Автор Муниципальный этап 2024-2025 всероссийской олимпиады школьников по математике задания и ответы с решением для 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса. Данная олимпиада районного этапа прошла у школьников Ленинградской области 25 ноября 2024 года. Результаты ВСОШ уже известны и вы можете их посмотреть. Критерии и решение опубликованы после заданий.
Олимпиада по математике 5 класс муниципальный этап
mat-5-klass-olimp-mun-len-24-25Олимпиада по математике 6 класс муниципальный этап
mat-6-klass-olimp-mun-len-24-25Олимпиада по математике 7 класс муниципальный этап
mat-7-klass-olimp-mun-len-24-25Олимпиада по математике 8 класс муниципальный этап
mat-8-klass-olimp-mun-len-24-25Олимпиада по математике 9 класс муниципальный этап
mat-9-klass-olimp-mun-len-24-25Олимпиада по математике 10 класс муниципальный этап
mat-10-klass-olimp-mun-len-24-25Олимпиада по математике 11 класс муниципальный этап
mat-11-klass-olimp-mun-len-24-25Задания и ответы для 5 класса
1. На доске выписали все двузначные натуральные числа, делящиеся на 5, у которых число десятков больше числа единиц. Их оказалось N штук. Затем выписали все двузначные натуральные числа, делящиеся на 5, у которых число десятков меньше числа единиц. Их оказалось М штук. Чему равна разность N – М?
2. На полке стоят книги — собрания произведений пяти авторов — всего 37 книг. Книги каждого из авторов стоят рядом, они окрашены в один цвет: красный, зелёный, жёлтый, синий, фиолетовый. Слева от красных книг стоит 14 книг, слева от зелёных книг стоит 28 книг, слева от синих книг стоит 24 книги, слева от жёлтых книг стоит 8 книг. Сколько книг каждого цвета на полке? Обоснуйте свой ответ.
3. В одном из трёх ящиков находится печенье, в другом — конфеты, ещё в одном — сахар. На первом ящике написано «Печенье», на втором ящике написано «Конфеты», на третьем ящике написано «Конфеты или сахар». Содержимое каждого ящика не соответствует надписи на нём. Определите, в каком ящике что находится. Поясните своё решение.
4. Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, по линиям сетки так, чтобы получились четыре равные части. Покажите разрезы и получившиеся фигурки.
5. В классе 33 ученика, 18 из них занимаются в кружке математики, 12 учеников класса занимаются в кружке рисования, а 10 учеников не занимаются ни в каких кружках. Найдите, сколько человек занимаются и в кружке математики, и в кружке рисования. Обоснуйте свой ответ.
6. Дана последовательность целых чисел: 1, 2, 7, 23, 76, 251, … Каждое число в этой последовательности, начиная с третьего, получено на основании некоторой закономерности. Найдите эту закономерность. Каким будет следующее число последовательности?
Задания и ответы для 6 класса
1. Разрежьте прямоугольник одним прямолинейным разрезом на две неравные части так, чтобы из полученных частей можно было сложить треугольник. Обоснуйте свой ответ.
2. Найдите наименьшее простое число, являющееся делителем 2023 + 2025. Обоснуйте свой ответ.
3. Имеется 100 ящичков и 100 шариков. На каждом ящичке написано «Внутри ровно один шарик». Известно, что среди этих надписей три неверных. Докажите, что в одном из ящичков находится три шарика.
4. Найдите количество различных четырёхзначных чисел, которые можно получить, переставляя цифры числа 2024, включая и это число. Обоснуйте свой ответ.
5. Взяли два числа, состоящих из одного набора цифр, и отличающихся перестановкой цифр (0, если он есть, в начало не ставится). Из большего числа вычли меньшее, вычислили сумму цифр полученной разности. Далее, у полученной суммы цифр снова нашли сумму цифр, потом сумму цифр полученной суммы и т. д., пока не получили однозначное число. Каким получилось это однозначное число?
6. На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 4 × 4. Этот квадрат сложили несколько раз строго по линиям сетки до тех пор, пока не получился квадратик 1 × 1 (бумага была достаточно тонкой). Получившийся квадратик разрезали ножницами по отрезку, соединяющему середины противоположных сторон. Когда бумагу развернули, исходный квадрат распался на части. Сколько могло получиться частей? Обоснуйте свой ответ.
Задания и ответы для 7 класса
Имеются три мешка Деда Мороза, на каждом написана одна фраза. На красном мешке написано «В других мешках подарка нет». На голубом мешке написано «Подарок не в этом мешке». На золотистом мешке написано «Подарок не в красном мешке». В каком мешке находится подарок, если известно, что из написанных фраз ровно одна верная?
В клетках прямоугольной таблицы 10 × 10 написаны числа, каждые два из которых различны. В каждой клетке, не лежащей на краю таблицы, стоит число, равное среднему арифметическому соседних чисел. Докажите, что самое большое число стоит на краю таблицы.
В группе семь учеников. Каждому из них учительница задала задачу: найти одно двузначное число, при прибавлении к которому числа 27 получалось бы число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Может ли так оказаться, что каждый из учеников нашёл своё, отличное от других, двузначное число?
Вдоль дороги растут 8 яблонь. Число яблок на соседних яблонях отличается на 1. Может ли на всех 8 яблонях вместе быть 125 яблок?
Шесть борцов из города «Южный» и шесть борцов из города «Восточный» провели турнир, в результате которого каждый занял своё место в турнирной таблице, с первого по двенадцатое. Докажите, что число мест в диапазоне с 1 по 6, которое заняли борцы из города «Южный», совпадает с числом мест в диапазоне с 7 по 12, которое заняли борцы из города «Восточный».
Про натуральные числа m и n известно, что m 1 + n 1 = 2024 1 а) Докажите, что оба эти числа не могут одновременно быть нечётными. б) Приведите один пример таких чисел.
Задания и ответы для 8 класса
Найдите все простые числа a и b, для которых выполняется a² – 2b² = 1.
В треугольнике АВС биссектриса, проведённая из вершины А, высота, проведённая из вершины С, и серединный перпендикуляр к стороне АС пересеклись в одной точке. Найдите величину угла А.
На круглом столе стоят 7 чашек, расположенных симметрично относительно центра: если мысленно повернуть стол на 180°, расположение чашек не изменится. Докажите, что одна чашка стоит в центре стола.
Две фирмы ежедневно покупали на бирже топливо в течение месяца. Цена на топливо менялась ежедневно. Средняя цена топлива за месяц оказалась равной 40 000 руб. за тонну. Ежедневно первая фирма покупала по одной тонне топлива, а вторая фирма — на 40 000 руб. Какая из фирм потратила за месяц больше денег и какая из них купила больше топлива?
В финальной серии игр хоккейной Лиги играли N команд из восточной группы и 2N команд из западной группы. Каждая пара команд сыграла между собой ровно одну игру. Отношение числа игр, выигранных командами из восточной группы, к числу игр, выигранных командами из западной группы, равно 7/5. Ничьих не было. Найдите минимальное возможное число участников финальной серии игр при этих условиях.
Смотрите олимпиаду по математике 2025 года