Автор Олимпиада по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс ответы и задания для муниципального этапа 2023-2024 учебный год всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для Москвы. Олимпиада прошла 28-30 ноября 2023 года.
Задания и ответы для 10 класса
Задания и ответы для 11 класса
Математика 7 класс муниципальный этап
mat-7klass-zadanie-otveti-msk-2023-2024Олимпиада для 8 класса
mat-8klass-zadanie-otveti-msk-2023-20249 класс
mat-9klass-zadanie-otveti-msk-2023-202410 класс
mat-10klass-zadanie-otveti-msk-2023-202411 класс
mat-11klass-zadanie-otveti-msk-2023-2024Задания и ответы для 7 класса
Задача 7.1. Малыш может самостоятельно съесть торт за 30 минут, а Карлсон — за 6 минут. (а) (2 балла) Малыш и Карлсон нашли 12 тортов и решили их съесть. Малыш съел несколько тортов; за это же время Карлсон успел съесть все остальные. Сколько тортов съел Карлсон? (б) (2 балла) За сколько минут Малыш и Карлсон съели бы один торт, если бы действовали сообща?
Ответ: (а) 10. (б) 5.
Задача 7.2. Четырёхзначное число 𝑁 состоит из ненулевых цифр, сумма которых равна 20. Известно, что сумма третьей и четвёртой цифры числа 𝑁 делится на его вторую цифру (нумерация цифр начинается слева). (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать 𝑁? (б) (2 балла) Какое наибольшее значение может принимать 𝑁?
Ответ: (а) 1199. (б) 9191.
Задача 7.3. На прямой отмечены точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷. Получилось шесть отрезков: 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐴𝐷. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
(б) (2 балла) Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
Ответ: (а) 9 или 15. (б) 9, 15.
Задача 7.4. У Кирилла, Льва, Миши и Николая есть несколько монет, в сумме всего 48. Они сделали следующие заявления: • Кирилл: «У меня монет в 2 раза меньше, чем у остальных в сумме»; • Лев: «У меня монет в 3 раза меньше, чем у остальных в сумме»; • Миша: «У меня монет в 4 раза меньше, чем у остальных в сумме»; • Коля: «У меня монет в 5 раз меньше, чем у остальных в сумме». Известно, что ровно один из них обманул. (а) (1 балл) Кто из ребят обманул? (б) (3 балла) Сколько монет у того, кто обманул?
Ответ: а) Миша. б) 12
Задача 7.5. На рисунке изображены пять прямоугольников, площади четырёх из них указаны. Найдите площадь пятого прямоугольника.
Ответ: 10,5.
Задача 7.6. В корзине лежат: • яблоки: 5 красных, 12 жёлтых и 16 зелёных; • груши: 14 красных, 13 жёлтых и 8 зелёных. (а) (2 балла) При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 фруктов обязательно найдутся одноцветные яблоко и груша? (б) (2 балла) При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 фруктов обязательно найдутся разноцветные яблоко и груша?
Ответ: (а) 44. (б) 36.
Задача 7.7. Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например, • у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна 1 − 2 + 3 = 2; • у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна 1 − 2 = −1; • у числа 1 знакопеременная сумма цифр равна 1. Отличник Денис вычислил знакопеременную сумму цифр для всех натуральных чисел от 1 до 999 включительно, а затем сложил все полученные результаты. Какое число получил Денис?
Ответ: 4590
Задача 7.8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Однажды 30 островитян встали в круг. Каждого из них спросили: «Есть ли среди двух твоих соседей хотя бы один хитрец?». Было получено 13 ответов «Да» и 17 ответов «Нет». Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 30 островитян?
Ответ: 24
Задания и ответы для 8 класса
Задача 8.1. Найдите наименьшее натуральное 𝑛 такое, что 0,9…9 ⏟𝑛 > 2022 2023 .
