𝜋𝑥 + sin 𝜋𝑦) sin 𝜋𝑥 = = (cos 𝜋𝑥 + cos 𝜋𝑦) cos 𝜋𝑥. б) Сколько пар целых чисел (𝑥, 𝑦) удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству
4. [4 балла] В начале месяца было выделено 4 билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше 4 билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе попасть на концерт в начале месяца была в 2,5 раза меньше, чем оказалась в конце месяца. Сколько всего было выделено билетов на концерт в конце месяца, если количество одиннадцатиклассников не изменилось?
5. [5 баллов] Точка 𝑂 — центр окружности 𝜔1, описанной около остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность 𝜔2, описанная около треугольника 𝐵𝑂𝐶, пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке 𝑃. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝑃 = 15 2 , 𝐵𝑃 = 5, 𝐴𝐶 = 9. 6. [6 баллов] На координатной плоскости изображена фигура Φ(𝛼), состоящая из всех точек, координаты (𝑥; 𝑦) которых удовлетворяют системе неравенств Найдите максимальное значение 𝑀 периметра (длины границы) фигуры Φ(𝛼) и укажите все значения 𝛼, при которых оно достигается.
7. [6 баллов] Шар Ω касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар 𝜔 касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Как участвовать в олимпиаде
Для участия в онлайн-этапе необходимо пройти регистрацию. Участие гарантируется только тем участникам, которые получили подтверждение об успешном завершении процесса регистрации в установленные даты;
Регистрация на онлайн-этап занимает достаточный объем времени и требует предоставления перечня документов; При наличии подтвержденной регистрации нет необходимости регистрироваться повторно на последующие туры;
Другая олимпиада по математике
Олимпиада Росатом по математике 2024-2025 учебный год задания и ответы