олимпиада физтех

Олимпиада Физтех 2024 по математике 9, 10, 11 класс задания и ответы

Автор

Заключительный этап 2024 олимпиады школьников «Физтех» по математике все варианты заданий и ответы с решением для 9 класса, 10 класса, 11 класса. Олимпиада прошла 11 февраля 2024 года. Результаты будут опубликованы в ближайшее время.

→ Скачать задания для 9 класса

→ Скачать задания для 10 класса

→ Скачать задания для 11 класса

Олимпиада Физтех 2024 по математике задания для 9 класса

9klass-mat-fizteh-olimp-2024-zadanie

Олимпиада Физтех 2024 по математике задания для 10 класса

10klass-mat-fizteh-olimp-2024-zadanie

Олимпиада Физтех 2024 по математике задания для 11 класса

11klass-mat-fizteh-olimp-2024-zadanie

Задания и ответы для 9 класса

1. [3 балла] Найдите все значения параметра t, при каждом из которых уравнение x 2 + 2√ 3tx + + 4t 2 − 4 = 0 имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.

2. [4 балла] Натуральные числа a и b таковы, что их сумма равна 40, а значение выражения a 2 − 2ab + b 2 + 15a − 15b равно 17p 5 , где p – некоторое простое число. Найдите числа a и b.

3. [5 баллов] На стороне BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = MN = NC. Прямая, параллельная AN и проходящая через точку M, пересекает продолжение стороны AC за точку A в такой точке D, что AB = CD. Найдите AB, если BC = 12, cos(2∠CAN) = − 1 4 .

4. [5 баллов] В классе для занятий иностранным языком стоят три ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них): • он сидит на первой парте в ряду, • ближайшая парта перед ним пуста, • за ближайшей партой перед ним сидит ученик меньшего роста. Сколькими способами можно рассадить в классе 8 учеников группы так, чтобы всем было хорошо видно доску, если известно, что все школьники разного роста? Ответ дайте в виде числа или выражения, содержащего не более двух слагаемых (в слагаемые могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

5. [5 баллов] Продолжение сторон BC (за точку C) и AD (за точку D) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Центр O окружности, вписанной в треугольник ABE, лежит на отрезке CD. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED + DO, если известно, что BE = 10.

6. [4 балла] На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят 3, 4, 5 и 7 дорог соответственно, а из остальных деревень выходит ровно по одной дороге. Сколько деревень может быть на острове?

7. [5 баллов] Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению p 2x + 2y − x 2 − y 2 + p 1 − |x + y − 2| = 1.

Задания и ответы для 10 класса

1. [3 балла] Третий член арифметической прогрессии равен 3x + 3, пятый член равен (x 2 + 2x) 2 , а девятый равен 3x 2 . Найдите x.

2. [4 балла] Найдите наибольшее значение выражения 4y + 8x при условии ( |x − 3y| 6 3, |3x − y| 6 1.

3. [5 баллов] Найдите все пары (m, n) натуральных чисел, для которых одно из чисел A = m2 + + 2mn + n 2 − 9m − 9n и B = m2n + mn2 − 3mn равно 13p 2 , а другое равно 75q 2 , где p и q – простые числа.

4. [5 баллов] Прямая, параллельная биссектрисе AX треугольника ABC, проходящая через середину M его стороны BC, пересекает сторону AB и продолжение стороны AC в точках Z и Y соответственно. Найдите BC, если AC = 18, AZ = 6, Y Z = 8.

5. [4 балла] Решите систему уравнений (√ x + 1 − √ 6 − y + 5 = 2p 6 + 5x − y 2 , x 4 + 5x 2 − √y = y 4 − √ x + 5y 2 .

6. [4 балла] На тетрадном листе нарисован квадрат 8 × 8 клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.

7. [6 баллов] В треугольнике ABC на медиане AM и биссектрисе CL как на диаметрах построены окружности Ω и ω соответственно, пересекающиеся в точках P и Q. Отрезок P Q параллелен высоте треугольника ABC, проведённой из вершины B. Окружность Ω пересекает сторону AC повторно в точке N. Найдите длины сторон AC и BC, если AB = 10, AN = 8.

Задания и ответы для 11 класса

1. [3 балла] Найдите все действительные значения x, при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её седьмой член равен p (25x − 9)(x − 6), девятый член равен x + 3, а пятнадцатый член равен q 25x−9 (x−6)3 .

2. [4 балла] Решите систему уравнений (√ x + 5 − √ 1 − x − 4z + 4 = 2p y − 4x − x 2 + z, |y + 4| + 4|y − 5| = √ 81 − z 2 .

3. [5 баллов] Найдите все значения параметра p, при которых уравнение p cos 3x + 3(p + 4) cos x = 6 cos 2x + 10 имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких p.

4. [5 баллов] Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отношение ED : CD, если диагональ AD четырёхугольника ACDE делит отрезок CE в отношении 2 : 5, считая от вершины C.

5. [4 балла] Дан клетчатый прямоугольник 100 × 400. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух “средних линий” прямоугольника (“средней линией” прямоугольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

6. [4 балла] Найдите все тройки целых чисел (a; b; c) такие, что: • a < b, • число b − a не кратно 3, • число (a − c)(b − c) является квадратом некоторого простого числа, • выполняется равенство a 2 + b = 710.

7. [6 баллов] В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.

Всесибирская олимпиада по математике задания и ответы

Отборочный этап 2023-2024 всесибирская олимпиада по математике задания и ответы

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