Задача 8.2. В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Задача 8.3. Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘 𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘? Задача 8.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘ , проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋. На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает отрезки 𝐶𝑋 и𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно, что 𝐾𝑁 = 9. (а) (1 балл) Найдите длину отрезка 𝐶𝑁. (б) (3 балла) Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.
Задача 8.5. По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом? (б) (2 балла) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
Задача 8.6. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?
Задача 8.7. У Егора есть доска 5 × 5, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1. После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
Задача 8.8. На диагонали 𝐴𝐶 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑇 так, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝑇. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑇, ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶 = 132∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐶𝐷?
Задания и ответы для 9 класса
Задача 9.1. У Пети дома есть много ручек: синих и красных. Собираясь в школу, он положил в пенал 20% имеющихся ручек. Среди положенных ручек ровно 25% оказались красными. Подумав, Петя решил положить в пенал ещё 4 синих ручки. После этого доля красных ручек в пенале составила 20%. Сколько всего ручек дома у Пети? (Ручки в пенале тоже учитываются.)
Задача 9.2. Через вершину 𝐷 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена прямая ℓ, и на неё опущены высоты 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 169, а длина отрезка 𝐴𝑋 равна 5 (а) (2 балла) Найдите длину отрезка 𝐶𝑍. (б) (2 балла) Найдите длину отрезка 𝐵𝑌.
Задача 9.3. По кругу лежали 𝑛 шариков, где 6 ⩽ 𝑛 ⩽ 100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать 𝑛?
Задача 9.4. В выражении (𝑎 + 2𝑏)(𝑏 + 2𝑐)(𝑐 + 2𝑑)(𝑑 + 2𝑒)(𝑒 + 2𝑓)(𝑓 + 2𝑎) раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. (а) (2 балла) Найдите коэффициент при 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓. (б) (2 балла) Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
Задача 9.5. Дан выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷. На отрезке 𝐵𝐷 выбрали точку 𝐾 так, что 𝐴𝐷 ∥ 𝐾𝐶. Описанная окружность треугольника 𝐾𝐷𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. Известно, что ∠𝐴𝐵𝐷 = 48∘ и ∠𝐶𝐵𝐷 = 13∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝐴𝐿?
Задача 9.6. В очереди в буфет стоят 30 человек, у каждого из них есть целое неотрицательное число рублей — суммарно у всех ровно 𝑁 рублей. Все они по порядку пронумерованы числами от 1 до 30 (т. е. человек №1 находится в начале очереди, а человек №30 — в конце). Каждый человек в очереди знает, сколько денег у каждого из остальных. Человек №1 сказал: «У меня есть 10 рублей», а все остальные сказали: «У меня на 10 рублей больше, чем у человека передо мной». Оказалось, что ровно один из стоящих в очереди соврал. (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать 𝑁? (б) (2 балла) В случае наименьшего возможного значения 𝑁 какой номер мог иметь совравший человек? Укажите все возможные варианты.
Задача 9.7. В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400. Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Задача 9.8. Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат 1 × 1 тоже является полоской). Назовём натуральное число 𝑘 хорошим, если клетчатый прямоугольник 43 × 𝑘 можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Задания и ответы для 10 класса
Задача 10.1. Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8×8. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?
Задача 10.2. Действительные ненулевые числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что квадратный трёхчлен 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 20𝑎𝑥 + 𝑏 имеет два действительных корня, отличающихся на 2. (а) (2 балла) Найдите меньший из этих корней. (б) (2 балла) Найдите 𝑏 𝑎 .
Задача 10.3. Вписанный четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 таков, что ∠𝐴𝐷𝐵 = 40∘ и ∠𝐶𝐷𝐵 = 52∘ . Точка 𝑀 внутри четырёхугольника такова, что ∠𝐵𝐴𝑀 = 26∘ и ∠𝐵𝐶𝑀 = 20∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐶𝐵𝑀?
Задача 10.4. Натуральное число назовёмсчастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы 𝑛 слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение 𝑛.
Задача 10.5. Различные натуральные числа 𝑛 и 𝑘 таковы, что 𝑘 < 𝑛 < 2𝑘 < 3𝑛 < 4𝑘 < 5𝑛 < … < 48𝑘 < 49𝑛 < 50𝑘. Какое наименьшее значение может принимать 𝑛?
Задача 10.6. (а) (2 балла) Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на 12? (б) (2 балла) Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на 12?
Задача 10.7. Девять посёлков соединены восемью дорогами 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, как показано на рисунке. Длины дорог равны 1, 2, 3, …, 8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили. (а) (2 балла) Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты. (б) (2 балла) Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?
Задача 10.8. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 проведена высота 𝐴𝐻. На продолжении отрезка 𝐻𝐴 за точку 𝐴 нашлась точка 𝐷 такая, что ∠𝐷𝐵𝐴 = ∠𝐶𝐵𝐴.
Найдите длину отрезка 𝐵𝐷, если известно, что 𝐵𝐶 = 7 и 𝐴𝐷 = 12.
Задания и ответы для 11 класса
Задача 11.1. Каждое из натуральных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения.
Задача 11.2. Дана правильная десятиугольная призма 𝐴1𝐴2 … 𝐴10𝐵1𝐵2 … 𝐵10. Некоторая плоскость 𝛼 пересекает 𝑛 её рёбер, не проходя ни через одну из точек 𝐴1 , … , 𝐴10, 𝐵1 , … , 𝐵10. (а) (1 балл) Какое наименьшее натуральное значение может принимать 𝑛? (б) (3 балла) Какое наибольшее натуральное значение может принимать 𝑛?
Задача 11.4. На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, одинаковые по количеству человек (возможно, группа была всего одна). В каждую группу он захотел добавить по одной девочке, но девочек оказалось на одну больше, чем групп. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке? (б) (2 балла) Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.
Задача 11.5. Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток. Пару натуральных чисел (𝑚, 𝑛) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица 𝑚 × 𝑛, причём 10 ⩽ 𝑚 ⩽ 20 и 10 ⩽ 𝑛 ⩽ 20. Сколько существует подходящих пар? (Если числа 𝑚 и 𝑛 различны, то пары (𝑚, 𝑛) и (𝑛, 𝑚) считаются различными.)
Задача 11.6. В окружность 𝜔 вписана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 такая, что 𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷, 𝐴𝐷 = 14 и 𝐵𝐶 = 9. Пусть 𝑀 — середина дуги 𝐴𝐷 окружности 𝜔, не содержащей точек 𝐵 и 𝐶. Прямая ℓ касается 𝜔 в точке 𝐶. Пусть 𝐻 — основание перпендикуляра, опущенного из 𝑀 на ℓ. Найдите длину отрезка 𝐶𝐻.
Задача 11.7. Многочлен 𝑃(𝑥) с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных 𝑥 верно 𝑃(𝑥2 ) = 𝑥(1 + 𝑥2 )𝑃(𝑥). (а) (1 балл) Найдите 𝑃(−1). (б) (3 балла) Найдите 𝑃(5) 𝑃(2) .
Задача 11.8. Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит 𝑎 камней, а на правой — 𝑏 камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра. Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее 0). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество ходов может быть сделано в игре, если 𝑎 = 7 и 𝑏 = 10? (б) (3 балла) Рассмотрим все пары натуральных чисел (𝑎, 𝑏) такие, что 1 ⩽ 𝑎 ⩽ 10 и 1 ⩽ 𝑏 ⩽ 10. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа 𝑎 и 𝑏 различны, то пары (𝑎, 𝑏) и (𝑏, 𝑎) считаются различными.)
Муниципальный этап 2024-2025 Москва олимпиада ВСОШ
Муниципальный этап 2024 задания и ответы олимпиады ВСОШ для Москвы